कोसाइन नियम, उदाहरणों के साथ

सूत्र

त्रिभुज को सामान्य ढंग से नाम दें: कोण $A$, $B$, $C$, और उनकी सम्मुख भुजाएँ $a$, $b$, $c$. कोसाइन नियम के तीन रूप हैं, हर भुजा के लिए एक, और सभी एक ही पैटर्न पर चलते हैं:

इसे ऐसे पढ़ें: एक भुजा का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग में से एक संशोधन पद घटाने के बराबर है। संशोधन पद में वही कोण है जो बाईं ओर की भुजा के सम्मुख है, और यही दाईं ओर की दोनों भुजाओं के बीच का कोण भी है। जब $C = 90^\circ$, तो $\cos C = 0$ और संशोधन शून्य हो जाता है, और $c^2 = a^2 + b^2$ बचता है। इसलिए पाइथागोरस प्रमेय इसकी एक विशेष स्थिति है।

कोसाइन के लिए हल करने पर वह रूप मिलता है जिससे कोण निकाले जाते हैं:

निर्देशांकों से एक छोटी उपपत्ति

शीर्ष $C$ को मूलबिंदु पर और भुजा $a$ को धनात्मक x-अक्ष के साथ रखें, ताकि शीर्ष $B$ बिंदु $(a, 0)$ पर हो। शीर्ष $A$ मूलबिंदु से $b$ दूरी पर कोण $C$ की दिशा में है, इसलिए उसके निर्देशांक $(b\cos C, b\sin C)$ हैं।

भुजा $c$ बिंदु $A$ से $B$ तक की दूरी है। दूरी सूत्र से $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. विस्तार करने पर $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$ मिलता है, और क्योंकि $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, यह $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ है। उपपत्ति $C$ के न्यून या अधिक कोण होने, दोनों स्थितियों में काम करती है, क्योंकि निर्देशांक चिह्नों को अपने-आप सँभाल लेते हैं।

यही सर्वसमिका सदिश रूप में $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ के रूप में दिखती है, इसीलिए सदिशों के बीच का कोण निकालने में अदिश गुणनफल का उपयोग किया जा सकता है।

भुजा निकालना: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण

जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (भुजा-कोण-भुजा) ज्ञात हो, तो साइन नियम शुरू नहीं हो सकता, क्योंकि कोई भी भुजा अपने सम्मुख कोण के साथ जोड़े में नहीं है। कोसाइन नियम सीधे तीसरी भुजा देता है।

कोण निकालना: तीन भुजाएँ

जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों (भुजा-भुजा-भुजा), तो हर कोण के लिए कोसाइन वाला रूप इस्तेमाल करें। सबसे बड़े कोण से शुरू करें, जो सबसे लंबी भुजा के सम्मुख है। अगर वह अधिक कोण है, तो उसका कोसाइन ऋणात्मक है, और प्रतिलोम कोसाइन इसे सही सँभालता है, क्योंकि वह $0^\circ$ से $180^\circ$ तक के कोण लौटाता है। सबसे बड़ा कोण ज्ञात होने के बाद बाकी दो न्यून ही होंगे, इसलिए साइन नियम भी बिना किसी संदिग्धता के काम पूरा कर सकता है।

अगर तीनों लंबाइयों से त्रिभुज नहीं बन सकता, तो सूत्र यह बता देता है: कोसाइन $[-1, 1]$ के बाहर आता है। भुजाओं 3, 4 और 8 के लिए, 8 के सम्मुख कोण का $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$ है, जो असंभव है, और यह त्रिभुज असमिका $3 + 4 < 8$ से मेल खाता है।

बिना कैलकुलेटर के न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण

$a^2 + b^2 - c^2$ का चिह्न $\cos C$ के चिह्न जैसा ही होता है। $c$ को सबसे लंबी भुजा मानें, तो इससे तुरंत वर्गीकरण होता है:

• $c^2 < a^2 + b^2$: सबसे बड़ा कोण न्यून है, इसलिए त्रिभुज न्यूनकोण है।
• $c^2 = a^2 + b^2$: त्रिभुज समकोण है।
• $c^2 > a^2 + b^2$: त्रिभुज अधिककोण है।

भुजाओं 5, 7 और 10 के लिए $100 > 74$, इसलिए त्रिभुज अधिककोण है, जैसा उदाहरण 3 ने पुष्ट किया। 6, 8 और 9 के लिए $81 < 100$, इसलिए वह न्यूनकोण है।

तीन भुजाओं से क्षेत्रफल: हीरोन का सूत्र

कोसाइन नियम को क्षेत्रफल के सूत्र $\frac{1}{2}ab\sin C$ के साथ मिलाने पर हीरोन का सूत्र मिलता है, जिसे केवल भुजाओं की लंबाइयाँ चाहिए। मान लीजिए $s = \frac{a + b + c}{2}$ अर्धपरिमाप है। तब:

भुजाओं 5, 7 और 10 के लिए $s = 11$ और क्षेत्रफल $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$ है। जाँच के रूप में, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ से भी वही 16.25 मिलता है।

दोनों नियमों में से चुनना

भुजा-कोण-भुजा और भुजा-भुजा-भुजा के लिए कोसाइन नियम इस्तेमाल करें, यानी वे दो स्थितियाँ जिनमें भुजा और सम्मुख कोण का कोई जोड़ा नहीं होता। जब कोई भुजा अपने सम्मुख कोण के साथ ज्ञात हो, तो साइन नियम इस्तेमाल करें। मिली-जुली समस्याओं में अक्सर पहले कोसाइन नियम आता है और साइन नियम काम पूरा करता है। त्रिभुज हल करने की मार्गदर्शिका हर स्थिति को एक जगह समझाती है।

कोसाइन नियम का एक व्यावहारिक लाभ यह है कि यह कोण के लिए कभी संदिग्ध उत्तर नहीं देता, क्योंकि $-1$ और 1 के बीच का हर कोसाइन $0^\circ$ और $180^\circ$ के बीच ठीक एक कोण से संबंधित है। इसके विपरीत, साइन नियम न्यून कोण और उसके अधिक कोण वाले संपूरक में अंतर नहीं कर सकता। इसीलिए कई पाठ्यपुस्तकें सलाह देती हैं कि जब भी अधिक कोण संभव हो, सबसे बड़ा कोण कोसाइन से निकालें।

आम गलतियाँ

• पहले $a^2 + b^2 - 2ab$ निकालकर फिर $\cos C$ से गुणा करना। गुणन $2ab\cos C$ घटाने से पहले होना चाहिए।
• ऐसा कोण इस्तेमाल करना जो दोनों दी गई भुजाओं के बीच न हो।
• भुजा निकालते समय अंत में वर्गमूल लेना भूल जाना।
• कैलकुलेटर पर डिग्री और रेडियन मिला देना।
• $c$ को जल्दी पूर्णांकित करके उसी पूर्णांकित मान से कोण निकालना।

कोसाइन नियम कैलकुलेटर भुजा-कोण-भुजा, भुजा-भुजा-भुजा और दूसरी स्थितियाँ हर प्रतिस्थापन दिखाते हुए हल करता है। विशेष कोणों पर कोसाइन के यथार्थ मान दोहराने के लिए इकाई वृत्त कैलकुलेटर देखें।

कोसाइन नियम कहाँ इस्तेमाल होता है

जिस भी स्थिति में दो ज्ञात दूरियाँ और उनके बीच का कोण हो, वह कोसाइन नियम का प्रश्न है। नाविक इससे पता लगाते हैं कि अलग-अलग दिशाओं में यात्रा के दो चरणों के बाद जहाज़ बंदरगाह से कितनी दूर है। इंजीनियर इससे उस टेक या केबल की लंबाई निकालते हैं जो ज्ञात कोण पर मिलने वाली दो बीमों के सिरों को जोड़ती है। रोबोटिकी में, दो कड़ियों वाली भुजा के हर जोड़ को किसी बिंदु तक पहुँचने के लिए कौन-सा कोण लेना है, यह कोसाइन नियम को कोण के लिए हल करके निकाला जाता है, क्योंकि दोनों कड़ियों की लंबाइयाँ और लक्ष्य की दूरी, सब ज्ञात होते हैं।

डेटा विज्ञान में यही सूत्र मापता है कि संख्याओं की दो सूचियाँ कितनी मिलती-जुलती हैं। हर सूची को सदिश मानकर, अदिश गुणनफल से निकाला गया उनके बीच के कोण का कोसाइन कोसाइन समानता कहलाता है, और इसका उपयोग सर्च इंजनों और अनुशंसा प्रणालियों में होता है। ज्यामिति त्रिभुज वाले रूप जैसी ही है; केवल विमाओं की संख्या बदलती है।

उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न

1. 4 और 6 लंबाई की भुजाएँ $120^\circ$ पर मिलती हैं। तीसरी भुजा निकालें। उत्तर: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, क्योंकि $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. भुजाओं 7, 8 और 13 वाले त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण निकालें। उत्तर: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, इसलिए कोण ठीक $120^\circ$ है।
3. भुजाओं 9, 12 और 15 वाला त्रिभुज न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण है? उत्तर: $81 + 144 = 225 = 15^2$, इसलिए यह समकोण त्रिभुज है।
4. भुजाओं 13, 14 और 15 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें। उत्तर: $s = 21$, क्षेत्रफल $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल