आलेख कैलकुलेटर

Q: आलेख में अंतराल क्यों हैं?

अंतराल वहाँ दिखते हैं जहाँ फलन अपरिभाषित है, जैसे x < 0 के लिए √(x), या ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों पर, जैसे 1/x के लिए x = 0।

Q: क्या मैं आलेख से समीकरण हल कर सकता हूँ?

हाँ, सन्निकट रूप से: हर पक्ष का आलेख बनाएँ और वे x-निर्देशांक पढ़ें जहाँ वक्र एक-दूसरे को काटते हैं। सटीक उत्तरों के लिए समीकरण हलकर्ता का उपयोग करें।

Q: क्या यह फ़ोन पर काम करता है?

हाँ। आलेख स्क्रीन के अनुसार आकार बदलता है और स्पर्श से खींचने का समर्थन करता है।

Q: दो आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं, यह कैसे पता करूँ?

हर फलन को अलग पंक्ति में लिखें और प्रतिच्छेदन बिंदु पर ज़ूम इन करें। x-निर्देशांक उस समीकरण को हल करता है जो दोनों फलनों को बराबर रखकर बनता है, और y-निर्देशांक वहाँ उनका साझा मान है।

आलेख कैलकुलेटर के बारे में

आलेख सूत्र को चित्र में बदल देता है: मूल x-अंतःखंड बन जाते हैं, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ शिखर और घाटियाँ बन जाते हैं, और अनंतस्पर्शी उन जगहों के रूप में दिखते हैं जहाँ वक्र तेज़ी से अनंत की ओर भागता है।

$y > 2x + 1$ जैसी असमिकाएँ छायांकित क्षेत्र के रूप में बनाई जाती हैं: ठोस सीमा का अर्थ है कि रेखा पर के बिंदु शामिल हैं ( $\le$ , $\ge$ ) और धराशायी सीमा का अर्थ है कि नहीं हैं ( $<$ , $>$ )। $(3, 0)$ जैसे बिंदु नामांकित बिंदुओं के रूप में बनाए जाते हैं, जो मूलों और अंतःखंडों की जाँच के लिए उपयोगी है।

तुलना के लिए एक साथ अधिकतम पाँच पंक्तियाँ लिखें। आलेखक हर वक्र का बारीकी से प्रतिचयन करता है, अंतरालों और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों पर झूठी जोड़ने वाली रेखाएँ खींचने के बजाय वक्र को तोड़ देता है, और ज़ूम करने या खींचने पर तुरंत फिर से बनाता है।

आलेख कैलकुलेटर क्या है?

आलेख कैलकुलेटर उन बिंदुओं का समुच्चय बनाता है जो किसी संबंध को संतुष्ट करते हैं। फलन $y = f(x)$ के लिए वह दिखाई देने वाली खिड़की में $x$ के बहुत पास-पास के कई मानों के लिए $y$ निकालता है और उन्हें जोड़कर वक्र बनाता है। असमिका के लिए वह समतल के हर उस बिंदु को छायांकित करता है जो कथन को सत्य बनाता है, और बिंदुओं की सूची के लिए वह बस हर निर्देशांक युग्म को चिह्नित करता है।

चित्र देखकर ऐसे प्रश्नों के उत्तर मिल जाते हैं जिन्हें केवल बीजगणित से सुलझाने में समय लगता है: किसी समीकरण के कितने हल हैं, वे लगभग कहाँ हैं, फलन वर्धमान है या ह्रासमान, और बहुत बड़े या बहुत छोटे $x$ के लिए उसका व्यवहार कैसा है। यह आलेखक पूरी तरह आपके ब्राउज़र में चलता है, इसलिए आप जो कुछ लिखते हैं वह कहीं नहीं भेजा जाता।

आलेख कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

x का कोई फलन लिखें, जैसे x^2 - 2x - 3 या sin(x)। आप आगे y = या f(x) = भी लिख सकते हैं।
असमिका के लिए y को एक पक्ष में अकेला रखें, उदाहरण के लिए y >= x^2 - 4 या y < 3 - x। ऊर्ध्वाधर सीमा के लिए x < 2 या x >= -1 लिखें।
बिंदु आलेखित करने के लिए उन्हें कोष्ठकों में, अल्पविराम से अलग करके लिखें, उदाहरण के लिए (1, 2), (-3, 0.5)।
अलग-अलग रंगों में तुलना के लिए “+ प्रविष्टि जोड़ें” बटन से और पंक्तियाँ जोड़ें।
खिसकाने के लिए आलेख को खींचें, ज़ूम के लिए माउस व्हील या + और − बटन का उपयोग करें, और डिफ़ॉल्ट दृश्य पर लौटने के लिए “रीसेट करें” दबाएँ।

सूत्र

ढाल-अंतःखंड रूप में रेखा

y = mx + b

परवलय का शीर्ष रूप

y = a(x - h)^2 + k

ज्यावक्रीय वक्र

y = A\sin(Bx + C) + D

हल सहित उदाहरण

उदाहरण के लिए $y = x^2 - 2x - 3$ लिखें। आलेख ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है, क्योंकि $x^2$ का गुणांक धनात्मक है। यह x-अक्ष को $x = -1$ और $x = 3$ पर काटता है, जो मूल हैं, क्योंकि $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ । यह y-अक्ष को अचर पद $-3$ पर काटता है, और इसका सबसे निचला बिंदु, शीर्ष, मूलों के ठीक बीच $(1, -4)$ पर है। दूसरी पंक्ति में $y < x^2 - 2x - 3$ जोड़ें, तो वक्र के नीचे का क्षेत्र धराशायी सीमा के साथ छायांकित हो जाता है।

