किसी आव्यूह का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें

व्युत्क्रम क्या है

संख्याओं में 5 का व्युत्क्रम $\frac{1}{5}$ है, क्योंकि $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ होता है। आव्यूहों में भाग नहीं होता, लेकिन विचार वही है। वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम वह आव्यूह $A^{-1}$ है जो यह शर्त पूरी करता है:

यहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है, जो संख्या 1 का आव्यूह रूप है। अगर $A$ कोई रूपांतरण दर्शाता है, जैसे तल को घुमाना और खींचना, तो $A^{-1}$ वह रूपांतरण है जो हर चीज़ को उसकी मूल जगह पर लौटा देता है। केवल वर्ग आव्यूहों के व्युत्क्रम हो सकते हैं, और उनमें भी सबके नहीं होते। जिस आव्यूह का व्युत्क्रम हो, उसे व्युत्क्रमणीय या अविचित्र आव्यूह कहते हैं; जिसका न हो, उसे अव्युत्क्रमणीय या विचित्र आव्यूह कहते हैं।

इसकी कसौटी सारणिक है: $A$ ठीक तब व्युत्क्रमणीय है जब $\det(A) \ne 0$ हो। शून्य सारणिक का अर्थ है कि आव्यूह समष्टि को कम विमा में चपटा कर देता है, इसलिए अलग-अलग निवेश एक ही निर्गत पर पहुँचते हैं और रूपांतरण को पलटने का कोई तरीका नहीं रहता।

2 बाय 2 का सूत्र

$2 \times 2$ आव्यूह के लिए एक छोटा सूत्र है: विकर्ण अवयवों की अदला-बदली करें, विकर्णेतर अवयवों के चिह्न बदलें और सारणिक से भाग दें।

इसके विपरीत, $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ का सारणिक $4 - 4 = 0$ है। इसकी पहली पंक्ति दूसरी की दोगुनी है, इसलिए इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है, और सूत्र आपसे शून्य से भाग देने को कहेगा।

किसी भी आकार के लिए गॉस-जॉर्डन विलोपन

$3 \times 3$ और बड़े आव्यूहों के लिए मानक विधि गॉस-जॉर्डन विलोपन है। $A$ और तत्समक आव्यूह को साथ-साथ संवर्धित आव्यूह $[A \mid I]$ के रूप में लिखें। पंक्ति संक्रियाओं से बाएँ आधे भाग को $I$ में बदलें। वही संक्रियाएँ दाएँ आधे भाग को $A^{-1}$ में बदल देती हैं। अगर बाईं ओर शून्यों की कोई पंक्ति आ जाए, तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है और उसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।

संयोग से इस आव्यूह का सारणिक 1 है, इसीलिए इसके व्युत्क्रम में केवल पूर्ण संख्याएँ हैं। अधिकांश व्युत्क्रमों में भिन्न आते हैं, इसलिए काम करते समय अवयवों को पूर्णांकित दशमलवों के बजाय भिन्नों के रूप में रखें।

सहखंडज सूत्र

एक ऐसा सूत्र भी है जो $2 \times 2$ नियम का व्यापक रूप है। हर अवयव की जगह उसका सहखंड रखें, यानी उस अवयव की पंक्ति और स्तंभ हटाने के बाद बचे उपसारणिक का चिह्न सहित मान, फिर परिणाम का परिवर्त लेकर सहखंडज प्राप्त करें, जिसे $\operatorname{adj}(A)$ लिखते हैं:

सहखंडज सूत्र सिद्धांत के लिए और सरल अवयवों वाले $3 \times 3$ आव्यूहों के लिए उपयोगी है, लेकिन $3 \times 3$ आव्यूह के लिए इसमें नौ $2 \times 2$ सारणिक चाहिए और आकार बढ़ने के साथ काम तेज़ी से बढ़ता है। इससे बड़े किसी भी आव्यूह के लिए गॉस-जॉर्डन विलोपन ही व्यावहारिक विकल्प है।

व्युत्क्रम से निकाय हल करना

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ के रूप में लिखे रैखिक निकाय को दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A^{-1}$ से गुणा करके हल किया जा सकता है, जिससे $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ मिलता है। यह $5x = 10$ को 5 से भाग देकर हल करने जैसा ही है।

यह विधि तब विशेष रूप से सुविधाजनक है जब आपको एक जैसे गुणांकों पर अलग-अलग दाएँ पक्षों वाले कई निकाय हल करने हों, क्योंकि व्युत्क्रम केवल एक बार निकालना पड़ता है। किसी एक निकाय के लिए विलोपन आमतौर पर तेज़ होता है, जैसा कि समीकरण निकाय हल करना में समझाया गया है।

व्युत्क्रम के गुणधर्म

• गुणनफल का व्युत्क्रम क्रम को उलट देता है, ठीक वैसे ही जैसे मोज़े और जूते उतारने का क्रम उन्हें पहनने के क्रम से उल्टा होता है।
• अगर $A$ व्युत्क्रमणीय है, तो उसका व्युत्क्रम अद्वितीय है।
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• शून्येतर संख्या $k$ के लिए $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ होता है।
• शून्येतर विकर्ण अवयवों वाले विकर्ण आव्यूह का व्युत्क्रम हर विकर्ण अवयव का व्युत्क्रम लेकर मिल जाता है।

व्यवहार में व्युत्क्रम

व्युत्क्रम आव्यूह सिद्धांत में अनिवार्य हैं और कई जगह दिखते हैं: कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में, जहाँ कैमरा रूपांतरण को पलटने का अर्थ उसका व्युत्क्रम लगाना है; कूटलेखन में, जहाँ हिल कूटलेख संदेशों को व्युत्क्रम आव्यूह से खोलता है; और सांख्यिकी में, जहाँ समाश्रयण के न्यूनतम वर्ग सूत्र में एक व्युत्क्रम होता है।

फिर भी, संख्यात्मक सॉफ़्टवेयर केवल एक निकाय हल करने के लिए शायद ही कभी व्युत्क्रम को स्पष्ट रूप से निकालता है। विलोपन पर आधारित विधियाँ तेज़ होती हैं और पूर्णांकन त्रुटियों से कम प्रभावित होती हैं, खासकर लगभग अव्युत्क्रमणीय आव्यूहों के लिए जिनका सारणिक शून्य के बहुत निकट होता है। व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर सटीक भिन्नों के साथ गॉस-जॉर्डन का हर चरण दिखाता है, और आव्यूह कैलकुलेटर से आप जाँच सकते हैं कि $AA^{-1}$ सचमुच तत्समक के बराबर है।

2 बाय 2 का सूत्र क्यों काम करता है

सूत्र को जाँचना आसान है, और यह समझना कि यह क्यों काम करता है, इसे याद रखना आसान बना देता है। मूल आव्यूह को अदला-बदली और चिह्न-परिवर्तन वाले आव्यूह से गुणा करें:

परिणाम सारणिक गुणा तत्समक आव्यूह है। सारणिक से भाग देने पर ठीक तत्समक बचता है, जो व्युत्क्रम को देना ही चाहिए। यह गणना यह भी दिखाती है कि शून्य सारणिक घातक क्यों है: तब गुणनफल शून्य आव्यूह होता है, और कोई भी पैमाना बदलाव उसे तत्समक में नहीं बदल सकता।

व्युत्क्रम निकालते समय आम गलतियाँ

• $2 \times 2$ सूत्र में विकर्ण अवयवों की अदला-बदली करने के बजाय उनके चिह्न बदल देना।
• अंत में सारणिक से भाग देना भूल जाना।
• $[A \mid I]$ के बाएँ आधे भाग पर पंक्ति संक्रिया करना लेकिन दाएँ आधे भाग पर नहीं।
• $\mathbf{b}$ को गलत ओर से गुणा करना: हल $A^{-1}\mathbf{b}$ है, और $\mathbf{b}A^{-1}$ आमतौर पर परिभाषित भी नहीं होता।
• भिन्नों को जल्दी ही दशमलव में पूर्णांकित कर देना, जिससे अंतिम जाँच में ठीक तत्समक नहीं मिलता।

इनमें से हर गलती एक ही आदत से पकड़ में आ जाती है: आगे बढ़ने से पहले अपने उत्तर को मूल आव्यूह से गुणा करें। इस जाँच में एक मिनट लगता है और यह बाद में पूरी गणना दोबारा करने से कहीं तेज़ है।

अभ्यास प्रश्न

उत्तर देखने से पहले इन्हें हल करके देखें। पहला, पंक्तियों $(2, 1)$ और $(5, 3)$ वाले आव्यूह का व्युत्क्रम निकालें। इसका सारणिक $6 - 5 = 1$ है, इसलिए व्युत्क्रम बस अदला-बदली और चिह्न-परिवर्तन वाला आव्यूह है, जिसकी पंक्तियाँ $(3, -1)$ और $(-5, 2)$ हैं। दूसरा, तय करें कि पंक्तियों $(3, 6)$ और $(1, 2)$ वाला आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं। इसका सारणिक $6 - 6 = 0$ है, इसलिए यह अव्युत्क्रमणीय है। तीसरा, विकर्ण पर 2, 4 और 5 अवयवों वाले विकर्ण आव्यूह का व्युत्क्रम निकालें: व्युत्क्रम के विकर्ण अवयव आधा, एक चौथाई और एक बटा पाँच हैं। अंत में, पहले उत्तर का उपयोग करके $2x + y = 4$ और $5x + 3y = 11$ हल करें: व्युत्क्रम को अचरों से गुणा करने पर $x = 3(4) - 11 = 1$ और $y = -5(4) + 2(11) = 2$ मिलते हैं, और दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल