इकाई वृत्त: रेडियन, संदर्भ कोण और त्रिकोणमितीय अनुपातों के यथार्थ मान

इकाई वृत्त क्या है

इकाई वृत्त मूलबिंदु पर केंद्रित, त्रिज्या 1 वाला वृत्त है, जिसका समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है। कोण धनात्मक x-अक्ष से मापे जाते हैं, धनात्मक कोण वामावर्त और ऋणात्मक कोण दक्षिणावर्त। जिस भुजा से कोण शुरू होता है उसे प्रारंभिक भुजा और जिस पर वह समाप्त होता है उसे अंतिम भुजा कहते हैं।

किसी भी कोण $\theta$ की अंतिम भुजा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर मिलती है। इकाई वृत्त को इतना उपयोगी बनाने वाली परिभाषा यह है कि इस बिंदु के निर्देशांक $(\cos\theta, \sin\theta)$ होते हैं। टैनजेंट इन दोनों का अनुपात है:

न्यून कोणों के लिए यह समकोण त्रिभुज वाली उन परिभाषाओं से मेल खाता है जिन्हें आप शायद पहले से जानते हैं। बिंदु से x-अक्ष पर लंब डालें, तो एक समकोण त्रिभुज मिलता है जिसका कर्ण 1, आसन्न भुजा $x$ और सम्मुख भुजा $y$ है। इसलिए $\cos\theta = \frac{x}{1}$ और $\sin\theta = \frac{y}{1}$. इकाई वृत्त इन परिभाषाओं को हर कोण तक बढ़ा देता है, अधिक कोण, ऋणात्मक कोण और बहुत बड़े कोण भी।

डिग्री और रेडियन

एक पूरा चक्कर $360^\circ$ या $2\pi$ रेडियन है। एक रेडियन वह कोण है जो त्रिज्या के बराबर लंबाई का चाप काटता है। इकाई वृत्त पर, जहाँ त्रिज्या 1 है, किसी कोण का रेडियन माप ठीक उसके द्वारा काटे गए चाप की लंबाई है, इसीलिए कलन में रेडियन स्वाभाविक इकाई है।

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• $\frac{7\pi}{4}$ रेडियन $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• एक रेडियन लगभग $57.3^\circ$ है।

पहले चतुर्थांश के विशेष कोण

तीन कोणों के यथार्थ मान दो परिचित त्रिभुजों से आते हैं। $45^\circ$ का कोण कर्ण 1 वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से आता है, जिसकी दोनों भुजाएँ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ हैं। $30^\circ$ और $60^\circ$ के कोण भुजा 1 वाले समबाहु त्रिभुज के आधे भाग से आते हैं, जिसकी भुजाएँ $\frac{1}{2}$ और $\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।

• $0$: बिंदु $(1, 0)$, इसलिए $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: बिंदु $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, इसलिए $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: बिंदु $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, इसलिए $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, इसलिए $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: बिंदु $(0, 1)$, इसलिए $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ और $\tan\frac{\pi}{2}$ अपरिभाषित है।

एक स्मृति-पैटर्न मदद करता है: $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ के साइन $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$ हैं, और कोसाइन यही सूची उल्टे क्रम में हैं। हर बिंदु $x^2 + y^2 = 1$ को भी संतुष्ट करता है; उदाहरण के लिए, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

संदर्भ कोण और बाकी चतुर्थांश

सोलह मानक बिंदुओं को अलग-अलग रटने की ज़रूरत नहीं है। हर कोण का एक संदर्भ कोण होता है: उसकी अंतिम भुजा और x-अक्ष के बीच का न्यून कोण। कोण के निर्देशांकों का परिमाण उसके संदर्भ कोण के निर्देशांकों जितना ही होता है, केवल चतुर्थांश के अनुसार चिह्न बदलते हैं।

• पहला चतुर्थांश ($0$ से $\frac{\pi}{2}$): $x$ और $y$ धनात्मक, इसलिए तीनों फलन धनात्मक।
• दूसरा चतुर्थांश ($\frac{\pi}{2}$ से $\pi$): $x$ ऋणात्मक, $y$ धनात्मक, इसलिए केवल साइन धनात्मक।
• तीसरा चतुर्थांश ($\pi$ से $\frac{3\pi}{2}$): दोनों ऋणात्मक, इसलिए केवल टैनजेंट धनात्मक।
• चौथा चतुर्थांश ($\frac{3\pi}{2}$ से $2\pi$): $x$ धनात्मक, $y$ ऋणात्मक, इसलिए केवल कोसाइन धनात्मक।

इसी तरह, $\frac{3\pi}{4}$ का संदर्भ कोण दूसरे चतुर्थांश में $\frac{\pi}{4}$ है, जिससे बिंदु $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ और $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$ मिलते हैं।

ऋणात्मक कोण और एक चक्कर से बड़े कोण

एक पूरा चक्कर, $2\pi$, जोड़ने या घटाने पर हम उसी बिंदु पर पहुँचते हैं, इसलिए साइन और कोसाइन हर $2\pi$ पर दोहराते हैं। जिन कोणों की अंतिम भुजा एक ही हो, उन्हें सहअंतिम कोण कहते हैं। किसी बड़े कोण का मान निकालने के लिए $2\pi$ के गुणज तब तक घटाएँ जब तक वह 0 और $2\pi$ के बीच न आ जाए; ऋणात्मक कोण के लिए $2\pi$ के गुणज जोड़ें।

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$, इसलिए इसका बिंदु वही है जो $\frac{\pi}{4}$ का: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ कोण $\frac{11\pi}{6}$ का सहअंतिम है, इसलिए $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, इसलिए $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

x-अक्ष में परावर्तन से सममिति के दो नियम भी दिखते हैं: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, इसलिए कोसाइन सम फलन है, और $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, इसलिए साइन विषम फलन है। टैनजेंट का आवर्तकाल छोटा, $\pi$ है, क्योंकि $\theta$ और $\theta + \pi$ के बिंदु एक-दूसरे के ठीक सामने होते हैं और एक ही अनुपात $\frac{y}{x}$ देते हैं।

पाइथागोरस सर्वसमिका और अन्य अनुपात निकालना

क्योंकि वृत्त का हर बिंदु $x^2 + y^2 = 1$ को संतुष्ट करता है, हर कोण त्रिकोणमिति की सबसे महत्वपूर्ण सर्वसमिका को संतुष्ट करता है:

चिह्न चतुर्थांश तय करता है; अकेली सर्वसमिका केवल परिमाण देती है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वाली मार्गदर्शिका इसी एक सर्वसमिका से कई और सर्वसमिकाएँ बनाती है।

वृत्त की मदद से मूल त्रिकोणमितीय समीकरण हल करना

$0 \le \theta < 2\pi$ के लिए $\sin\theta = \frac{1}{2}$ जैसा समीकरण हल करने के लिए वृत्त के वे सभी बिंदु खोजें जिनका y-निर्देशांक $\frac{1}{2}$ है। ऐसे दो बिंदु हैं: एक पहले चतुर्थांश में $\frac{\pi}{6}$ पर और एक दूसरे चतुर्थांश में $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ पर।

इसी तरह, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ के लिए ऐसे बिंदु चाहिए जिनका x-निर्देशांक $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ हो, जो दूसरे चतुर्थांश में $\frac{3\pi}{4}$ पर और तीसरे चतुर्थांश में $\frac{5\pi}{4}$ पर मिलते हैं। अगर प्रश्न सभी हल माँगे, तो किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए $2\pi k$ जोड़ें: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ या $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

कैलकुलेटर का प्रतिलोम साइन या कोसाइन केवल एक उत्तर लौटाता है। इकाई वृत्त दिखाता है कि दूसरा हल कहाँ है, जो कैलकुलेटर कभी नहीं दिखाते।

इसे कुशलता से कैसे सीखें

सोलह बिंदुओं को अलग-अलग तथ्यों की तरह रटना धीमा और कमज़ोर तरीका है। बेहतर है तीन चीज़ें अच्छी तरह सीखना: $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{3}$ के लिए पहले चतुर्थांश के तीन बिंदु; संदर्भ कोण निकालने का तरीका; और हर चतुर्थांश में कौन-से चिह्न लागू होते हैं। इनके साथ कोई भी मानक कोण कुछ ही सेकंड लेता है।

एक सप्ताह तक रोज़ एक बार याद से वृत्त बनाकर अभ्यास करें, कोणों को डिग्री और रेडियन दोनों में लिखते हुए। फिर यादृच्छिक कोणों से खुद को परखें, जिनमें ऋणात्मक कोण और $2\pi$ से बड़े कोण भी हों। इकाई वृत्त कैलकुलेटर किसी भी इनपुट के लिए यथार्थ मान और संदर्भ कोण देता है, इसलिए आप अपने उत्तर तुरंत जाँच सकते हैं। आगे के विषय, जैसे साइन नियम और त्रिकोणमितीय फलनों का कलन, इसी प्रवाह को मानकर चलते हैं।

आम गलतियाँ

• निर्देशांकों की अदला-बदली: x-निर्देशांक कोसाइन है और y-निर्देशांक साइन।
• रेडियन वाले प्रश्न के लिए कैलकुलेटर को डिग्री मोड में इस्तेमाल करना, या इसका उल्टा।
• संदर्भ कोण को x-अक्ष के बजाय y-अक्ष से मापना।
• $\sin\theta = \frac{1}{2}$ जैसे समीकरण का केवल एक हल देना।
• यह भूल जाना कि जहाँ कोसाइन शून्य है, यानी $\frac{\pi}{2}$ और $\frac{3\pi}{2}$ पर, वहाँ टैनजेंट अपरिभाषित है।

वृत्त से साइन और कोसाइन के आलेखों तक

कल्पना करें कि एक बिंदु स्थिर गति से इकाई वृत्त के चारों ओर वामावर्त घूम रहा है। x-अक्ष से उसकी ऊँचाई पहले चौथाई चक्कर में 0 से 1 तक बढ़ती है, आधे चक्कर पर वापस 0 पर आती है, तीन-चौथाई चक्कर पर $-1$ तक गिरती है और पूरा चक्कर होने पर फिर 0 पर लौट आती है। इस ऊँचाई को कोण के सापेक्ष आलेखित करने पर $y = \sin x$ की परिचित तरंग बनती है। इसके बजाय क्षैतिज स्थिति को आलेखित करने पर $y = \cos x$ बनता है, जो वही तरंग है, बस चौथाई चक्कर बाईं ओर खिसकी हुई।

इन आलेखों के बारे में सब कुछ वृत्त से पढ़ा जा सकता है। इनका परिसर $[-1, 1]$ है, क्योंकि त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक परिमाण में कभी 1 से अधिक नहीं होते। इनका आवर्तकाल $2\pi$ है, क्योंकि एक पूरा चक्कर बिंदु को वहीं लौटा देता है जहाँ से वह चला था। साइन के शून्यक $\pi$ के गुणजों पर हैं, जहाँ बिंदु x-अक्ष को पार करता है, और कोसाइन के शून्यक $\frac{\pi}{2}$ के विषम गुणजों पर हैं, जहाँ वह y-अक्ष को पार करता है। आलेखों को वृत्तीय गति के अभिलेख के रूप में देखना यह भी समझाता है कि त्रिकोणमितीय फलन ज्वार-भाटे, ध्वनि तरंगों, प्रत्यावर्ती धारा और चक्रों में दोहराने वाली हर चीज़ का मॉडल क्यों बनते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल