म.स.प. कैलकुलेटर

Q: किसी संख्या और 0 का म.स.प. क्या है?

हर पूर्णांक 0 को विभाजित करता है, इसलिए gcd(a, 0) = |a|। 0 और 0 का म.स.प. परिभाषित नहीं है।

म.स.प. कैलकुलेटर के बारे में

पूर्णांकों के किसी समूह का महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो उनमें से हर एक को पूरा-पूरा विभाजित करता है। इसका उपयोग भिन्नों को सरल करने, व्यंजकों के गुणनखंड करने और मात्राओं को बराबर समूहों में बाँटने में होता है।

कैलकुलेटर हर संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ता है और साथ ही यूक्लिड विधि भी चलाता है, ताकि आप एक दृश्य विधि की तुलना सबसे तेज़ विधि से कर सकें।

महत्तम समापवर्तक क्या है?

किसी पूर्ण संख्या का गुणनखंड उसे बिना शेषफल के विभाजित करता है: 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। कई संख्याओं का उभयनिष्ठ गुणनखंड उन सभी को विभाजित करता है, और महत्तम समापवर्तक ऐसी सबसे बड़ी संख्या है। 18 के गुणनखंड 1, 2, 3, 6, 9 और 18 हैं, इसलिए 12 और 18 के उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं, और म.स.प. 6 है।

गुणनखंडों की सूची बनाना छोटी संख्याओं के लिए ठीक है, लेकिन जल्दी ही धीमा हो जाता है। अभाज्य गुणनखंडन और यूक्लिड विधि बिना कोई सूची बनाए म.स.प. निकालती हैं, और दोनों कितनी भी संख्याओं पर काम करती हैं: तीन संख्याओं का म.स.प. पहली दो के म.स.प. और तीसरी संख्या का म.स.प. है।

म.स.प. कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अल्पविराम या स्पेस से अलग करके दो से दस पूर्ण संख्याएँ लिखें।
“म.स.प. निकालें” दबाएँ।
हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन, साझा अभाज्य संख्याएँ और यूक्लिड विधि के भाग देखें।

सूत्र

यूक्लिड विधि

\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a

अभाज्य गुणनखंडन से

\gcd = \prod p^{\min(e_1, e_2, \ldots)}

हर साझा अभाज्य संख्या को उसकी सबसे छोटी घात पर लें।

ल.स.प. से संबंध

\gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b) = |ab|

हल सहित उदाहरण: 48, 180

हल किए गए उदाहरण में 48 और 180 का म.स.प. निकाला गया है। अभाज्य गुणनखंडन से $48 = 2^4 \times 3$ और $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$ मिलते हैं। यूक्लिड विधि 180 को 48 से भाग देती है (शेषफल 36), फिर 48 को 36 से (शेषफल 12), फिर 36 को 12 से (शेषफल 0), इसलिए म.स.प. 12 है। साझा अभाज्य संख्याओं को उनकी सबसे छोटी घात पर लेने से, $2^2 \times 3 = 12$ , इसकी पुष्टि होती है, और जाँच दिखाती है कि 48 और 180 को 12 से भाग देने पर 4 और 15 मिलते हैं।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

12

हमने आपका सवाल कैसे समझा

संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.प., जिसे GCD या HCF भी कहते हैं) निकालें।

स्टेप-बाय-स्टेप हल

हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन
$48 = 2^{4} \times 3,\quad 180 = 2^{2} \times 3^{2} \times 5$
GCF(48, 180) के लिए यूक्लिड विधि
180 = 3 × 48 + 36; 48 = 1 × 36 + 12; 36 = 3 × 12 + 0
$180 = 3 \times 48 + 36 \\ 48 = 1 \times 36 + 12 \\ 36 = 3 \times 12 + 0$
अंतिम शून्येतर शेषफल ही म.स.प. है
$\gcd(48, 180) = 12$
साझा अभाज्य गुणनखंडों से पुष्टि करें
सभी संख्याओं में साझा अभाज्य संख्याओं को गुणा करें, हर एक को उसके सबसे छोटे घातांक के साथ।
$2^{2} \times 3 = 12$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

यूक्लिड विधि
$\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b),\quad \gcd(a, 0) = a$

12 वह सबसे बड़ी पूर्ण संख्या है जो हर संख्या को पूरा-पूरा विभाजित करती है।

जाँच

48 ÷ 12 = 4
180 ÷ 12 = 15

पूरी व्याख्या

यूक्लिड विधि क्यों काम करती है

जो संख्या $a$ और $b$ दोनों को विभाजित करती है, वह $a - b$ को भी विभाजित करती है, और इसलिए $a$ को $b$ से भाग देने पर बचे शेषफल को भी। इस तरह युग्म $(a, b)$ और युग्म $(b, a \bmod b)$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड बिल्कुल एक जैसे हैं। हर चरण संख्याओं को छोटा करता है, और जब शेषफल 0 हो जाता है तो बची हुई संख्या खुद को और 0 को विभाजित करती है, इसलिए वही महत्तम समापवर्तक है। बहुत बड़ी संख्याओं के लिए भी इस विधि में कुछ ही भाग लगते हैं, इसीलिए कंप्यूटर अंकगणित और कूटलेखन में इसका उपयोग होता है।

म.स.प. का उपयोग कहाँ होता है

अंश और हर को उनके म.स.प. से भाग देने पर भिन्न एक ही चरण में सरलतम रूप में आ जाती है: $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ । बीजगणित में गुणांकों का म.स.प. पहले बाहर निकाला जाता है, जैसे $12x + 18 = 6(2x + 3)$ में। शाब्दिक सवालों में यह बताता है कि सबसे बड़े बराबर समूह कितने बन सकते हैं: 24 पेंसिलें, 36 रबड़ और 60 स्टिकर अधिकतम 12 एक जैसे किटों में बाँटे जा सकते हैं, क्योंकि $\gcd(24, 36, 60) = 12$ ।

अभाज्य गुणनखंडन बनाम यूक्लिड विधि

अभाज्य गुणनखंडन संरचना को सामने लाता है: आप ठीक-ठीक देख सकते हैं कि संख्याओं में कौन-सी अभाज्य संख्याएँ साझा हैं और उत्तर वही क्यों है, जो सीखते समय या ल.स.प. की भी ज़रूरत होने पर मददगार है। इसकी कमज़ोरी यह है कि बड़ी संख्याओं के गुणनखंड करना धीमा है। यूक्लिड विधि कभी गुणनखंड नहीं करती; वह केवल भाग देती है और शेषफल रखती है, इसलिए दर्जनों अंकों वाली संख्याओं के लिए भी तेज़ रहती है। कैलकुलेटर दोनों दिखाता है ताकि हर एक दूसरे की पुष्टि करे।

आम गलतियाँ

केवल साझा अभाज्य संख्याओं के बजाय आने वाली सभी अभाज्य संख्याओं को गुणा कर देना।
साझा अभाज्य संख्या की सबसे बड़ी घात लेना; म.स.प. में सबसे छोटी घात ली जाती है।
सह-अभाज्य संख्याओं के लिए यह मान लेना कि कोई म.स.प. नहीं है; तब म.स.प. 1 होता है।
यूक्लिड विधि को एक चरण पहले रोक देना और अंतिम शून्येतर शेषफल के बजाय अंतिम भागफल बता देना।

सुझाव

अगर एक संख्या बाकी सभी को विभाजित करती है, तो वही म.स.प. है।
क्रमागत पूर्णांकों का म.स.प. हमेशा 1 होता है।
अंश और हर के म.स.प. से भिन्न को एक ही चरण में सरल करें।
हर संख्या को उत्तर से भाग देकर जाँचें; भागफलों में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
तीन या अधिक संख्याओं के लिए पहले किन्हीं दो का म.स.प. निकालें, फिर उस परिणाम को अगली संख्या के साथ मिलाएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

महत्तम समापवर्तक क्या है?

यह वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक है जो समूह की हर संख्या को बिना शेषफल के विभाजित करता है। 48 और 180 के लिए यह 12 है।

क्या म.स.प., GCD और HCF एक ही हैं?

हाँ। महत्तम समापवर्तक, महत्तम समभाजक और उच्चतम उभयनिष्ठ गुणनखंड एक ही संख्या के तीन नाम हैं।

यूक्लिड विधि कैसे काम करती है?

बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें और शेषफल रखें। युग्म को (छोटी संख्या, शेषफल) से बदलें और तब तक दोहराएँ जब तक शेषफल 0 न हो जाए; अंतिम शून्येतर भाजक ही म.स.प. है।

जिन संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं, उनका म.स.प. क्या है?

यह 1 है। ऐसी संख्याओं को सह-अभाज्य या परस्पर अभाज्य कहते हैं, उदाहरण के लिए 8 और 15।

क्या ऋणात्मक संख्याओं का म.स.प. निकाला जा सकता है?

हाँ। विभाज्यता चिह्न पर निर्भर नहीं करती, इसलिए म.स.प. निरपेक्ष मानों से निकाला जाता है और हमेशा धनात्मक होता है।

किसी संख्या और 0 का म.स.प. क्या है?

हर पूर्णांक 0 को विभाजित करता है, इसलिए $\gcd(a, 0) = |a|$ । 0 और 0 का म.स.प. परिभाषित नहीं है।

तीन संख्याओं का म.स.प. कैसे निकालें?

उनमें से दो का म.स.प. निकालें, फिर उस परिणाम और तीसरी संख्या का म.स.प.। 24, 36 और 60 के लिए: $\gcd(24, 36) = 12$ और $\gcd(12, 60) = 12$ ।

म.स.प. भिन्नों को सरल करने में कैसे मदद करता है?

अंश और हर को उनके म.स.प. से भाग दें, और भिन्न तुरंत सरलतम रूप में आ जाती है। चूँकि $\gcd(48, 180) = 12$ , इसलिए $\frac{48}{180} = \frac{4}{15}$ ।

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अपनी संख्याएँ लिखें और अभाज्य गुणनखंडन की तुलना यूक्लिड विधि से करें।

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ल.स.प. से संबंध

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यूक्लिड विधि क्यों काम करती है

म.स.प. का उपयोग कहाँ होता है

अभाज्य गुणनखंडन बनाम यूक्लिड विधि

आम गलतियाँ

सुझाव

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

महत्तम समापवर्तक क्या है?

क्या म.स.प., GCD और HCF एक ही हैं?

यूक्लिड विधि कैसे काम करती है?

जिन संख्याओं में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं, उनका म.स.प. क्या है?

क्या ऋणात्मक संख्याओं का म.स.प. निकाला जा सकता है?

किसी संख्या और 0 का म.स.प. क्या है?

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