पूरी व्याख्या

आलेख से मुख्य विशेषताएँ पढ़ना

$y = f(x)$ के x-अंतःखंड $f(x) = 0$ के वास्तविक हल हैं, और y-अंतःखंड $f(0)$ है। शिखर और घाटियाँ स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ हैं, जहाँ अवकलज शून्य होता है। जो वक्र बिना सीमा के ऊपर उठता है या बहुत बाएँ और दाएँ किसी क्षैतिज रेखा के निकट पहुँचता है, वह अंतिम व्यवहार प्रकट करता है। ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी वहाँ दिखते हैं जहाँ परिमेय फलन का हर शून्य हो, जैसे $y = \frac{1}{x - 2}$ के लिए $x = 2$ ; आलेखक अंतराल के आर-पार झूठी ऊर्ध्वाधर रेखा खींचने के बजाय वहाँ वक्र को तोड़ देता है।

रूपांतरण

किसी फलन का आलेख उसके बदले हुए रूप के साथ बनाना रूपांतरण सीखने का सबसे तेज़ तरीका है। बाहर $k$ जोड़ने, $f(x) + k$ , से आलेख $k$ ऊपर खिसकता है। $x$ की जगह $x - h$ रखने से वह $h$ दाईं ओर खिसकता है। $a$ से गुणा करने पर वह ऊर्ध्वाधर रूप से खिंचता है, और ऋणात्मक $a$ उसे x-अक्ष में परावर्तित भी करता है। तीनों प्रभाव एक साथ देखने के लिए तीन पंक्तियों में $y = x^2$ , $y = (x - 2)^2$ और $y = -x^2 + 3$ आज़माएँ।

समीकरणों और निकायों को आलेख से हल करना

$2^x = x + 3$ जैसे समीकरण को हल करने के लिए हर पक्ष को अलग पंक्ति में आलेखित करें और प्रतिच्छेदन बिंदु देखें; उनके x-निर्देशांक हल हैं। यही तरीका दो अज्ञातों वाले दो समीकरणों का निकाय भी हल करता है। आलेख सन्निकट मान देते हैं, इसलिए उनसे देखें कि कितने हल हैं और लगभग कहाँ, फिर सटीक उत्तरों के लिए समीकरण हलकर्ता या समीकरण निकाय कैलकुलेटर से पुष्टि करें।

आम गलतियाँ

कोष्ठक के बिना sin x लिखना; sin(x) का उपयोग करें।
ऋणात्मक x के लिए $\sqrt{x}$ या $\ln x$ के दिखने की अपेक्षा करना; ये केवल क्रमशः $x \ge 0$ और $x > 0$ के लिए परिभाषित हैं।
खिड़की बहुत छोटी होने से विशेषताएँ छूट जाना; पहले समग्र आकार देखने के लिए ज़ूम आउट करें।
आलेख से पढ़े गए सन्निकट प्रतिच्छेदन को सटीक उत्तर मान लेना।

सुझाव

समीकरण के दोनों पक्षों को अलग फलनों के रूप में आलेखित करें; उनके प्रतिच्छेदन ही हल हैं।
स्थानांतरण देखने के लिए $f(x)$ की तुलना $f(x) + k$ या $f(x - h)$ से करें।
आलेख कहाँ वर्धमान है, यह जाँचने के लिए साथ में अवकलज कैलकुलेटर का उपयोग करें।
अंतःखंड या प्रतिच्छेदन के निर्देशांक अधिक सटीकता से पढ़ने के लिए उस पर ज़ूम इन करें।
वक्र के साथ कोई ज्ञात बिंदु भी आलेखित करें, ताकि जाँच सकें कि वक्र उससे होकर जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

मैं किसका आलेख बना सकता हूँ?

x का कोई भी फलन जो संख्याओं, + − × ÷, घातों, मूलों, चरघातांकी फलनों, लघुगणकों, निरपेक्ष मान और त्रिकोणमितीय, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलनों से बना हो।

मैं एक साथ कितने फलन आलेखित कर सकता हूँ?

अधिकतम पाँच पंक्तियाँ। हर पंक्ति एक फलन, एक असमिका या बिंदुओं की सूची होती है, जो अपने रंग में बनाई जाती है।

असमिका का आलेख कैसे बनाऊँ?

उसे y को एक पक्ष में अकेला रखकर लिखें, जैसे y > 2x + 1 या y <= x^2। हल क्षेत्र छायांकित होता है; धराशायी सीमा हल का भाग नहीं है और ठोस सीमा है। ऊर्ध्वाधर सीमाओं के लिए x < 3 या x >= -2 लिखें।

क्या मैं बिंदु आलेखित कर सकता हूँ?

हाँ। एक या अधिक बिंदु कोष्ठकों में लिखें, जैसे (2, 3) या (0, 0), (1, 1), (2, 4)। हर बिंदु नामांकित बिंदु के रूप में बनाया जाता है, प्रति पंक्ति अधिकतम 50।

ज़ूम और खिसकाना कैसे करूँ?

सूचक के आसपास ज़ूम करने के लिए स्क्रॉल करें, + और − बटन का उपयोग करें, और दृश्य को हिलाने के लिए खींचें। “रीसेट करें” −10 से 10 तक की खिड़की वापस ले आता है।

आलेख में अंतराल क्यों हैं?

अंतराल वहाँ दिखते हैं जहाँ फलन अपरिभाषित है, जैसे $x < 0$ के लिए $\sqrt{x}$ , या ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों पर, जैसे $\frac1x$ के लिए $x = 0$ ।

क्या मैं आलेख से समीकरण हल कर सकता हूँ?