किसी आव्यूह का सारणिक कैसे ज्ञात करें

सारणिक क्या मापता है

हर वर्ग आव्यूह का एक सारणिक होता है, जिसे $\det(A)$ या $|A|$ लिखते हैं। जो आव्यूह वर्ग नहीं हैं, उनका सारणिक नहीं होता। सारणिक एक अहम प्रश्न का उत्तर तुरंत देता है: वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम ठीक तब होता है जब उसका सारणिक शून्य न हो। शून्य सारणिक का अर्थ है कि आव्यूह समष्टि को कम विमा में समेट देता है, इसलिए जानकारी खो जाती है और वापस नहीं पाई जा सकती।

ज्यामितीय रूप से, सारणिक का निरपेक्ष मान वह गुणक है जिससे आव्यूह दो विमाओं में क्षेत्रफल को, या तीन विमाओं में आयतन को, बढ़ाता या घटाता है। इसका चिह्न बताता है कि रूपांतरण अभिविन्यास को बनाए रखता है या उलट देता है, ठीक वैसे ही जैसे दर्पण बाएँ और दाएँ को उलट देता है।

2 बाय 2 का सूत्र

$2 \times 2$ आव्यूह के लिए मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणा करें और दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटा दें:

यहाँ क्षेत्रफल वाली व्याख्या आसानी से दिखती है। आव्यूह $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ के स्तंभ $(3, 1)$ और $(1, 2)$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, और उसका क्षेत्रफल $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$ है, जो ठीक सारणिक है।

3 बाय 3 आव्यूहों के लिए सहखंड प्रसार

बड़े आव्यूहों के लिए सहखंड प्रसार समस्या को छोटे सारणिकों में बदल देता है। कोई एक पंक्ति चुनें, मान लीजिए पहली। हर अवयव के लिए उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाकर एक छोटा आव्यूह बनाएँ, जिसके सारणिक को उपसारणिक कहते हैं, और अवयव को उस उपसारणिक से गुणा करें। फिर चिह्नों की शतरंजी पट्टी $+, -, +$ के अनुसार परिणामों को जोड़ें:

आप किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार कर सकते हैं, उत्तर वही रहेगा। सबसे अधिक शून्यों वाली पंक्ति या स्तंभ चुनें, क्योंकि हर शून्य अवयव एक पूरा पद हटा देता है।

सैरस नियम, केवल 3 बाय 3 के लिए एक शॉर्टकट

$3 \times 3$ आव्यूहों के लिए याद रखने में आसान एक शॉर्टकट है। दाईं ओर नीचे जाते तीन गुणनफलों को, किनारे से घूमकर, जोड़ें और बाईं ओर नीचे जाते तीन गुणनफलों को घटाएँ। उदाहरण 2 के आव्यूह के लिए नीचे की ओर के गुणनफल $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ और $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$ हैं, जिनका योग 11 है। ऊपर की ओर के गुणनफल $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ और $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$ हैं, जिनका योग $-38$ है। सारणिक $11 - (-38) = 49$ है, जो सहखंड विधि से मेल खाता है।

सावधान रहें: सैरस नियम केवल $3 \times 3$ आव्यूहों पर लागू होता है। यही विकर्ण पैटर्न $4 \times 4$ आव्यूह पर लगाने से गलत उत्तर मिलता है, जो परीक्षाओं में एक आम और महँगी भूल है।

बड़े आव्यूहों के लिए पंक्ति समानयन

सहखंड प्रसार जल्दी ही धीमा हो जाता है: $10 \times 10$ आव्यूह के लिए लाखों गुणनफलों की ज़रूरत होगी। पंक्ति समानयन कहीं अधिक कुशल है। त्रिभुजाकार आव्यूह का सारणिक बस उसके विकर्ण अवयवों का गुणनफल होता है, इसलिए आप आव्यूह को त्रिभुजाकार रूप में बदलते हैं और साथ में ध्यान रखते हैं कि हर पंक्ति संक्रिया सारणिक को कैसे बदलती है:

• एक पंक्ति के किसी गुणज को दूसरी पंक्ति में जोड़ने से सारणिक नहीं बदलता।
• दो पंक्तियों की अदला-बदली से सारणिक $-1$ से गुणा हो जाता है।
• किसी पंक्ति को संख्या $k$ से गुणा करने पर सारणिक भी $k$ से गुणा हो जाता है।

मेहनत बचाने वाले गुणधर्म

• जिस आव्यूह की कोई पंक्ति या स्तंभ पूरी तरह शून्य हो, उसका सारणिक 0 होता है।
• जिस आव्यूह की दो पंक्तियाँ समान हों, या एक पंक्ति दूसरी की गुणज हो, उसका सारणिक 0 होता है।
• $n \times n$ आव्यूह के लिए $\det(kA) = k^n\det(A)$ होता है, न कि $k\det(A)$।
• तत्समक आव्यूह का सारणिक 1 होता है।

इन नियमों से आप कई सारणिक बिना कुछ गणना किए ज्ञात कर सकते हैं। अगर आप देखें कि एक पंक्ति दूसरी की दोगुनी है, तो सारणिक शून्य है और आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं है, जिसकी पुष्टि आप आव्यूह का व्युत्क्रम मार्गदर्शिका से कर सकते हैं।

क्रेमर नियम: सारणिकों से समीकरण निकाय हल करना

सारणिक छोटे रैखिक निकायों को सीधे हल कर सकते हैं। $2x + y = 5$ और $x - 3y = -1$ के लिए गुणांक सारणिक $D = 2(-3) - 1(1) = -7$ है। पहले स्तंभ की जगह अचर रखने पर $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$ मिलता है, और दूसरे स्तंभ की जगह रखने पर $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$ मिलता है। तब $x = \frac{D_x}{D} = 2$ और $y = \frac{D_y}{D} = 1$ है।

क्रेमर नियम सुंदर है और $2 \times 2$ तथा $3 \times 3$ निकायों के लिए उपयोगी है, लेकिन बड़े निकायों के लिए यह अकुशल है, जहाँ विलोपन विधि तेज़ है। अगर $D = 0$ हो, तो निकाय का या तो कोई हल नहीं होता या अनंत हल होते हैं। सारणिक कैलकुलेटर किसी भी आकार के आव्यूह के लिए सहखंड प्रसार और पंक्ति समानयन के चरण दिखाता है, और आव्यूह कैलकुलेटर बाकी अंकगणित सँभालता है।

एक 4 बाय 4 उदाहरण: शून्यों को काम करने दें

शून्यों का लाभ उठाने पर बड़े सारणिक भी सँभालने योग्य हो जाते हैं। उस आव्यूह पर विचार करें जिसकी पंक्तियाँ $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ और $(0, 0, 0, 4)$ हैं। अंतिम पंक्ति में तीन शून्य हैं, इसलिए उसके अनुदिश प्रसार करने पर केवल एक पद बचता है: धन चिह्न वाले स्थान पर स्थित अवयव 4, गुणा अंतिम पंक्ति और स्तंभ हटाने के बाद बचे $3 \times 3$ आव्यूह का सारणिक।

उस छोटे आव्यूह की पंक्तियाँ $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ और $(0, 0, 2)$ हैं। इसकी अंतिम पंक्ति में भी दो शून्य हैं, इसलिए फिर से प्रसार करें: अवयव 2 गुणा $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ से 2 मिलता है। इसलिए पूरा सारणिक $4 \cdot 2 = 8$ है। शून्यों के बिना इसी गणना में चार-चार संख्याओं के चौबीस गुणनफल निकालने पड़ते।

बचने योग्य आम गलतियाँ

• सहखंड प्रसार में बारी-बारी से बदलते चिह्न भूल जाना, खासकर पहली पंक्ति के दूसरे स्थान का ऋण चिह्न।
• सैरस का विकर्ण नियम $4 \times 4$ या उससे बड़े आव्यूह पर लगाना।
• पंक्ति समानयन के दौरान किसी पंक्ति को गुणा करना और सारणिक को समायोजित न करना।
• पंक्तियों की अदला-बदली करना और चिह्न बदलना भूल जाना।
• यह मान लेना कि $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ होता है, जो सामान्यतः गलत है; केवल गुणनफल ही इस तरह अलग होते हैं।

एक उपयोगी आदत है $3 \times 3$ सारणिक को दो तरीकों से निकालना, उदाहरण के लिए एक पंक्ति के अनुदिश सहखंड प्रसार से और फिर शून्य वाले किसी स्तंभ के अनुदिश। अगर उत्तर मेल खाते हैं तो आप आश्वस्त हो सकते हैं, और अगर नहीं, तो यह अंतर आपको चिह्न की गलती तक पहुँचाता है।

तीन विमाओं में सारणिक

तीन विमाओं में $3 \times 3$ सारणिक का निरपेक्ष मान उस समांतर षट्फलक, यानी एक तिरछे डिब्बे, का आयतन है जिसके किनारे तीन स्तंभ सदिश हैं। इसलिए उदाहरण 2 का आव्यूह एक इकाई घन को 49 आयतन वाले ठोस में बदल देता है। यही विचार यह जाँचने का तेज़ तरीका देता है कि तीन सदिश एक ही तल में हैं या नहीं: वे ठीक तब एक तल में होते हैं जब सारणिक शून्य हो, क्योंकि चपटे डिब्बे का कोई आयतन नहीं होता। सदिश गुणनफल इससे गहराई से जुड़ा है, क्योंकि इसे आमतौर पर एक सांकेतिक $3 \times 3$ सारणिक के रूप में निकाला जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल