समीकरण निकाय कैसे हल करें: आलेख, प्रतिस्थापन और विलोपन

निकाय के हल का अर्थ

रैखिक समीकरण निकाय दो या अधिक रैखिक समीकरणों का समुच्चय है जिनके अज्ञात समान हैं। हल मानों का ऐसा निर्धारण है, जैसे $x = 2$ और $y = 3$, जो हर समीकरण को एक साथ सत्य बना दे। केवल एक समीकरण जाँचना पर्याप्त नहीं है।

दो अज्ञातों के साथ हर समीकरण तल में एक सरल रेखा है, और हल वह बिंदु है जो दोनों रेखाओं पर स्थित हो। यही चित्र तीन संभावित परिणाम समझाता है:

• रेखाएँ एक बार काटती हैं: ठीक एक हल।
• रेखाएँ समांतर हैं: कोई हल नहीं। ऐसे निकाय को असंगत कहते हैं।
• रेखाएँ एक ही रेखा हैं: अनंत हल। ऐसे समीकरण आश्रित कहलाते हैं।

विधि 1: आलेख

हर समीकरण को ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + b$ में लिखें, दोनों रेखाएँ खींचें और प्रतिच्छेद बिंदु पढ़ें। निकाय का अर्थ देखने का यह सबसे अच्छा तरीका है, और यह समांतर या संपाती रेखाएँ तुरंत दिखा देता है। लेकिन यह सटीक नहीं है: $x = \frac{7}{3}$ पर प्रतिच्छेद को रेखाचित्र से पढ़ना कठिन है। इसे अनुमान के लिए उपयोग करें, फिर बीजगणित से पुष्टि करें। ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में आप दोनों रेखाएँ एक साथ खींच सकते हैं।

विधि 2: प्रतिस्थापन

एक समीकरण को किसी एक चर के लिए हल करें, उस व्यंजक को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, और प्राप्त एक-चर वाला समीकरण हल करें। जब किसी चर का गुणांक पहले से 1 या $-1$ हो, तो प्रतिस्थापन स्वाभाविक चुनाव है।

प्रतिस्थापित किए जाने वाले व्यंजक के चारों ओर हमेशा कोष्ठक लगाएँ। यहाँ $3x + 2x - 1$ लिखना संयोग से चल जाता है, लेकिन $y = 2x - 1$ को $3x - y = 9$ में रखने के लिए $3x - (2x - 1)$ चाहिए, और कोष्ठक $-1$ का चिह्न बदल देता है।

विधि 3: विलोपन

समीकरणों के गुणजों को जोड़ें या घटाएँ ताकि एक चर कट जाए। जब दोनों समीकरण मानक रूप $ax + by = c$ में हों, तो विलोपन आमतौर पर सबसे तेज़ होता है।

जब कोई गुणांक मेल न खाए, तो पहले एक या दोनों समीकरणों को गुणा करें ताकि वे मेल खाएँ।

कोई हल नहीं या अनंत हल पहचानना

अगर विलोपन के दौरान दोनों चर कट जाएँ, तो देखें कि क्या बचा है।

• $x + y = 4$ और $2x + 2y = 10$. पहले को दोगुना करने पर $2x + 2y = 8$ मिलता है; घटाने पर $0 = 2$ बचता है, जो असत्य है। रेखाएँ समांतर हैं: कोई हल नहीं।
• $x + y = 4$ और $3x + 3y = 12$. पहले को तिगुना करने पर ठीक दूसरा मिलता है; घटाने पर $0 = 0$ बचता है। रेखा $x + y = 4$ का हर बिंदु एक हल है।

शुरू करने से पहले ही आप गुणांकों से इसका अनुमान लगा सकते हैं: अगर $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, तो रेखाओं के ढाल बराबर हैं और निकाय का या तो कोई हल नहीं या अनंत हल हैं।

सारणिकों के साथ क्रेमर नियम

दो-गुणा-दो निकाय के लिए सारणिक हर अज्ञात सीधे देते हैं:

$2x + 3y = 12$ और $5x - 3y = 9$ के लिए: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ और $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. इसलिए $x = 3$ और $y = 2$, जो विलोपन से मेल खाता है। अगर $D = 0$ हो तो नियम लागू नहीं होता, और यही ठीक समांतर या संपाती रेखाओं वाली स्थिति है। सारणिक वाली मार्गदर्शिका बड़े निकायों के लिए इन्हें निकालना समझाती है।

तीन अज्ञातों वाले तीन समीकरण

रणनीति वही है: समीकरणों के दो अलग युग्मों से एक ही चर का विलोपन करके दो-गुणा-दो निकाय बनाएँ, उसे हल करें, फिर वापस प्रतिस्थापित करें।

बड़े निकाय आमतौर पर आव्यूहों और पंक्ति-समानयन से हल किए जाते हैं; आव्यूह कैलकुलेटर वही प्रक्रिया दिखाता है।

एक शाब्दिक प्रश्न

दो अज्ञातों के लिए दो स्वतंत्र तथ्य चाहिए। अगर प्रश्न केवल एक तथ्य दे, तो उसका अद्वितीय उत्तर नहीं हो सकता।

विधि चुनना और गलतियों से बचना

• जब कोई चर पहले से अलग हो या उसका गुणांक 1 हो, तो प्रतिस्थापन अपनाएँ।
• जब समीकरण मानक रूप में हों, विशेषकर अगर गुणांक पहले से बराबर या विपरीत हों, तो विलोपन अपनाएँ।
• दो-गुणा-दो निकाय के झटपट उत्तर के लिए, या जब हर अज्ञात का सूत्र चाहिए, क्रेमर नियम अपनाएँ।
• अंतिम युग्म को हमेशा दोनों मूल समीकरणों में जाँचें, क्योंकि अंकगणित की एक चूक ऐसा बिंदु दे सकती है जो केवल एक समीकरण में बैठे।

अपना हल समीकरण निकाय कैलकुलेटर से मिलाएँ, जो विलोपन या प्रतिस्थापन का हर चरण दिखाता है। हर विधि के भीतर इस्तेमाल होने वाले एक-समीकरण चरण दोहराने हों, तो रैखिक समीकरण कैसे हल करें देखें।

कौन-सी विधि अपनाएँ?

सभी विधियाँ एक ही हल देती हैं, इसलिए वह चुनें जिसमें अंकगणित सबसे सरल रहे। प्रतिस्थापन तब सबसे अच्छा है जब किसी समीकरण में कोई चर पहले से अकेला हो, जैसे $y = 2x - 1$, या जब किसी चर का गुणांक 1 या $-1$ हो। जब दोनों समीकरण मानक रूप $ax + by = c$ में हों और कोई चर अलग न हो, तो विलोपन आमतौर पर तेज़ है, क्योंकि यह भिन्नों को बिल्कुल अंत तक टाल देता है।

आलेख स्थिति देखने में उपयोगी है: काटती हुई दो रेखाएँ, दो समांतर रेखाएँ, या दो बार खींची गई एक ही रेखा। सटीक उत्तरों के लिए यह कम भरोसेमंद है, जब तक प्रतिच्छेद के निर्देशांक पूर्णांक न हों। क्रेमर नियम और आव्यूह विधियाँ तीन या अधिक चरों वाले निकायों के लिए उपयुक्त हैं, और कैलकुलेटर तथा कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर भीतर से इन्हीं का उपयोग करते हैं।

अरैखिक निकायों के लिए, जैसे एक रेखा और एक परवलय, प्रतिस्थापन लगभग हमेशा सही चुनाव है। $y = x^2$ और $y = x + 2$ हल करने पर $x^2 = x + 2$ मिलता है, इसलिए $x^2 - x - 2 = 0$ और $(x - 2)(x + 1) = 0$. प्रतिच्छेद बिंदु $(2, 4)$ और $(-1, 1)$ हैं, और दोनों हर समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

हल की जाँच

निकाय के हल को हर समीकरण संतुष्ट करना चाहिए, केवल वह नहीं जिसका आपने अंत में उपयोग किया। अपने मान हर मूल समीकरण में रखें। विलोपन के दूसरे उदाहरण के लिए $(2, 5)$ देता है $3(2) + 2(5) = 16$ और $4(2) - 5(5) = -17$, इसलिए दोनों समीकरण सत्य हैं। जो मान एक समीकरण संतुष्ट करे पर दूसरा नहीं, वह विलोपन के दौरान अंकगणित की चूक की ओर इशारा करता है।

जाँच अपने कागज़ पर लिखें। इसमें एक मिनट से कम लगता है, और परीक्षक अक्सर सत्यापित उत्तर के लिए अंक देते हैं।

समीकरण निकाय कैलकुलेटर दो और तीन चरों वाले निकायों को हर चरण दिखाते हुए हल करता है, जिससे अपने हल की तुलना करना सुविधाजनक है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल