इकाई वृत्त कैलकुलेटर

इकाई वृत्त कैलकुलेटर के बारे में

इकाई वृत्त त्रिकोणमिति को निर्देशांकों में बदल देता है। हर कोण त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर एक बिंदु से जुड़ा है, और कोण की कोज्या और ज्या बस उस बिंदु के $x$ - और $y$ -निर्देशांक हैं। कुछ विशेष बिंदु याद करके और फिर सममिति का प्रयोग करके बिना कैलकुलेटर के दर्जनों कोणों के सटीक मान मिल जाते हैं।

यह कैलकुलेटर वह तर्क आपके लिए करता है। यह कोण को डिग्री और रेडियन के बीच बदलता है, उसे एक चक्कर के भीतर लाता है, चतुर्थांश और संदर्भ कोण निकालता है, और विशेष कोणों के लिए $\frac{\sqrt3}{2}$ जैसे सटीक मान पढ़ता है। बाकी कोणों के लिए यह सटीक दशमलव देता है। यह स्पर्शज्या, छेदक, व्युत्क्रम ज्या और कोटिस्पर्शज्या भी बताता है, और यह भी कि इनमें से कोई कब अपरिभाषित है।

इकाई वृत्त क्या है?

इकाई वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर और त्रिज्या 1 है। कोण $\theta$ धनात्मक $x$ -अक्ष से मापा जाता है, धनात्मक कोणों के लिए वामावर्त और ऋणात्मक कोणों के लिए दक्षिणावर्त। जिस बिंदु पर उसकी अंतिम भुजा वृत्त से मिलती है, वह $(\cos\theta, \sin\theta)$ है।

चूँकि वह बिंदु वृत्त पर है, हर कोण के लिए $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ , जो पाइथागोरस सर्वसमिका है। स्पर्शज्या अनुपात $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ है, यानी अंतिम भुजा की ढाल, और व्युत्क्रम फलन $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ और $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ हैं।

इकाई वृत्त कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

कोण लिखें, उदाहरण के लिए 150, -30 या 5pi/4।
डिग्री या रेडियन चुनें।
“मान निकालें” दबाएँ।
चतुर्थांश, संदर्भ कोण और सटीक निर्देशांक पढ़ें।
निर्देशांकों के नीचे दिए स्पर्शज्या और व्युत्क्रम फलनों के मानों का प्रयोग करें।

सूत्र

वृत्त पर बिंदु

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

डिग्री से रेडियन

\theta_{\text{रेडियन}} = \theta_{\text{डिग्री}} \cdot \frac{\pi}{180}

पाइथागोरस सर्वसमिका

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

स्पर्शज्या

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

हल सहित उदाहरण: θ = 150°

उदाहरण $\theta = 150°$ लेता है। यह कोण द्वितीय चतुर्थांश में है, जहाँ $x$ ऋणात्मक और $y$ धनात्मक है, और इसका संदर्भ कोण $180° - 150° = 30°$ है।

$30°$ का बिंदु $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ है। द्वितीय चतुर्थांश के चिह्न लगाने पर $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ मिलता है, और ज्या को कोज्या से भाग देने पर $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ ।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

हमने आपका सवाल कैसे समझा

150° के लिए इकाई वृत्त के मान

\theta = 150^\circ

स्टेप-बाय-स्टेप हल

डिग्री को रेडियन में बदलें (गुणक π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
अंतिम भुजा की स्थिति: द्वितीय चतुर्थांश में
द्वितीय चतुर्थांश में ज्या धनात्मक और कोज्या ऋणात्मक है (“सब, ज्या, स्पर्शज्या, कोज्या” नियम)।
संदर्भ कोण (x-अक्ष के साथ बना न्यून कोण)
$\theta_{\text{संदर्भ}} = 30^\circ$
संदर्भ कोण से सटीक निर्देशांक पढ़ें और चतुर्थांश के चिह्न लगाएँ
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
स्पर्शज्या = ज्या ÷ कोज्या
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
व्युत्क्रम फलन
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

इकाई वृत्त पर बिंदु
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
स्पर्शज्या और व्युत्क्रम फलन
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
डिग्री और रेडियन
$\text{rad} = \text{डिग्री} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) की अंतिम भुजा द्वितीय चतुर्थांश में है और संदर्भ कोण 30° है। sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3।

जाँच

cos²θ + sin²θ = 1 (अपेक्षित मान 1)।

पूरी व्याख्या

विशेष कोण

तीन न्यून कोणों के सटीक मान सरल हैं। $30°$ पर बिंदु $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ है, $45°$ पर $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ , और $60°$ पर $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ । ये 30-60-90 और 45-45-90 त्रिभुजों से आते हैं। अक्षों वाले कोणों $0°$ , $90°$ , $180°$ और $270°$ के साथ मिलकर ये इकाई वृत्त के जाने-पहचाने सोलह बिंदु बनाते हैं।

संदर्भ कोण और चतुर्थांश के चिह्न

हर कोण का एक संदर्भ कोण होता है: उसकी अंतिम भुजा और $x$ -अक्ष के बीच का न्यून कोण। कोण के निर्देशांकों का परिमाण उसके संदर्भ कोण के निर्देशांकों जितना ही होता है; चतुर्थांश के साथ केवल चिह्न बदलते हैं। प्रथम चतुर्थांश में दोनों धनात्मक हैं, द्वितीय में केवल ज्या धनात्मक है, तृतीय में केवल स्पर्शज्या धनात्मक है, और चतुर्थ में केवल कोज्या धनात्मक है। इसलिए $\frac{5\pi}{4}$ , जो तृतीय चतुर्थांश में $225°$ है और जिसका संदर्भ कोण $45°$ है, $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ देता है।

पूरे चक्कर से बड़े कोणों या ऋणात्मक कोणों को पहले $360°$ जोड़कर या घटाकर छोटा किया जाता है। कैलकुलेटर $765°$ को $45°$ में बदलता है, और $-30°$ को चतुर्थ चतुर्थांश का $330°$ मानता है, जहाँ बिंदु $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ है।

अपरिभाषित मान और गैर-विशेष कोण

स्पर्शज्या और छेदक कोज्या से भाग देते हैं, इसलिए वे वहाँ अपरिभाषित हैं जहाँ अंतिम भुजा ऊर्ध्वाधर है, यानी $90°$ और $270°$ पर। कोटिस्पर्शज्या और व्युत्क्रम ज्या ज्या से भाग देते हैं और $0°$ तथा $180°$ पर अपरिभाषित हैं। कैलकुलेटर कोई अर्थहीन संख्या छापने के बजाय इन स्थितियों को स्पष्ट बताता है।

ज़्यादातर कोणों, जैसे $20°$ , का कोई सरल करणी रूप नहीं होता। इनके लिए कैलकुलेटर दशमलव मान देता है, और फिर भी चतुर्थांश व संदर्भ कोण का प्रयोग करता है ताकि आप देख सकें कि चिह्न ऐसे क्यों आते हैं।

आम गलतियाँ

निर्देशांक आपस में मिला देना: कोज्या $x$ -निर्देशांक है और ज्या $y$ -निर्देशांक।
$\pi$ के साथ लिखे कोण के लिए डिग्री मोड, या डिग्री वाले कोण के लिए रेडियन मोड चुनना।
संदर्भ कोण को $x$ -अक्ष के बजाय $y$ -अक्ष से मापना।
चतुर्थांश का गलत चिह्न लगाना; याद रखें कि हर चतुर्थांश में कौन-से फलन धनात्मक हैं।
$\tan 90°$ को अपरिभाषित लिखने के बजाय कोई बड़ी संख्या लिखना।

सुझाव

$30°$ , $45°$ और $60°$ के मान याद करें; बाकी सब सममिति से निकल आता है।
रेडियन कोणों को जल्दी स्थान देने के लिए $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{4}$ के गुणजों में गिनें।
ज़रूरत हो तो परिमेयीकरण करें: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ ।
परिणामों की जाँच $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ से करें।
इन फलनों के बीच संबंध सिद्ध करने के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका कैलकुलेटर का प्रयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

इकाई वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक क्या होते हैं?

कोण θ के लिए बिंदु (cos θ, sin θ) है। x-निर्देशांक कोज्या है और y-निर्देशांक ज्या।

संदर्भ कोण कैसे निकालूँ?

कोण को 0° और 360° के बीच लाएँ, फिर x-अक्ष के साथ बना न्यून कोण मापें: प्रथम चतुर्थांश में θ, द्वितीय में 180° − θ, तृतीय में θ − 180° और चतुर्थ में 360° − θ।

क्या मैं कोण रेडियन में लिख सकता हूँ?

हाँ। रेडियन चुनें और pi/3 या 5pi/4 जैसे व्यंजक लिखें। कैलकुलेटर चरणों में रेडियन और डिग्री के बीच रूपांतरण दिखाता है।

tan 90° अपरिभाषित क्यों है?

स्पर्शज्या ज्या को कोज्या से भाग देने पर मिलती है, और cos 90° = 0। शून्य से भाग अपरिभाषित है, इसलिए tan 90° और sec 90° का कोई मान नहीं है।

क्या कैलकुलेटर ऋणात्मक कोण और 360° से बड़े कोण सँभालता है?

हाँ। यह उन्हें एक चक्कर के भीतर के तुल्य कोण में बदल देता है। उदाहरण के लिए 765° घटकर 45° बनता है और −30° को 330° माना जाता है।

जो कोण विशेष नहीं हैं, उनका क्या होता है?

20° जैसे कोणों का कोई सरल सटीक रूप नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर दशमलव मान दिखाता है और फिर भी चतुर्थांश व संदर्भ कोण समझाता है।

हर चतुर्थांश में कौन-से त्रिकोणमितीय फलन धनात्मक हैं?

प्रथम चतुर्थांश में सभी धनात्मक हैं, द्वितीय में ज्या और व्युत्क्रम ज्या, तृतीय में स्पर्शज्या और कोटिस्पर्शज्या, और चतुर्थ में कोज्या और छेदक।

“सब, ज्या, स्पर्शज्या, कोज्या” नियम का क्या अर्थ है?

यह चतुर्थांश के चिह्न याद रखने का सूत्र है, जिसे प्रथम चतुर्थांश से वामावर्त पढ़ा जाता है: प्रथम में सब फलन धनात्मक हैं, द्वितीय में ज्या, तृतीय में स्पर्शज्या और चतुर्थ में कोज्या। कैलकुलेटर चतुर्थांश वाले चरण में इसे उद्धृत करता है ताकि आप हर चिह्न को उसके चतुर्थांश से जोड़ सकें।

किसी भी कोण के सटीक मान निकालें

ऊपर डिग्री या रेडियन में कोई कोण लिखें और इकाई वृत्त पर उसका बिंदु, चतुर्थांश, संदर्भ कोण और सभी छह फलन देखें।

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