समीकरण निकाय कैलकुलेटर

समीकरण निकाय कैलकुलेटर के बारे में

समीकरण निकाय ऐसे मान माँगता है जो एक साथ कई समीकरणों को संतुष्ट करें। ग्राफ़ पर दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं, कभी नहीं मिलतीं, या एक-दूसरे पर पड़ी होती हैं, और चरों की किसी भी संख्या वाले निकायों के लिए यही तीन परिणाम होते हैं। यह कैलकुलेटर तय करता है कि आपकी स्थिति कौन-सी है और, जब हल अद्वितीय हो, तो उसे पूर्णांकित दशमलवों के बजाय सटीक भिन्नों में देता है।

यह गाउस–जॉर्डन विलोपन का प्रयोग करता है, जो स्कूल में पढ़ाई जाने वाली प्रतिस्थापन और विलोपन विधियों के पीछे की व्यवस्थित विधि है। हर पंक्ति संक्रिया सूचीबद्ध होती है, ताकि आप गणना का अनुसरण कर सकें, उसकी तुलना अपने विलोपन से कर सकें, और ठीक-ठीक देख सकें कि कहाँ कोई चर गायब होता है या विरोधाभास प्रकट होता है।

रैखिक समीकरण निकाय क्या है?

रैखिक समीकरण में हर चर केवल पहली घात पर होता है, जैसे $2x + 3y = 7$ । निकाय ऐसे समीकरणों का समूह है जिनमें एक जैसे चर हों। हल मानों का ऐसा निर्धारण है जो हर समीकरण को एक साथ सत्य बनाए।

दो चरों में हर समीकरण एक सरल रेखा है और हल एक प्रतिच्छेद बिंदु है। तीन चरों में हर समीकरण एक समतल है। निकाय अद्वितीय हल के साथ संगत हो सकता है, अनंत हलों के साथ संगत (आश्रित समीकरण), या बिना किसी हल के असंगत।

समीकरण निकाय कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

हर समीकरण अलग पंक्ति में लिखें, उदाहरण के लिए पहली पंक्ति में 2x + 3y = 7 और दूसरी में x - y = 1।
चरों के लिए कोई भी अक्षर प्रयोग करें। पद दोनों पक्षों में हो सकते हैं; कैलकुलेटर उन्हें मानक रूप में ले आता है।
भिन्न और दशमलव स्वीकार्य हैं, जैसे 0.5x + y/3 = 2; दशमलव सटीक भिन्नों में बदल दिए जाते हैं।
“निकाय हल करें” दबाएँ। मानक रूप और संवर्धित आव्यूह पढ़ें, फिर पंक्ति संक्रियाओं की सूची।
निर्णय पढ़ें: अद्वितीय हल, अनंत हलों का प्राचलिक विवरण, या वह विरोधाभास जो दिखाता है कि कोई हल नहीं है।

सूत्र

आव्यूह रूप

A\mathbf{x} = \mathbf{b}

गुणांकों से $A$ बनता है, अचरों से $\mathbf{b}$ ; संवर्धित आव्यूह $[A \mid \mathbf{b}]$ है।

प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाएँ

R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i\ (k \ne 0),\quad R_i \to R_i + kR_j

इनमें से कोई भी हल समुच्चय को नहीं बदलती।

क्रेमर का नियम (2 × 2)

x = \frac{\begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}

$ax + by = e$ , $cx + dy = f$ के लिए, जब सारणिक शून्येतर हो।

हल सहित उदाहरण: 2x + 3y = 7, x − y = 1

उदाहरण $2x + 3y = 7$ और $x - y = 1$ को हल करता है। इंजन संवर्धित आव्यूह लिखता है, पहली पंक्ति को इस तरह गुणा करता है कि उसका अग्रग अवयव 1 हो, दूसरी पंक्ति से $x$ हटाता है, फिर पहली पंक्ति से $y$ हटाता है।

समानीत आव्यूह को सीधे $x = 2$ और $y = 1$ के रूप में पढ़ा जा सकता है। प्रतिस्थापन से $2(2) + 3(1) = 7$ और $2 - 1 = 1$ मिलते हैं, इसलिए दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

x = 2,\ y = 1

हमने आपका सवाल कैसे समझा

2 अज्ञातों (x, y) में 2 रैखिक समीकरण।

\begin{cases} 2x+3y = 7 \\ x- y = 1 \end{cases}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

हर समीकरण को मानक रूप में लिखें
चर वाले सभी पद बाईं ओर और अचर दाईं ओर ले जाएँ।
$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases}$
संवर्धित आव्यूह [A | b] बनाएँ
स्तंभ: x, y | अचर।
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 7 \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
गाउस–जॉर्डन विलोपन
पंक्ति संक्रियाओं से हर धुरी अवयव को 1 बनाएँ और उसके स्तंभ का बाकी भाग शून्य करें।
R1 को 2 से भाग दें
$R_{1} \to \tfrac{1}{2} R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1\end{bmatrix}$
R1 के धुरी अवयव से स्तंभ 1 को शून्य करें
$R_{2} \to R_{2} - 1R_{1}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2}\end{bmatrix}$
R2 को -5/2 से भाग दें
$R_{2} \to \tfrac{1}{-\frac{5}{2}} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
R2 के धुरी अवयव से स्तंभ 2 को शून्य करें
$R_{1} \to R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}:\ \begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
समानीत पंक्ति-सोपान रूप
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$
अद्वितीय हल पढ़ें
$x = 2,\ y = 1$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

आव्यूह रूप
$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$
प्रारंभिक पंक्ति संक्रियाएँ
$R_i \leftrightarrow R_j,\quad R_i \to kR_i,\quad R_i \to R_i + kR_j$

निकाय का ठीक एक हल है; इसे वापस रखने पर हर समीकरण संतुष्ट होता है।

जाँच

समीकरण 1: 2x + 3y = 7 ✓
समीकरण 2: x - y = 1 ✓

पूरी व्याख्या

विलोपन, प्रतिस्थापन और आव्यूह

प्रतिस्थापन विधि एक समीकरण को किसी चर के लिए हल करके उसे बाकी समीकरणों में रखती है। विलोपन विधि समीकरणों के गुणजों को जोड़ती है ताकि कोई चर कट जाए। गाउस–जॉर्डन विलोपन संवर्धित आव्यूह पर एक निश्चित क्रम में किया गया विलोपन है: हर स्तंभ में एक धुरी अवयव चुनें, उसे 1 बनाएँ, और उस स्तंभ के बाकी सभी अवयव शून्य करें।

आव्यूह वाला रूप कोई अलग विधि नहीं, बस अधिक व्यवस्थित हिसाब-किताब है। हर पंक्ति चरों के नाम हटाकर लिखा गया एक समीकरण है, और हर पंक्ति संक्रिया वह है जो आप हाथ से समीकरणों पर कर सकते हैं। चूँकि गणना सटीक भिन्नों में होती है, पूर्णांकन की कोई त्रुटि किसी आश्रित निकाय को झूठे अद्वितीय हल में नहीं बदल सकती।

कोई हल नहीं और अनंत हल पहचानना

यदि विलोपन से $[0\ 0 \mid 5]$ जैसी पंक्ति बने, तो वह कहती है $0 = 5$ , जो असंभव है, इसलिए निकाय असंगत है। ज्यामितीय रूप से, समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं।

यदि कोई पंक्ति पूरी शून्य हो जाए, $[0\ 0 \mid 0]$ , तो वह समीकरण बाकी समीकरणों का संयोजन था और कोई नई जानकारी नहीं देता। जब धुरी अवयव चरों से कम हों, तो बिना धुरी वाले चर स्वतंत्र होते हैं। कैलकुलेटर उन्हें प्राचल के रूप में नाम देता है और बाकी चरों को उनके पदों में लिखता है, जिससे हलों की पूरी रेखा या समतल का वर्णन होता है।

बड़े निकाय

तीन अज्ञातों वाले तीन समीकरण एक अतिरिक्त स्तंभ के साथ इसी पैटर्न का पालन करते हैं। यह विधि किसी भी आकार तक लागू होती है, और कैलकुलेटर अज्ञातों से अधिक या कम समीकरणों वाले निकाय भी संभालता है, और हर स्थिति में परिणाम ईमानदारी से बताता है।

आम गलतियाँ

किसी समीकरण को गुणा करते समय केवल एक पक्ष या केवल कुछ पदों को गुणा करना।
एक समीकरण को दूसरे से घटाते समय ऋण चिह्न खो देना; अचर सहित हर पद घटाएँ।
यह मान लेना कि निकाय का हमेशा ठीक एक हल होता है। विरोधाभासों और शून्य पंक्तियों की जाँच करें।
अलग-अलग समीकरणों में चरों को अलग क्रम में लिखना, जिससे आव्यूह के स्तंभ गड़बड़ा जाते हैं।
बीच में भिन्नों का पूर्णांकन करना, जिससे संगत निकाय थोड़ा असंगत दिख सकता है।

सुझाव

शुरू करने से पहले हर समीकरण में चरों को एक ही क्रम में रखें।
पहले सबसे सरल गुणांकों वाले चर का विलोपन करें।
अपने उत्तर को हर मूल समीकरण में रखें, केवल अंतिम प्रयुक्त समीकरण में नहीं।
दो चरों के लिए दोनों रेखाओं का रेखाचित्र बनाकर अनुमान लगाएँ कि वे एक बार मिलेंगी, कभी नहीं या हर जगह।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

तीन चरों के लिए हल करने को कितने समीकरण चाहिए?

आमतौर पर तीन स्वतंत्र समीकरण। कम होने पर स्वतंत्र चर और अनंत हल होते हैं; अधिक होने पर अतिरिक्त समीकरणों को बाकी समीकरणों से संगत होना चाहिए।

जब कैलकुलेटर कहे कि कोई हल नहीं, तो इसका क्या अर्थ है?

विलोपन से 0 = 5 जैसा असंभव कथन बना। समीकरण एक-दूसरे का खंडन करते हैं; दो चरों के लिए रेखाएँ समांतर हैं।

स्वतंत्र चर क्या होते हैं?

विलोपन के बाद बिना धुरी अवयव वाले चर। वे कोई भी मान ले सकते हैं, और बाकी चर उनके पदों में लिखे जाते हैं, जिससे अनंत हल मिलते हैं।

क्या मैं दोनों पक्षों में चर वाले समीकरण लिख सकता हूँ?

हाँ। विलोपन शुरू होने से पहले हर समीकरण को मानक रूप में बदला जाता है, जिसमें चर वाले पद बाईं ओर और अचर दाईं ओर होते हैं।

उत्तर दशमलव के बजाय भिन्न में क्यों हैं?

इंजन सटीक परिमेय अंकगणित में काम करता है, इसलिए 7/3 जैसे उत्तर सटीक रहते हैं। यदि आपका पाठ्यक्रम माँगे, तो केवल अंत में दशमलव में बदलें।

क्या यह x का वर्ग जोड़ y का वर्ग बराबर 25 जैसे अरैखिक निकाय हल कर सकता है?

नहीं। यह कैलकुलेटर रैखिक निकायों के लिए है। एक बहुपद समीकरण के लिए समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर प्रयोग करें; वक्रों के प्रतिच्छेद ग्राफ़ कैलकुलेटर पर दृश्य रूप से देखे जा सकते हैं।

समीकरण निकाय कैलकुलेटर आज़माएँ

हर पंक्ति में एक समीकरण लिखें और सटीक भिन्नों में हर पंक्ति संक्रिया देखें।

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