आइगेनमान और आइगेनसदिश उदाहरणों सहित

परिभाषित करने वाला समीकरण

अधिकांश सदिश किसी आव्यूह से गुणा करने पर अपनी दिशा बदल लेते हैं। कुछ विशेष सदिश ऐसा नहीं करते: आव्यूह उन्हें उसी रेखा पर बस खींचता, सिकोड़ता या उलटता है। ये आइगेनसदिश हैं, और जिस गुणक से हर एक का पैमाना बदलता है, वह उसका आइगेनमान है। प्रतीकों में, शून्येतर सदिश $\mathbf{v}$ वर्ग आव्यूह $A$ का आइगेनमान $\lambda$ वाला आइगेनसदिश है जब:

शून्य सदिश को बाहर रखा जाता है, क्योंकि वह हर $\lambda$ के लिए समीकरण को संतुष्ट कर देगा। लेकिन आइगेनमान शून्य, ऋणात्मक या सम्मिश्र भी हो सकते हैं। आइगेनमान 2 का अर्थ है कि उस दिशा के सदिशों की लंबाई दोगुनी हो जाती है, $-1$ का अर्थ है कि वे पलट जाते हैं, और 0 का अर्थ है कि वे दबकर शून्य हो जाते हैं, जो ठीक तब होता है जब आव्यूह अव्युत्क्रमणीय हो।

अभिलक्षणिक समीकरण से आइगेनमान ज्ञात करना

परिभाषित करने वाले समीकरण को $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ के रूप में लिखें। शून्येतर हल होने के लिए आव्यूह $A - \lambda I$ का अव्युत्क्रमणीय होना आवश्यक है, इसलिए उसका सारणिक शून्य होना चाहिए। इससे अभिलक्षणिक समीकरण मिलता है:

$n \times n$ आव्यूह के लिए यह $\lambda$ में घात $n$ का बहुपद समीकरण है, इसलिए बहुलता सहित गिनने और सम्मिश्र मानों की अनुमति देने पर $n$ आइगेनमान होते हैं। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए यह बहुपद द्विघात होता है, जिसे आप द्विघात समीकरण कैसे हल करें में दी गई विधियों से हल कर सकते हैं।

एक पूरा 2 बाय 2 उदाहरण

किसी आइगेनसदिश का हर शून्येतर गुणज भी आइगेनसदिश होता है, इसलिए $(3, 3)$ या $(-2, 4)$ भी उतने ही सही उत्तर होते। महत्व दिशा का है, लंबाई का नहीं। यह भी देखें कि हर बार $A - \lambda I$ की दोनों पंक्तियाँ एक-दूसरे की गुणज थीं। जब $\lambda$ सचमुच आइगेनमान हो, तो ऐसा होना निश्चित है, और यह आपके अंकगणित की एक उपयोगी जाँच है।

दो शॉर्टकट: अनुरेख और सारणिक

किसी भी वर्ग आव्यूह के आइगेनमान दो आसान संख्याओं से जुड़े होते हैं। उनका योग अनुरेख, यानी विकर्ण अवयवों के योग, के बराबर होता है, और उनका गुणनफल सारणिक के बराबर होता है:

उदाहरण 1 में अनुरेख $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ है और सारणिक $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$ है। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए इसका अर्थ है कि अभिलक्षणिक समीकरण हमेशा $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ होता है, जिससे सारणिक को हाथ से प्रसारित करने की ज़रूरत नहीं पड़ती। त्रिभुजाकार आव्यूह और भी आसान हैं: उनके आइगेनमान बस विकर्ण अवयव होते हैं।

सम्मिश्र और पुनरावृत्त आइगेनमान

घूर्णन आव्यूह $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ हर सदिश को 90 अंश घुमा देता है, इसलिए कोई भी वास्तविक दिशा अपनी रेखा पर नहीं रहती। इसका अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 + 1 = 0$ है, जिससे सम्मिश्र आइगेनमान $\lambda = \pm i$ मिलते हैं। वास्तविक आव्यूह के सम्मिश्र आइगेनमान हमेशा संयुग्मी युग्मों में आते हैं और घूर्णन का संकेत देते हैं।

आइगेनमान दोहराए भी जा सकते हैं। आव्यूह $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ का दोहरा आइगेनमान 2 है, फिर भी $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ से $y = 0$ होना अनिवार्य है, इसलिए केवल $(1, 0)$ के गुणज ही आइगेनसदिश हैं। ऐसा आव्यूह, जिसके स्वतंत्र आइगेनसदिश उसके आकार से कम हों, दोषपूर्ण आव्यूह कहलाता है। इसके विपरीत, तत्समक आव्यूह का भी पुनरावृत्त आइगेनमान 1 है, लेकिन हर शून्येतर सदिश उसका आइगेनसदिश है।

सममित आव्यूह इन दोनों जटिलताओं से बचे रहते हैं। उनके आइगेनमान हमेशा वास्तविक होते हैं, और अलग-अलग आइगेनमानों के आइगेनसदिश परस्पर लंबवत होते हैं। $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ के लिए आइगेनमान 3 और 1 हैं, जिनके आइगेनसदिश $(1, 1)$ और $(1, -1)$ हैं, और इनका अदिश गुणनफल शून्य है।

विकर्णीकरण और आव्यूह की घातें

जब किसी $n \times n$ आव्यूह के $n$ स्वतंत्र आइगेनसदिश हों, तो उसका विकर्णीकरण किया जा सकता है। आइगेनसदिशों को $P$ के स्तंभों में और आइगेनमानों को $D$ के विकर्ण पर रखें, तब:

किसी विकर्ण आव्यूह की घात लेने का अर्थ बस हर विकर्ण अवयव की वही घात लेना है, इसलिए $A^{100}$ निकालना आसान हो जाता है। आइगेनमान दीर्घकालिक व्यवहार का भी पूर्वानुमान देते हैं: जब एक आइगेनमान का निरपेक्ष मान बाकी सबसे बड़ा हो, तो $A$ से बार-बार गुणा करने पर लगभग हर प्रारंभिक सदिश उस आइगेनमान के आइगेनसदिश की ओर बढ़ता जाता है।

आइगेनमान कहाँ काम आते हैं

• सर्च इंजन: मूल पेजरैंक कलन-विधि लिंक आव्यूह के प्रभावी आइगेनसदिश से वेब पेजों की रैंकिंग करती थी।
• अभियांत्रिकी: पुलों और इमारतों की प्राकृतिक कंपन आवृत्तियाँ आइगेनमानों से मिलती हैं, जिन्हें डिज़ाइनर अपेक्षित बाहरी बल की आवृत्तियों से दूर रखते हैं।
• डेटा विज्ञान: मुख्य घटक विश्लेषण सबसे अधिक विचरण की दिशाएँ खोजने के लिए सहप्रसरण आव्यूह के आइगेनसदिशों का उपयोग करता है।
• अवकल समीकरण: आइगेनमानों के चिह्न तय करते हैं कि कोई साम्यावस्था स्थायी है या अस्थायी।
• क्वांटम यांत्रिकी: ऊर्जा स्तरों जैसी मापने योग्य राशियाँ संकारकों के आइगेनमान होती हैं।

आइगेनमान कैलकुलेटर आइगेनमान और आइगेनसदिश, सम्मिश्र सहित, ज्ञात करता है और अभिलक्षणिक बहुपद को चरण-दर-चरण दिखाता है। सारणिक कैलकुलेटर किसी संभावित मान पर $\det(A - \lambda I)$ जाँचने में उपयोगी है।

एक 3 बाय 3 उदाहरण

बड़े आव्यूह भी इसी विधि का पालन करते हैं, और शून्य यहाँ भी उतनी ही मदद करते हैं जितनी सारणिकों में। पंक्तियों $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ और $(0, 4, 9)$ वाला आव्यूह लें। $\det(A - \lambda I)$ को पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसारित करने पर $(2 - \lambda)$ गुणा पंक्तियों $(3, 4)$ और $(4, 9)$ वाले छोटे खंड का अभिलक्षणिक बहुपद मिलता है। उस खंड का अनुरेख 12 और सारणिक $27 - 16 = 11$ है, इसलिए उसका बहुपद $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$ है।

इसलिए आइगेनमान 2, 1 और 11 हैं। जाँच के रूप में, इनका योग 14 है, जो पूरे आव्यूह का अनुरेख है, और गुणनफल 22 है, जो उसका सारणिक है। आइगेनसदिश 2 के लिए $(1, 0, 0)$, 1 के लिए $(0, -2, 1)$ और 11 के लिए $(0, 1, 2)$ हैं। आव्यूह सममित है, और जैसा कहा गया था, ये तीनों सदिश परस्पर लंबवत हैं।

आम गलतियाँ

• केवल विकर्ण अवयवों के बजाय हर अवयव में से $\lambda$ घटा देना।
• $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ हल करने के बाद शून्य सदिश को आइगेनसदिश मान लेना।
• यह मान लेना कि पुनरावृत्त आइगेनमान के साथ हमेशा दो स्वतंत्र आइगेनसदिश होते हैं।
• $A\mathbf{v}$ निकालकर उसकी $\lambda\mathbf{v}$ से तुलना करके परिणाम जाँचना भूल जाना।

अंतिम जाँच सबसे मूल्यवान आदत है। इसमें केवल एक आव्यूह गुणन लगता है, और अगर $A\mathbf{v}$ सदिश $\mathbf{v}$ का गुणज नहीं है, तो या तो आइगेनमान गलत है या आइगेनसदिश।

एक ज्यामितीय चित्र

कल्पना करें कि उदाहरण 1 का आव्यूह ग्राफ़ पेपर की एक शीट के हर बिंदु पर लगाया गया है। मूलबिंदु से खींचे गए अधिकांश तीर खिंचते भी हैं और घूमते भी हैं। लेकिन $(1, 1)$ से होकर जाने वाली रेखा पर के तीर बस पाँच गुना लंबे हो जाते हैं, और $(1, -2)$ से होकर जाने वाली रेखा पर के तीर दोगुने लंबे हो जाते हैं, और अपनी रेखाओं पर ही रहते हैं। आइगेनसदिश रूपांतरण का ढाँचा हैं: इन दो रेखाओं पर क्या होता है यह जान लेने पर आप जान जाते हैं कि हर जगह क्या होता है, क्योंकि हर सदिश को इनके अनुदिश टुकड़ों में बाँटा जा सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल