साइन नियम, संदिग्ध स्थिति सहित

सूत्र और नामकरण की परिपाटी

त्रिभुज के कोणों को $A$, $B$ और $C$ नाम दें, और हर कोण के सम्मुख भुजा को क्रमशः $a$, $b$ और $c$ कहें। किसी कोण की सम्मुख भुजा वह है जो उसे छूती नहीं। इस परिपाटी के साथ साइन नियम कहता है:

यहाँ $R$ उस वृत्त की त्रिज्या है जो तीनों शीर्षों से होकर गुज़रता है, जिसे परिवृत्त कहते हैं। आप एक बार में तीन में से केवल दो भिन्नों का उपयोग करते हैं, इसलिए यह नियम वास्तव में एक भुजा, उसके सम्मुख कोण, दूसरी भुजा और उसके सम्मुख कोण के बीच का समानुपात है। इसे उल्टा भी लिखा जा सकता है, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, जो तब अधिक सुविधाजनक है जब अज्ञात कोई कोण हो।

यह नियम हर त्रिभुज पर लागू होता है, केवल समकोण त्रिभुजों पर नहीं, इसीलिए यह विषमकोण त्रिभुजों की त्रिकोणमिति का हिस्सा माना जाता है। $C = 90^\circ$ वाले समकोण त्रिभुज में यह परिचित $\sin A = \frac{a}{c}$ बन जाता है, क्योंकि $\sin 90^\circ = 1$.

साइन नियम सत्य क्यों है

शीर्ष $C$ से भुजा $c$ पर लंब डालें और उसकी लंबाई $h$ कहें। यह त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में बाँट देता है। कोण $A$ वाले त्रिभुज में कर्ण $b$ है, इसलिए $h = b\sin A$. कोण $B$ वाले त्रिभुज में कर्ण $a$ है, इसलिए $h = a\sin B$.

दोनों व्यंजक एक ही ऊँचाई के बराबर हैं, इसलिए $b\sin A = a\sin B$. दोनों पक्षों को $\sin A\sin B$ से भाग देने पर $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ मिलता है। किसी दूसरे शीर्ष से लंब लेकर यही तर्क दोहराने पर भुजा $c$ भी जुड़ जाती है। अगर कोण $A$ अधिक कोण हो, तो लंब का पाद त्रिभुज के बाहर पड़ता है, लेकिन वही समीकरण लागू रहते हैं, क्योंकि $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

यही लंब क्षेत्रफल का सूत्र भी देता है। क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा है, इसलिए आधार $c$ और ऊँचाई $b\sin A$ के साथ:

उदाहरण के लिए, जिस त्रिभुज की 8 और 11 लंबाई की भुजाएँ $50^\circ$ के कोण पर मिलती हैं, उसका क्षेत्रफल $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ वर्ग इकाई है।

इसका उपयोग कब करें: कोण-कोण-भुजा और कोण-भुजा-कोण

साइन नियम के लिए कम से कम एक पूरा जोड़ा चाहिए: एक भुजा और उसके सम्मुख कोण। अगर दो कोण ज्ञात हों, तो तीसरा भी ज्ञात है, क्योंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^\circ$ होता है। इसलिए जिस भी प्रश्न में दो कोण और एक भुजा दी हो, उसे साइन नियम से पूरा किया जा सकता है। इन स्थितियों को कोण-कोण-भुजा और कोण-भुजा-कोण कहते हैं।

हर गणना में दी गई भुजा का उपयोग करें, न कि उस भुजा का जिसे आपने निकालकर पूर्णांकित किया हो। इससे पूर्णांकन की त्रुटियाँ जमा नहीं होतीं।

संदिग्ध स्थिति (भुजा-भुजा-कोण)

जब दो भुजाएँ और उनमें से एक के सम्मुख कोण ज्ञात हो, तो यह जानकारी कोई त्रिभुज नहीं, ठीक एक त्रिभुज, या दो अलग त्रिभुज बता सकती है। कारण यह है कि किसी न्यून कोण का साइन और उसके संपूरक कोण का साइन बराबर होते हैं, इसलिए $\sin B = k$ हल करने पर दो संभावित कोण, $B$ और $180^\circ - B$, मिलते हैं, और दोनों सही बैठ सकते हैं।

मान लीजिए कोण $A$ न्यून है, $a$ उसकी सम्मुख भुजा है और $b$ दूसरी ज्ञात भुजा। ऊँचाई $h = b\sin A$ निकालें। तब:

• अगर $a < h$, तो भुजा आधार तक पहुँचने के लिए बहुत छोटी है: कोई त्रिभुज नहीं।
• अगर $a = h$, तो वह ठीक पहुँचती है: एक समकोण त्रिभुज।
• अगर $h < a < b$, तो वह दो स्थितियों में घूम सकती है: दो त्रिभुज।
• अगर $a \ge b$, तो केवल एक स्थिति काम करती है: एक त्रिभुज।

अगर $A$ अधिक कोण हो, तो $a > b$ होने पर एक त्रिभुज बनता है, अन्यथा कोई नहीं, क्योंकि अधिक कोण की सम्मुख भुजा सबसे लंबी होनी चाहिए।

सर्वेक्षण का एक प्रश्न

सर्वेक्षक साइन नियम से वे दूरियाँ मापते हैं जिन पर वे चल नहीं सकते। नदी के एक किनारे पर दो बिंदु $P$ और $Q$ एक-दूसरे से 100 मीटर दूर हैं। दूसरे किनारे पर एक पेड़ $T$ है। $P$ पर किनारे और पेड़ की दृष्टि-रेखा के बीच का कोण $52^\circ$ है, और $Q$ पर $71^\circ$.

त्रिकोणन का यही विचार, त्रिभुजों के बड़े जालों पर दोहराकर, उपग्रह से स्थिति-निर्धारण आने से पहले पूरे देशों के नक्शे बनाने में इस्तेमाल हुआ था, और आज भी जीपीएस रिसीवर और फ़ोन नेटवर्क कोणों और दूरियों से स्थिति का अनुमान इसी आधार पर लगाते हैं।

साइन नियम या कोसाइन नियम?

देखें कि आपको क्या दिया गया है। अगर एक भुजा और उसका सम्मुख कोण, और साथ में एक और जानकारी हो, तो साइन नियम इस्तेमाल करें। अगर दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (भुजा-कोण-भुजा), या तीनों भुजाएँ (भुजा-भुजा-भुजा) हों, तो कोई पूरा जोड़ा उपलब्ध नहीं है, इसलिए कोसाइन नियम से शुरू करें। कोसाइन नियम के एक बार उपयोग के बाद आमतौर पर एक जोड़ा मिल जाता है, और साइन नियम काम पूरा कर सकता है, हालाँकि प्रतिलोम साइन की संदिग्धता से बचने के लिए सबसे बड़ा कोण पहले कोसाइन नियम से निकालना अधिक सुरक्षित है।

हर स्थिति के लिए निर्णय की पूरी प्रक्रिया हमारी त्रिभुज हल करने की मार्गदर्शिका में दी गई है। कोणों के मानों के लिए, इकाई वृत्त समझाता है कि $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ क्यों है, और यही संदिग्ध स्थिति का स्रोत है।

आम गलतियाँ

• किसी भुजा को ऐसे कोण के साथ जोड़ना जो उसके सम्मुख नहीं है। पहले त्रिभुज बनाकर नाम लिखें।
• भुजा-भुजा-कोण स्थिति में दूसरा हल $180^\circ - B$ भूल जाना।
• ऐसा दूसरा हल स्वीकार कर लेना जिससे कोणों का योग $180^\circ$ से अधिक हो जाए।
• डिग्री वाले कोणों के साथ कैलकुलेटर को रेडियन मोड में इस्तेमाल करना।
• बीच के कोणों को बहुत अधिक पूर्णांकित करना, जिससे अंतिम भुजाएँ स्पष्ट रूप से बदल सकती हैं।

एक त्वरित विश्वसनीयता जाँच ज़्यादातर गलतियाँ पकड़ लेती है: सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सामने और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के सामने होनी चाहिए। कोसाइन नियम कैलकुलेटर किन्हीं तीन ज्ञात भागों से कोई भी त्रिभुज हल करता है और संदिग्ध स्थिति में दोनों हल बताता है, इसलिए आप अपना काम जाँच सकते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल