आइगेन मान कैलकुलेटर

आइगेन मान कैलकुलेटर के बारे में

आइगेन मान और आइगेन सदिश उन दिशाओं का वर्णन करते हैं जिन्हें आव्यूह नहीं बदलता, और यह भी कि वह उन्हें कितना खींचता है। गूगल के मूल पेजरैंक एल्गोरिद्म, पुलों और अणुओं के कंपन-विधाओं, सांख्यिकी के मुख्य घटक विश्लेषण, अवकल समीकरणों के स्थायित्व और क्वांटम यांत्रिकी के ऊर्जा स्तरों के पीछे यही हैं। रैखिक बीजगणित के पाठ्यक्रम में यह आम तौर पर वह विषय होता है जहाँ अब तक सीखा सब कुछ — सारणिक, पंक्ति समानयन और शून्य समष्टियाँ — एक साथ आता है।

यह कैलकुलेटर पाठ्यपुस्तक की विधि अपनाता है। वह अभिलाक्षणिक बहुपद $\det(\lambda I - A)$ बनाता है, परिमेय मूल प्रमेय, द्विघात सूत्र और बहुपद विभाजन से उसके मूल सटीक रूप से निकालता है, और फिर हर आइगेन मान के लिए $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ हल करके जहाँ तक संभव हो सरल पूर्णांक प्रविष्टियों वाले आइगेन सदिश देता है।

अपरिमेय आइगेन मान सटीक करणी रूप में रखे जाते हैं, सम्मिश्र आइगेन मान संयुग्मी युग्मों के रूप में बताए जाते हैं, और बार-बार आने वाले आइगेन मानों के साथ उनकी बीजीय और ज्यामितीय दोनों बहुलताएँ दी जाती हैं, ताकि आप एक नज़र में बता सकें कि आव्यूह विकर्णीय है या नहीं। 2×2 से 4×4 तक के आव्यूह समर्थित हैं, जो लगभग हर गृहकार्य और परीक्षा के प्रश्न को समेट लेते हैं।

आइगेन मान और आइगेन सदिश क्या हैं?

शून्येतर सदिश $\mathbf v$ वर्ग आव्यूह $A$ का आइगेन सदिश है अगर $A$ से गुणा करने पर वह केवल मपता है: किसी संख्या $\lambda$ के लिए $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ । वह संख्या $\mathbf v$ से संबंधित आइगेन मान है। आव्यूह से गुणा करने पर अधिकांश सदिशों की दिशा बदल जाती है; आइगेन सदिश वे विशेष सदिश हैं जो मूलबिंदु से होकर जाने वाली अपनी रेखा पर ही रहते हैं।

परिभाषा को $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ के रूप में लिखने से पता चलता है कि उन्हें कैसे निकालें। शून्येतर हल तभी होता है जब $A - \lambda I$ अव्युत्क्रमणीय हो, यानी उसका सारणिक शून्य हो। समीकरण $\det(A - \lambda I) = 0$ को अभिलाक्षणिक समीकरण कहते हैं; $n \times n$ आव्यूह के लिए यह घात $n$ का बहुपद है, इसलिए बहुलता सहित गिनने पर ठीक $n$ आइगेन मान होते हैं, जिनमें से कुछ सम्मिश्र हो सकते हैं।

हर आइगेन मान के अनंत आइगेन सदिश होते हैं, क्योंकि किसी आइगेन सदिश का हर शून्येतर गुणज भी आइगेन सदिश है। इसलिए उत्तर एक प्रतिनिधि सदिश के रूप में दिए जाते हैं, या कई स्वतंत्र दिशाएँ हों तो एक आधार के रूप में, और आपकी पाठ्यपुस्तक उसी सदिश का कोई दूसरा गुणज दिखा सकती है।

आइगेन मान कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

आव्यूह की हर पंक्ति एक अलग पंक्ति में लिखें और प्रविष्टियों को स्पेस से अलग करें, उदाहरण के लिए पहली पंक्ति में 4 1 और दूसरी में 2 3।
आप पूरा आव्यूह एक ही पंक्ति में भी लिख सकते हैं, पंक्तियों के बीच अर्धविराम रखकर, जैसे 4 1; 2 3।
प्रविष्टियाँ पूर्णांक, दशमलव, भिन्न या ऋणात्मक संख्याएँ हो सकती हैं। आव्यूह वर्ग होना चाहिए, 2×2 से 4×4 तक।
अभिलाक्षणिक बहुपद, उसके मूल और हर आइगेन मान के लिए आइगेन सदिश की गणना देखने के लिए “आइगेन मान निकालें” दबाएँ।
अगर आपको जानना है कि आव्यूह विकर्णीय है या नहीं, तो बार-बार आने वाले आइगेन मानों की बताई गई बहुलताएँ देखें।

सूत्र

आइगेन मान समीकरण

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

अभिलाक्षणिक समीकरण

\det(\lambda I - A) = 0

2×2 का संक्षिप्त सूत्र

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

अनुरेख और सारणिक

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

विकर्णीकरण

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

हल सहित उदाहरण: 2×2, परिमेय

नीचे का हल किया गया उदाहरण $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ के लिए सीधे निकाला जाता है। अनुरेख 7 है और सारणिक $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ है, इसलिए अभिलाक्षणिक बहुपद $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ है और आइगेन मान 5 और 2 हैं।

$\lambda = 5$ के लिए आव्यूह $A - 5I$ की पंक्तियाँ $(-1, 1)$ और $(2, -2)$ हैं, जिसकी शून्य समष्टि $\langle 1, 1 \rangle$ से जनित है। $\lambda = 2$ के लिए $A - 2I$ की पंक्तियाँ $(2, 1)$ और $(2, 1)$ हैं, जिससे $\langle -1, 2 \rangle$ मिलता है। एक की जाँच तुरंत हो जाती है: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , जो ठीक उस सदिश का पाँच गुना है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\lambda = 5,\ 2

हमने आपका सवाल कैसे समझा

2×2 आव्यूह के आइगेन मान और आइगेन सदिश निकालें।

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

अभिलाक्षणिक समीकरण बनाएँ
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
2×2 आव्यूह के लिए यह λ² − (अनुरेख)λ + सारणिक है
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
अभिलाक्षणिक बहुपद
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
परिमेय मूल प्रमेय से मिले परिमेय मूल
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
λ = 5 के लिए आइगेन सदिश: (A − λI)v = 0 हल करें
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
λ = 2 के लिए आइगेन सदिश: (A − λI)v = 0 हल करें
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

अभिलाक्षणिक समीकरण
$\det(\lambda I - A) = 0$
आइगेन सदिश समीकरण
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

आइगेन मान अभिलाक्षणिक बहुपद के मूल हैं। आइगेन सदिश: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩।

जाँच

आइगेन मानों का योग ≈ 7, अनुरेख 7 के बराबर है।
आइगेन मानों का गुणनफल सारणिक 10 के बराबर है।

पूरी व्याख्या

चरण 1: अभिलाक्षणिक बहुपद

2×2 आव्यूह के लिए बहुपद तुरंत $\lambda^2 - (\text{trace})\lambda + \det$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ कोष्ठक में अनुरेख है। बड़े आव्यूहों के लिए कैलकुलेटर $\det(\lambda I - A)$ का सहखंडों से प्रसार करता है। पंक्तियों $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ और $(0, 4, 9)$ वाला 3×3 सममित आव्यूह $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ देता है।

दो त्वरित जाँचें अंकगणना की अधिकांश गलतियाँ पकड़ लेती हैं। $\lambda^{n-1}$ का गुणांक अनुरेख का ऋणात्मक है, यहाँ $-(2 + 3 + 9) = -14$ , और अचर पद $(-1)^n \det A$ है, यहाँ $-22$ , क्योंकि सारणिक 22 है।

चरण 2: मूल निकालना

पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ हर परिमेय आइगेन मान को अचर पद को विभाजित करना चाहिए, इसलिए कैलकुलेटर 22 के भाजकों को परखता है और $\lambda = 1$ पाता है, फिर बहुपद को $(\lambda - 1)$ से भाग देकर बचे द्विघात का गुणनखंडन करता है। आइगेन मान 11, 2 और 1 हैं, और उनका योग, 14, अनिवार्य रूप से अनुरेख से मेल खाता है।

जब बचे द्विघात का परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन न हो, तो द्विघात सूत्र सटीक करणी देता है। $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ के लिए बहुपद $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ के मूल $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ हैं, लगभग 5.372 और $-0.372$ । अगर विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो मूल सम्मिश्र संयुग्मी होते हैं; घूर्णन आव्यूह $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ के लिए $\lambda^2 + 1 = 0$ , इसलिए $\lambda = \pm i$ , जो इस तथ्य को दर्शाता है कि 90° का घूर्णन कोई भी वास्तविक दिशा अपरिवर्तित नहीं छोड़ता।

चरण 3: शून्य समष्टि से आइगेन सदिश

हर आइगेन मान को $A - \lambda I$ में रखें और समघात निकाय को पंक्ति समानयन से हल करें। चूँकि आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, कम से कम एक पंक्ति शून्यों में बदल जाती है, जिससे एक स्वतंत्र चर बचता है। स्वतंत्र चर को सुविधाजनक मान देकर और पश्च-प्रतिस्थापन करके आइगेन सदिश मिलता है, जिसे कैलकुलेटर छोटे पूर्णांकों तक मापता है।

3×3 उदाहरण में $\lambda = 11$ के लिए $A - 11I$ की पंक्तियाँ $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ और $(0, 4, -2)$ हैं। पहली पंक्ति से $v_1 = 0$ मिलता है और बाकी दोनों कहती हैं $v_3 = 2v_2$ , इसलिए $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ । इस जैसे सममित आव्यूहों के आइगेन मान हमेशा वास्तविक और आइगेन सदिश परस्पर लंब होते हैं, जिसकी पुष्टि आप बिंदु गुणनफल से कर सकते हैं।

बार-बार आने वाले आइगेन मान और विकर्णीकरण

जो आइगेन मान मूल के रूप में $k$ बार आता है, उसकी बीजीय बहुलता $k$ है। उसके स्वतंत्र आइगेन सदिशों की संख्या उसकी ज्यामितीय बहुलता है, जो छोटी हो सकती है। $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ और $2I$ दोनों का दोहरा आइगेन मान 2 है, लेकिन पहले में आइगेन सदिश की केवल एक दिशा है, $\langle 1, 0 \rangle$ , जबकि दूसरे में दो हैं, $\langle 1, 0 \rangle$ और $\langle 0, 1 \rangle$ ।

किसी आव्यूह को $PDP^{-1}$ के रूप में, $D$ के विकर्ण पर आइगेन मानों और $P$ के स्तंभों के रूप में आइगेन सदिशों के साथ, ठीक तभी लिखा जा सकता है जब हर आइगेन मान की ज्यामितीय बहुलता उसकी बीजीय बहुलता के बराबर हो। विकर्णीकरण घातें आसान बना देता है, क्योंकि $A^k = PD^kP^{-1}$ , और इसी तरह आइगेन मान जनसंख्या मॉडलों और मार्कोव शृंखलाओं में दीर्घकालिक व्यवहार का पूर्वानुमान देते हैं।

जानने योग्य संक्षिप्त तरीके

त्रिभुजाकार आव्यूह के आइगेन मान उसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं, इसलिए पंक्तियों $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ और $(0, 0, 6)$ वाले आव्यूह के आइगेन मान बिना किसी गणना के 6, 4 और 1 हैं। आव्यूह ठीक तभी व्युत्क्रमणीय होता है जब 0 आइगेन मान न हो, और $A^{-1}$ के आइगेन मान $A$ के आइगेन मानों के व्युत्क्रम होते हैं, आइगेन सदिश वही रहते हैं।

आव्यूह में सरल परिवर्तन उसके आइगेन मानों को अनुमेय ढंग से खिसकाते हैं। तत्समक का $c$ गुना जोड़ने से हर आइगेन मान में $c$ जुड़ जाता है, आव्यूह को किसी अदिश से गुणा करने पर हर आइगेन मान उसी अदिश से गुणा हो जाता है, और उसे घात $k$ तक उठाने पर हर आइगेन मान घात $k$ तक उठ जाता है, और इन सबमें आइगेन सदिश नहीं बदलते। आव्यूह और उसके परिवर्त के आइगेन मान समान होते हैं, हालाँकि आइगेन सदिश आम तौर पर नहीं। इन तथ्यों से आप कुछ भी गणना करने से पहले उत्तरों की जाँच और परिणामों का अनुमान कर सकते हैं।

आम गलतियाँ

$\det(A - \lambda I)$ के बजाय $\det(A) - \lambda$ निकालना; $\lambda$ को हर विकर्ण प्रविष्टि में से घटाना होता है।
शून्य सदिश को आइगेन सदिश मान लेना; परिभाषा के अनुसार आइगेन सदिश शून्येतर होने चाहिए।
बहुपद में अंकगणना की चूक करना और फिर ऐसी शून्य समष्टि पाना जिसमें केवल शून्य सदिश हो।
यह मान लेना कि हर आव्यूह के आइगेन मान वास्तविक होते हैं; घूर्णनों और कई असममित आव्यूहों के आइगेन मान सम्मिश्र होते हैं।
किसी आइगेन सदिश को इसलिए गलत समझना कि वह पाठ्यपुस्तक वाले से एक अचर गुणज भर अलग है।
बार-बार आने वाले आइगेन मानों की ज्यामितीय बहुलता जाँचे बिना निष्कर्ष निकालना कि आव्यूह विकर्णीय है।

सुझाव

जाँचें कि आइगेन मानों का योग अनुरेख और गुणनफल सारणिक के बराबर है।
हर आइगेन सदिश का सत्यापन $A\mathbf v$ निकालकर और उसकी तुलना $\lambda\mathbf v$ से करके करें।
त्रिभुजाकार आव्यूहों के आइगेन मान सीधे विकर्ण से पढ़ें।
3×3 आव्यूहों के लिए सारणिक का प्रसार सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश करें।
हर आइगेन मान के लिए $A - \lambda I$ अव्युत्क्रमणीय है, इसकी पुष्टि सारणिक कैलकुलेटर से करें।
जब भी आव्यूह सममित हो, वास्तविक आइगेन मानों और परस्पर लंब आइगेन सदिशों की अपेक्षा करें।
पहले आव्यूह से उभयनिष्ठ संख्याएँ बाहर निकालें; आइगेन मान बस उसी गुणक से मपते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

आइगेन मान कैलकुलेटर में आव्यूह कैसे लिखूँ?

हर पंक्ति एक अलग पंक्ति में लिखें और प्रविष्टियों के बीच स्पेस रखें, या सभी पंक्तियाँ एक ही पंक्ति में अर्धविराम से अलग करके लिखें, जैसे 4 1; 2 3। भिन्न, दशमलव और ऋणात्मक संख्याएँ स्वीकार की जाती हैं।

किस आकार के आव्यूह समर्थित हैं?

2×2 से 4×4 तक के वर्ग आव्यूह। आइगेन मान केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित हैं, इसलिए उदाहरण के लिए 3×2 आव्यूह व्याख्या के साथ अस्वीकार कर दिया जाता है।

क्या कैलकुलेटर सम्मिश्र आइगेन मान निकाल सकता है?

हाँ। जब अभिलाक्षणिक बहुपद का विविक्तकर ऋणात्मक हो, तो आइगेन मान सम्मिश्र संयुग्मी युग्म के रूप में बताए जाते हैं, जैसे 90° के घूर्णन आव्यूह के लिए λ = i और −i।

मेरा आइगेन सदिश मेरी पाठ्यपुस्तक वाले से अलग क्यों है?

किसी आइगेन सदिश का हर शून्येतर गुणज भी आइगेन सदिश होता है। ⟨1, 1⟩ और ⟨3, 3⟩ एक ही दिशा बताते हैं। जाँचें कि एक सदिश दूसरे का गुणज है।

बीजीय और ज्यामितीय बहुलता का क्या अर्थ है?

बीजीय बहुलता बताती है कि कोई आइगेन मान अभिलाक्षणिक बहुपद के मूल के रूप में कितनी बार आता है। ज्यामितीय बहुलता बताती है कि उसके कितने स्वतंत्र आइगेन सदिश हैं। बार-बार आने वाले आइगेन मानों के लिए कैलकुलेटर दोनों बताता है।

क्या कैलकुलेटर सटीक आइगेन मान देता है या दशमलव?

जहाँ संभव हो, सटीक: पूर्णांक, भिन्न और 5/2 ± √33/2 जैसी करणियाँ। केवल जब त्रिघात या चतुर्घात के मूल सटीक रूप से न निकल सकें, तब वह सटीक दशमलव मानों का सहारा लेता है।

आइगेन मानों का सारणिक और अनुरेख से क्या संबंध है?

सभी आइगेन मानों का गुणनफल सारणिक के बराबर और उनका योग अनुरेख के बराबर होता है। पंक्तियों (4, 1) और (2, 3) वाले आव्यूह के लिए 5 × 2 = 10 सारणिक है और 5 + 2 = 7 अनुरेख।

शून्य आइगेन मान का क्या अर्थ है?

आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है: उसका कोई व्युत्क्रम नहीं है और उसका सारणिक शून्य है। λ = 0 के आइगेन सदिश आव्यूह की शून्य समष्टि को जनित करते हैं।

कक्षा के बाहर आइगेन मानों का उपयोग कहाँ होता है?

कंपन विश्लेषण, नियंत्रण प्रणालियों के स्थायित्व, मुख्य घटक विश्लेषण, क्वांटम यांत्रिकी, मार्कोव शृंखलाओं और सर्च इंजन की रैंकिंग में, जहाँ भी किसी रैखिक रूपांतरण के बार-बार लागू होने को समझना हो।

अपने आव्यूह के आइगेन मान निकालें

ऊपर वर्ग आव्यूह लिखें, और अभिलाक्षणिक बहुपद, सटीक मूल और हर आइगेन सदिश की गणना पाएँ।

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