अदिश गुणनफल की सरल व्याख्या

घटक वाला सूत्र

अदिश गुणनफल, जिसे बिंदु गुणनफल भी कहते हैं, समान लंबाई के दो सदिश लेकर एक अकेली संख्या लौटाता है, सदिश नहीं। इसे निकालने के लिए संगत घटकों का गुणा करें और परिणाम जोड़ दें:

यह सूत्र किसी भी संख्या की विमाओं में काम करता है, इसीलिए अदिश गुणनफल डेटा विज्ञान में इतना आम है, जहाँ सदिशों में हज़ारों घटक हो सकते हैं। यह आव्यूह गुणन की भी मूल इकाई है: आव्यूह गुणनफल का हर अवयव किसी पंक्ति और किसी स्तंभ का अदिश गुणनफल होता है।

ज्यामितीय सूत्र और सदिशों के बीच का कोण

अदिश गुणनफल का एक दूसरा, ज्यामितीय वर्णन भी है। अगर एक ही बिंदु से खींचे जाने पर दोनों सदिशों के बीच का कोण $\theta$ हो, तो:

यहाँ $|\mathbf{a}|$ सदिश $\mathbf{a}$ की लंबाई, यानी परिमाण, है। दोनों सूत्र हमेशा एक ही उत्तर देते हैं, जो $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ और $\mathbf{a} - \mathbf{b}$ से बने त्रिभुज पर कोसाइन नियम लगाने से सिद्ध होता है। दोनों को मिलाने पर किन्हीं भी दो सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करने का व्यावहारिक तरीका मिलता है:

चिह्न आपको क्या बताता है

चूँकि लंबाइयाँ धनात्मक होती हैं, अदिश गुणनफल का चिह्न $\cos\theta$ के चिह्न जैसा ही होता है। इससे कोण की गणना किए बिना उसका तुरंत अंदाज़ा मिल जाता है:

• धनात्मक: कोण न्यून है, यानी 90 अंश से कम, और सदिश मोटे तौर पर एक ही ओर इंगित करते हैं।
• शून्य: सदिश परस्पर लंबवत हैं, जिन्हें लांबिक भी कहते हैं।
• ऋणात्मक: कोण अधिक है, यानी 90 अंश से ज़्यादा, और सदिश मोटे तौर पर विपरीत दिशाओं में इंगित करते हैं।

शून्य वाली स्थिति सबसे उपयोगी है। उदाहरण के लिए, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$ है, इसलिए ये सदिश लंबवत हैं। दो विमाओं में किसी सदिश के घटकों की अदला-बदली करके उनमें से एक का चिह्न बदलने पर हमेशा एक लंबवत सदिश मिलता है, जो रेखाओं के अभिलंब ज्ञात करने की एक आसान तरकीब है।

लंबाइयाँ और मात्रक सदिश

किसी सदिश का स्वयं से अदिश गुणनफल उसकी लंबाई का वर्ग देता है, क्योंकि कोण शून्य होता है और $\cos 0 = 1$ है:

इसलिए $(2, -1, 3)$ की लंबाई $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$ है। किसी सदिश को उसकी लंबाई से भाग देने पर मात्रक सदिश मिलता है, जिसकी लंबाई 1 होती है और जो उसी दिशा में इंगित करता है। मात्रक सदिश सुविधाजनक हैं, क्योंकि दो मात्रक सदिशों का अदिश गुणनफल बस उनके बीच के कोण का कोसाइन होता है।

एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप

$\mathbf{b}$ पर $\mathbf{a}$ का प्रक्षेप वह छाया है जो $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ से होकर जाने वाली रेखा पर डालता है, जब प्रकाश उस रेखा के लंबवत पड़ता है। अदिश गुणनफल इसे सीधे देता है:

संख्या $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, जो यहाँ लगभग 4.427 है, $\mathbf{b}$ के अनुदिश $\mathbf{a}$ का अदिश घटक है: छाया की चिह्न सहित लंबाई। प्रक्षेप किसी सदिश को एक दिशा के अनुदिश भाग और उसके लंबवत भाग में बाँट देते हैं, और यह चरण भौतिकी से लेकर सांख्यिकी की न्यूनतम वर्ग विधि तक हर जगह काम आता है।

बल द्वारा किया गया कार्य

भौतिकी में बल का केवल वही भाग कार्य करता है जो गति की दिशा में लगता है। इसलिए किसी वस्तु को विस्थापन $\mathbf{d}$ तक ले जाने वाले अचर बल $\mathbf{F}$ द्वारा किया गया कार्य एक अदिश गुणनफल है: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

गुणधर्म और अनुप्रयोग

• क्रमविनिमेय: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• वितरणशील: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• अदिश बाहर निकल आते हैं: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• कॉशी-श्वार्ज़ असमिका: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, जो सुनिश्चित करती है कि कोसाइन सूत्र हमेशा $-1$ और 1 के बीच का मान देगा।

ज्यामिति से आगे, अदिश गुणनफल कोसाइन समानता का आधार है, जिससे सर्च इंजन और अनुशंसा प्रणालियाँ मापती हैं कि दो दस्तावेज़ या उपयोगकर्ता कितने मिलते-जुलते हैं; 3D ग्राफ़िक्स में प्रकाश व्यवस्था का, जहाँ चमक सतह के अभिलंब और प्रकाश की दिशा के अदिश गुणनफल पर निर्भर करती है; और तंत्रिका नेटवर्क का, जिनके न्यूरॉन निवेशों और भारों के अदिश गुणनफल निकालते हैं। अदिश गुणनफल कैलकुलेटर गुणनफल, कोण और प्रक्षेप चरणों सहित निकालता है, और सदिश गुणनफल कैलकुलेटर सदिशों को गुणा करने का दूसरा तरीका सँभालता है, जिसे हमारी सदिश गुणनफल मार्गदर्शिका में समझाया गया है।

एक प्रसिद्ध ज्यामिति प्रश्न

अदिश गुणनफल कुछ ज्यामिति प्रश्नों को आश्चर्यजनक रूप से जल्दी हल कर देता है। घन का लंबा विकर्ण उसके किसी किनारे के साथ कितना कोण बनाता है? घन को इस तरह रखें कि उसका एक कोना मूलबिंदु पर हो और लंबाई 1 वाले किनारे अक्षों के अनुदिश हों। विकर्ण मूलबिंदु से $(1, 1, 1)$ तक जाता है, और एक किनारा $(1, 0, 0)$ तक।

इनका अदिश गुणनफल 1 है, विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}$ और किनारे की लंबाई 1 है, इसलिए $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ और $\theta \approx 54.7^\circ$ है। पारंपरिक ज्यामिति से यह करने के लिए घन के अंदर एक समकोण त्रिभुज बनाना और उसकी भुजाओं पर सावधानी से तर्क करना पड़ता है; सदिशों से यह तीन पंक्तियों में हो जाता है। यही तरीका किन्हीं भी दो रेखाओं, तलों या रासायनिक आबंधों के बीच का कोण ज्ञात कर देता है, बशर्ते उनकी दिशाओं को सदिशों के रूप में व्यक्त किया जा सके।

आम गलतियाँ

• उत्तर को सदिश के रूप में लिखना, उदाहरण के लिए योगफल 2 के बजाय $(8, 0, -6)$ लिखना।
• कोण वाले सूत्र के लिए लंबाइयाँ निकालते समय वर्गमूल लेना भूल जाना।
• सदिश प्रक्षेप सूत्र में $|\mathbf{b}|^2$ के बजाय $|\mathbf{b}|$ से भाग देना।
• कैलकुलेटर पर $\cos\theta$ या उसका प्रतिलोम निकालते समय अंश और रेडियन का असंगत उपयोग।
• सदिशों को लंबवत मान लेना जबकि उनमें से एक वास्तव में शून्य सदिश हो।

चिह्न एक अच्छी त्वरित जाँच है। अगर आपके रेखाचित्र में दो सदिश स्पष्ट रूप से मिलती-जुलती दिशाओं में इंगित करते हैं, तो अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए; अगर गणना ऋणात्मक संख्या देती है, तो किसी घटक में चिह्न की गलती खोजें।

अभ्यास प्रश्न

इन्हें हल करें, फिर आगे दिए उत्तरों से मिलाएँ। पहला, $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$ ज्ञात करें; गुणनफल 4, $-3$ और $-10$ हैं, इसलिए उत्तर $-9$ है, और ऋणात्मक मान का अर्थ है कि कोण अधिक कोण है। दूसरा, $k$ ज्ञात करें ताकि $(2, k)$ सदिश $(3, -6)$ के लंबवत हो: $6 - 6k = 0$ रखने पर $k = 1$ मिलता है। तीसरा, $(1, 0)$ और $(1, 1)$ के बीच का कोण ज्ञात करें: अदिश गुणनफल 1 है और लंबाइयाँ 1 और $\sqrt{2}$ हैं, इसलिए कोण 45 अंश है, जिसकी पुष्टि एक छोटा रेखाचित्र कर देता है।

एक संक्षिप्त इतिहास

सदिश संकेतन स्कूली गणित के अधिकांश भाग से नया है। 1840 के दशक में विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुष्टयी का आविष्कार किया, ऐसी संख्याएँ जिनमें एक वास्तविक और तीन काल्पनिक भाग होते हैं, और उनकी दो शुद्ध चतुष्टयियों के गुणनफल में एक अदिश भाग और एक सदिश भाग दोनों होते थे। 1880 के दशक में जोसाया विलार्ड गिब्स और ओलिवर हेविसाइड ने इन दोनों भागों को अलग करके अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल बनाए, जिससे भौतिकविदों को वह सरल सदिश बीजगणित मिला जो आज भी पढ़ाया जाता है। गिब्स ने इसके प्रतीक के रूप में बीच का बिंदु चुना, इसीलिए इसे बिंदु गुणनफल भी कहा जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल