व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर

व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर के बारे में

आव्यूह का व्युत्क्रम वही भूमिका निभाता है जो संख्याओं के लिए भाग निभाता है। अगर $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , तो $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ , इसलिए एक व्युत्क्रम एक ही गुणांक आव्यूह वाले हर निकाय को एक साथ हल कर देता है। व्युत्क्रम ग्राफ़िक्स में रूपांतरणों को पलटते हैं, हिल सिफ़र में संदेशों को डिकोड करते हैं, और न्यूनतम वर्ग समाश्रयण जैसे सूत्रों में पूरी सांख्यिकी में दिखाई देते हैं।

यह कैलकुलेटर पहले जाँचता है कि सारणिक शून्येतर है, क्योंकि तभी व्युत्क्रम का अस्तित्व होता है। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए वह अदला-बदली और चिह्न-परिवर्तन का त्वरित नियम लगाता है। बड़े आव्यूहों के लिए वह संवर्धित आव्यूह $[A \mid I]$ पर गाउस–जॉर्डन विलोपन करता है और हर पंक्ति संक्रिया सूचीबद्ध करता है। हर प्रविष्टि सटीक भिन्न है, और अंतिम चरण $A$ को परिणाम से गुणा करके पुष्टि करता है कि तत्समक आव्यूह मिलता है।

आव्यूह का व्युत्क्रम क्या है?

वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम वह आव्यूह $A^{-1}$ है जिसके लिए $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ , जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। अगर यह मौजूद हो तो अद्वितीय होता है, और आव्यूह को व्युत्क्रमणीय या अविचित्र कहते हैं।

वर्ग आव्यूह ठीक तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो। समतुल्य प्रतिबंध ये हैं कि उसकी पंक्तियाँ रैखिकतः स्वतंत्र हों, उसकी कोटि उसके आकार के बराबर हो और समीकरण $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ का केवल शून्य हल हो। अवर्ग आव्यूहों का कभी दोनों ओर से काम करने वाला व्युत्क्रम नहीं होता।

व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

वर्ग आव्यूह लिखें, प्रविष्टियों के बीच स्पेस और पंक्तियों के बीच अर्धविराम रखकर, उदाहरण के लिए 4 7; 2 6।
“व्युत्क्रम निकालें” दबाएँ।
सारणिक वाला चरण जाँचें; अगर वह शून्य है, तो आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं है।
पंक्ति संक्रियाओं या 2×2 नियम का अनुसरण करते हुए व्युत्क्रम तक पहुँचें।
अंतिम जाँच की पुष्टि करें कि A·A⁻¹ तत्समक आव्यूह के बराबर है।

सूत्र

2×2 व्युत्क्रम

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

गाउस–जॉर्डन विधि

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

गुणनफल का व्युत्क्रम

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

निकाय हल करना

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

हल सहित उदाहरण: 2×2 आव्यूह

उदाहरण $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ का व्युत्क्रम निकालता है। इसका सारणिक $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ है, जो शून्येतर है, इसलिए व्युत्क्रम मौजूद है।

विकर्ण प्रविष्टियों की अदला-बदली करने, विकर्णेतर प्रविष्टियों का चिह्न बदलने और 10 से भाग देने पर $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ मिलता है। इसे $A$ से गुणा करने पर तत्समक आव्यूह मिलता है, जिसकी पुष्टि अंतिम चरण करता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम निकालें।

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

जाँचें कि सारणिक शून्येतर है
$\det A = 10 \neq 0$
a और d की अदला-बदली करें, b और c का चिह्न बदलें, फिर सारणिक से भाग दें
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
जाँच: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

2×2 व्युत्क्रम
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
गाउस–जॉर्डन विधि
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

सारणिक 10 है, इसलिए A व्युत्क्रमणीय है। व्युत्क्रम की हर प्रविष्टि सटीक है।

जाँच

A को परिणाम से गुणा करने पर ठीक तत्समक आव्यूह मिलता है।

पूरी व्याख्या

गाउस–जॉर्डन विलोपन

$3 \times 3$ या बड़े आव्यूह के लिए $A$ और तत्समक आव्यूह को साथ-साथ लिखें और पूरे संवर्धित आव्यूह पर पंक्ति संक्रियाएँ लगाएँ। हर धुरी पंक्ति को इस तरह मापें कि धुरी अवयव 1 बन जाए, फिर उस स्तंभ की बाकी हर प्रविष्टि शून्य करें। जब बायाँ आधा भाग तत्समक बन जाए, तो दायाँ आधा भाग $A^{-1}$ होता है, क्योंकि संक्रियाओं का जो क्रम $A$ को $I$ में बदलता है, वही $I$ को $A^{-1}$ में बदलता है।

पंक्तियों $(2, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ और $(0, 1, 3)$ वाले आव्यूह के लिए कैलकुलेटर पहली पंक्ति को 2 से भाग देता है, पहला स्तंभ शून्य करता है, दूसरा स्तंभ शून्य करता है, तीसरी पंक्ति को $\frac72$ से भाग देता है और तीसरा स्तंभ शून्य करता है। व्युत्क्रम की हर प्रविष्टि $\frac17$ का गुणज निकलती है, क्योंकि सारणिक 7 है।

अव्युत्क्रमणीय आव्यूह

अगर सारणिक शून्य हो, तो विलोपन बाईं ओर शून्यों की एक पंक्ति बना देता है और तत्समक तक कभी नहीं पहुँचा जा सकता। कैलकुलेटर इसे शुरुआत में ही पकड़ लेता है। आव्यूह $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ अव्युत्क्रमणीय है क्योंकि उसकी दूसरी पंक्ति पहली की दोगुनी है, इसलिए कैलकुलेटर अर्थहीन उत्तर छापने के बजाय बताता है कि उसका कोई व्युत्क्रम नहीं है।

जो सारणिक बस छोटा हो, वह सटीक अंकगणना के लिए समस्या नहीं है, लेकिन वास्तविक आँकड़ों में यह चेतावनी का संकेत है: व्युत्क्रम की प्रविष्टियाँ बड़ी होंगी, और $A$ में मापन की छोटी त्रुटियाँ बहुत बढ़ जाएँगी।

व्युत्क्रम का उपयोग

$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ हल करने के लिए $A^{-1}$ को $\mathbf{b}$ से गुणा करें। यह तब कारगर है जब कई निकायों का आव्यूह एक ही हो। किसी एक निकाय के लिए संवर्धित आव्यूह $[A \mid \mathbf{b}]$ का सीधे पंक्ति समानयन आम तौर पर पहले पूरा व्युत्क्रम निकालने से कम काम है।

$2 \times 2$ का संक्षिप्त नियम कोई अलग तरकीब नहीं है: यह वही है जो व्यापक $2 \times 2$ आव्यूह पर गाउस–जॉर्डन विलोपन को प्रतीकात्मक रूप से करने पर मिलता है। हर प्रविष्टि के हर में सारणिक $ad - bc$ का दिखना समझाता है कि शून्य सारणिक व्युत्क्रम को असंभव क्यों बना देता है।

आम गलतियाँ

2×2 सूत्र में सारणिक से भाग देना भूल जाना।
विकर्णेतर प्रविष्टियों का चिह्न बदलने के बजाय उनकी अदला-बदली करना।
पंक्ति संक्रिया को संवर्धित आव्यूह के केवल बाएँ आधे भाग पर लगाना।
$(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ लिखना; क्रम उलट जाता है।
जिस आव्यूह का सारणिक शून्य हो, उसका व्युत्क्रम निकालने की कोशिश करना।

सुझाव

पहले सारणिक निकालें; अगर वह शून्य है, तो रुक जाएँ।
प्रविष्टियों को भिन्नों में रखें, ताकि पूर्णांकन की त्रुटियाँ तत्समक वाली जाँच न बिगाड़ें।
$A$ को अपने उत्तर से गुणा करके सत्यापित करें; हर विकर्ण प्रविष्टि 1 और बाकी 0 होनी चाहिए।
व्युत्क्रम की प्रविष्टियों के हरों में सारणिक खोजें।
व्युत्क्रम को अचरों के सदिश से गुणा करने के लिए आव्यूह कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

2×2 आव्यूह का व्युत्क्रम कैसे निकालते हैं?

दोनों विकर्ण प्रविष्टियों की अदला-बदली करें, बाकी दो के चिह्न बदलें और हर प्रविष्टि को सारणिक ad − bc से भाग दें।

3×3 आव्यूह का व्युत्क्रम कैसे निकालते हैं?

संवर्धित आव्यूह [A | I] लिखें और पंक्ति संक्रियाओं से बाएँ आधे भाग को तत्समक में बदलें। तब दायाँ आधा भाग व्युत्क्रम होता है।

किसी आव्यूह का व्युत्क्रम कब नहीं होता?

जब उसका सारणिक शून्य हो। ऐसे आव्यूह को अव्युत्क्रमणीय कहते हैं; उसकी पंक्तियाँ रैखिकतः आश्रित होती हैं और विलोपन तत्समक तक नहीं पहुँच सकता।

व्युत्क्रम की जाँच कैसे करूँ?

मूल आव्यूह को व्युत्क्रम से गुणा करें। अगर परिणाम तत्समक आव्यूह है, तो व्युत्क्रम सही है। कैलकुलेटर यह अपने आप करता है।

क्या अवर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम होता है?

नहीं। केवल वर्ग आव्यूहों का ऐसा व्युत्क्रम हो सकता है जो दोनों ओर से काम करे।

क्या दशमलव लिख सकता हूँ?

हाँ। दशमलव सटीक भिन्नों में बदले जाते हैं, इसलिए 0.5 को 1/2 माना जाता है और व्युत्क्रम सटीक रूप से निकाला जाता है।

तत्समक आव्यूह का व्युत्क्रम क्या है?

स्वयं तत्समक आव्यूह, क्योंकि उसे स्वयं से गुणा करने पर वह अपरिवर्तित रहता है।

अपने आव्यूह का व्युत्क्रम निकालें

ऊपर वर्ग आव्यूह लिखें, और सारणिक की जाँच, हर पंक्ति संक्रिया और सटीक व्युत्क्रम पाएँ।

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