द्विघात समीकरण कैलकुलेटर

Q: द्विघात सूत्र क्या है?

ax^2 + bx + c = 0 के हल x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) हैं। यह हर द्विघात पर काम करता है, उन पर भी जिनके गुणनखंड नहीं होते।

Q: विविक्तकर मुझे क्या बताता है?

यदि b^2 - 4ac > 0 हो तो दो अलग वास्तविक मूल हैं, यदि यह 0 के बराबर हो तो एक दोहरा मूल है, और यदि ऋणात्मक हो तो दो सम्मिश्र मूल हैं।

Q: क्या कैलकुलेटर सम्मिश्र मूल दे सकता है?

हाँ। ऋणात्मक विविक्तकर के लिए मूल p ± qi के रूप में लिखे जाते हैं; x^2 + 2x + 5 = 0 के लिए वे -1 ± 2i हैं।

Q: परवलय का शीर्ष कैसे निकालें?

शीर्ष x = -b/(2a) पर है; y-निर्देशांक पाने के लिए यह मान रखें। कैलकुलेटर दोनों दिखाता है।

Q: द्विघात समीकरण में a शून्य क्यों नहीं हो सकता?

यदि a = 0 हो तो x^2 वाला पद गायब हो जाता है और समीकरण रैखिक बन जाता है, bx + c = 0, जिसका अधिकतम एक हल होता है। द्विघात सूत्र में भी शून्य से भाग होगा, इसलिए कैलकुलेटर शून्येतर a माँगता है।

द्विघात समीकरण कैलकुलेटर के बारे में

द्विघात समीकरण का रूप $ax^2 + bx + c = 0$ होता है, जहाँ $a \neq 0$ । इसका ग्राफ़ एक परवलय है, और हल x-अंतःखंड हैं।

विविक्तकर $\Delta = b^2 - 4ac$ बताता है कि किस प्रकार के मूल अपेक्षित हैं: धनात्मक हो तो दो वास्तविक मूल, शून्य हो तो एक दोहराया गया मूल, और ऋणात्मक हो तो दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल। कैलकुलेटर करणियों को सटीक रखता है, इसलिए $2x^2 + 4x - 3 = 0$ से $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ मिलता है।

द्विघात समीकरण क्या है?

द्विघात समीकरण घात दो का बहुपद समीकरण है: अज्ञात की सबसे बड़ी घात $x^2$ है। मानक रूप में यह $ax^2 + bx + c = 0$ है, जहाँ $a$ , $b$ और $c$ संख्याएँ हैं और $a$ शून्य नहीं है। गुणांक $a$ तय करता है कि परवलय कितना चौड़ा है और ऊपर खुलता है या नीचे, $b$ उसे बगल में खिसकाता है, और $c$ वह बिंदु है जहाँ वह y-अक्ष को काटता है।

चूँकि $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ़ परवलय है, वह x-अक्ष को दो बार काट सकता है, अपने शीर्ष पर एक बार छू सकता है, या उससे बिल्कुल नहीं मिल सकता। ये तीन चित्र दो वास्तविक हल, एक दोहराया गया हल और कोई वास्तविक हल नहीं के अनुरूप हैं, और कोई भी मूल निकालने से पहले विविक्तकर तय करता है कि कौन-सा चित्र लागू है।

द्विघात समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने समीकरण को ऐसे लिखें कि एक पक्ष 0 हो।
गुणांक a, b और c लिखें। भिन्न और दशमलव स्वीकार्य हैं।
विविक्तकर, दोनों मूल, गुणनखंड रूप और शीर्ष देखने के लिए “हल करें” दबाएँ।

सूत्र

द्विघात सूत्र (श्रीधराचार्य सूत्र)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

विविक्तकर

\Delta = b^2 - 4ac

परवलय का शीर्ष

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

वियेता के सूत्र

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

हल सहित उदाहरण: x² − 3x − 10 = 0

हल किया गया उदाहरण $x^2 - 3x - 10 = 0$ को हल करता है, इसलिए $a = 1$ , $b = -3$ और $c = -10$ । विविक्तकर $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ है, जो एक धनात्मक पूर्ण वर्ग है, इसलिए दो परिमेय मूल हैं। सूत्र $\frac{3 \pm 7}{2}$ देता है, यानी $x = -2$ और $x = 5$ । कैलकुलेटर शीर्ष $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ और गुणनखंड रूप $(x + 2)(x - 5)$ भी निकालता है, और वियेता के सूत्रों से पुष्टि करता है कि मूलों का योग 3 और गुणनफल −10 है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

हमने आपका सवाल कैसे समझा

मानक रूप वाले द्विघात समीकरण को द्विघात सूत्र से हल करें।

x^2 - 3x - 10 = 0

स्टेप-बाय-स्टेप हल

ax² + bx + c = 0 के गुणांक पहचानें
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
विविक्तकर निकालें
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
द्विघात सूत्र लगाएँ
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
हर मूल को सरल करें
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
परवलय का शीर्ष निकालें
परवलय ऊपर की ओर खुलता है, इसलिए शीर्ष न्यूनतम बिंदु है।
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
गुणनखंड रूप
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

द्विघात सूत्र
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
विविक्तकर
$\Delta = b^2 - 4ac$
शीर्ष
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

विविक्तकर धनात्मक है, इसलिए परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है।

जाँच

x = -2 रखें: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
x = 5 रखें: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
वियेता: मूलों का योग = 3 = −b/a = 3; गुणनफल = -10 = c/a = -10

पूरी व्याख्या

विविक्तकर की तीन स्थितियाँ

जब $\Delta > 0$ हो, तो वर्गमूल एक वास्तविक संख्या है और $\pm$ दो अलग-अलग मूल देता है। यदि $\Delta$ पूर्ण वर्ग भी हो, जैसे उदाहरण में 49, तो मूल परिमेय होते हैं और द्विघात के पूर्णांकों पर गुणनखंड हो जाते हैं; अन्यथा उनमें करणी होती है, जैसे $2x^2 + 4x - 3 = 0$ में, जिसके मूल $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ हैं। जब $\Delta = 0$ हो, तो दोनों मूल एक हो जाते हैं: $x^2 - 6x + 9 = 0$ का दोहरा मूल $x = 3$ है और परवलय अक्ष को केवल छूता है। जब $\Delta < 0$ हो, तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता, और कैलकुलेटर सम्मिश्र युग्म देता है, उदाहरण के लिए $x^2 + 2x + 5 = 0$ के लिए $-1 \pm 2i$ ।

सूत्र कहाँ से आता है

व्यापक समीकरण पर वर्ग पूरा करने से द्विघात सूत्र मिलता है। $a$ से भाग देकर और $c$ को दूसरी ओर ले जाकर $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ मिलता है; दोनों पक्षों में $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ जोड़ने से बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग बन जाता है, $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ । वर्गमूल लेकर $\frac{b}{2a}$ घटाने से सूत्र बनता है। यही व्युत्पत्ति शीर्ष को भी समझाती है: परवलय $x = -\frac{b}{2a}$ के प्रति सममित है, जो दोनों मूलों का मध्यबिंदु है।

शीर्ष और ग्राफ़ को पढ़ना

शीर्ष परवलय का मोड़ बिंदु है। इसका x-निर्देशांक $-\frac{b}{2a}$ है, और इसे समीकरण में रखने से y-निर्देशांक मिलता है, जो $a > 0$ होने पर न्यूनतम मान और $a < 0$ होने पर अधिकतम मान है। उदाहरण में शीर्ष $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ पर है, इसलिए व्यंजक $x^2 - 3x - 10$ कभी $-12.25$ से छोटा नहीं होता। इसी कारण द्विघात अनुकूलन के सवालों में उपयोगी हैं, जैसे फेंकी गई गेंद का सबसे ऊँचा बिंदु या वह मूल्य जिस पर आय अधिकतम हो।

शीर्ष रूप $a(x - h)^2 + k$ यही जानकारी सीधे दिखाता है, जिसमें $(h, k)$ शीर्ष है।

आम गलतियाँ

$b$ ऋणात्मक होने पर $b^2$ की जगह $-b^2$ लेना: $(-3)^2 = 9$ ।
पूरे अंश की जगह केवल $-b$ को $2a$ से भाग देना।
सभी पदों को एक पक्ष में ले जाने से पहले गुणांक लिख देना।
± भूलकर केवल एक मूल बताना।
जब केवल वास्तविक हल पूछे गए हों तब सम्मिश्र मूल लिखना, या इसका उल्टा; प्रश्न ध्यान से पढ़ें।

सुझाव

यदि $b$ सम हो, तो सूत्र सरल होकर $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ बन जाता है।
वियेता से अपने मूल जाँचें: उनका योग $-\frac{b}{a}$ होना चाहिए।
यदि $\Delta$ पूर्ण वर्ग हो, तो द्विघात के पूर्णांकों पर गुणनखंड हो जाते हैं।
पहले तीनों गुणांकों को किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें; मूल नहीं बदलते और गणना हल्की हो जाती है।
शीर्ष दोनों मूलों के ठीक बीच में होता है, जिससे दोनों की झटपट जाँच हो जाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

द्विघात सूत्र क्या है?

$ax^2 + bx + c = 0$ के हल $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ हैं। यह हर द्विघात पर काम करता है, उन पर भी जिनके गुणनखंड नहीं होते।

विविक्तकर मुझे क्या बताता है?

यदि $b^2 - 4ac > 0$ हो तो दो अलग वास्तविक मूल हैं, यदि यह 0 के बराबर हो तो एक दोहरा मूल है, और यदि ऋणात्मक हो तो दो सम्मिश्र मूल हैं।

क्या कैलकुलेटर सम्मिश्र मूल दे सकता है?

हाँ। ऋणात्मक विविक्तकर के लिए मूल $p \pm qi$ के रूप में लिखे जाते हैं; $x^2 + 2x + 5 = 0$ के लिए वे $-1 \pm 2i$ हैं।

यदि a = 0 हो तो?

तब समीकरण द्विघात नहीं, रैखिक है। उसके लिए समीकरण हल करने वाला कैलकुलेटर या x के लिए हल करें कैलकुलेटर प्रयोग करें।

परवलय का शीर्ष कैसे निकालें?

शीर्ष $x = -\frac{b}{2a}$ पर है; y-निर्देशांक पाने के लिए यह मान रखें। कैलकुलेटर दोनों दिखाता है।

मूलों को दशमलव के बजाय वर्गमूल के रूप में क्यों रखें?

सटीक करणियाँ पूरी परिशुद्धता बनाए रखती हैं और उत्तर की संरचना दिखाती हैं। सुविधा के लिए साथ में दशमलव सन्निकटन भी दिया जाता है।

दोहरे मूल का क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है कि विविक्तकर शून्य है और दोनों मूल एक ही संख्या हैं। परवलय x-अक्ष को अपने शीर्ष पर बिना काटे छूता है, जैसे $x^2 - 6x + 9 = 0$ में, जिसका दोहरा मूल $x = 3$ है।

सूत्र के बजाय गुणनखंड कब करें?

जब विविक्तकर पूर्ण वर्ग हो और संख्याएँ छोटी हों, तब गुणनखंड करें, क्योंकि तब मूल परिमेय होते हैं। सूत्र हमेशा काम करता है, इसलिए जब गुणनखंड स्पष्ट न हों तो उसका प्रयोग करें।

द्विघात समीकरण में a शून्य क्यों नहीं हो सकता?

यदि $a = 0$ हो तो $x^2$ वाला पद गायब हो जाता है और समीकरण रैखिक बन जाता है, $bx + c = 0$ , जिसका अधिकतम एक हल होता है। द्विघात सूत्र में भी शून्य से भाग होगा, इसलिए कैलकुलेटर शून्येतर $a$ माँगता है।

द्विघात समीकरण कैलकुलेटर आज़माएँ

a, b और c लिखें और विविक्तकर से लेकर शीर्ष तक हर चरण देखें।

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