असमिकाएँ कैसे हल करें और उत्तर अंतराल संकेतन में कैसे लिखें

असमिका के चिह्न और उत्तर का रूप

असमिका दो व्यंजकों की तुलना चार में से किसी एक चिह्न से करती है: $<$ (से कम), $>$ (से अधिक), $\le$ (से कम या बराबर) और $\ge$ (से अधिक या बराबर)। इसका हल आमतौर पर संख्याओं का एक अनंत समुच्चय होता है, इसलिए उत्तर असमिका, संख्या रेखा पर आलेख या अंतराल के रूप में लिखा जाता है।

• $x < 5$ अंतराल $(-\infty, 5)$ है; गोल कोष्ठक का अर्थ है कि 5 शामिल नहीं है, जिसे संख्या रेखा पर खाली वृत्त से दिखाते हैं।
• $x \le 3$ है $(-\infty, 3]$; वर्ग कोष्ठक का अर्थ है कि 3 शामिल है, जिसे भरे वृत्त से दिखाते हैं।
• $-2 \le x < 4$ है $[-2, 4)$.
• अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है, क्योंकि वह ऐसी संख्या नहीं जिसे शामिल किया जा सके।

वह एक नियम जो समीकरणों से अलग है

आप दोनों पक्षों में कोई भी संख्या जोड़ या घटा सकते हैं, और दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या से गुणा या भाग दे सकते हैं, ठीक समीकरणों की तरह। लेकिन दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमिका की दिशा उलट जाती है।

इसका कारण देखने के लिए सत्य कथन $-2 < 3$ से शुरू करें और दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करें। आपको $2$ और $-3$ मिलते हैं, और $2 > -3$. ऋणात्मक संख्या से गुणा संख्या रेखा को परावर्तित करता है, जिससे बड़ा पक्ष बदल जाता है। यही बात असमिका के दोनों पक्षों की अदला-बदली पर लागू होती है: $5 > x$ का वही अर्थ है जो $x < 5$ का।

रैखिक असमिकाएँ

सीमा के दोनों ओर एक-एक मान परखने में दस सेकंड लगते हैं और भूला हुआ चिह्न-परिवर्तन हर बार पकड़ में आ जाता है।

संयुक्त असमिकाएँ: और, या

$-3 \le 2x + 1 < 9$ जैसी दोहरी असमिका का अर्थ है कि दोनों शर्तें लागू हैं। इसे तीनों भागों पर एक साथ एक ही संक्रिया करके हल करें।

उत्तर $[-2, 4)$ है, यानी दोनों शर्तों का साझा भाग। “या” वाला कथन, जैसे $x < -1$ या $x \ge 3$, दो टुकड़ों का सम्मिलन है और $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ लिखा जाता है।

निरपेक्ष मान वाली असमिकाएँ

निरपेक्ष मान $|A|$ शून्य से $A$ की दूरी है। $k$ से कम दूरी का अर्थ है शून्य के पास होना, जिससे एक अंतराल मिलता है; $k$ से अधिक दूरी का अर्थ है दूर होना, जिससे दो टुकड़े मिलते हैं। $k > 0$ के लिए:

अगर $k$ ऋणात्मक है, तो $|A| < k$ का कोई हल नहीं है और $|A| > k$ हर वास्तविक संख्या के लिए सत्य है, क्योंकि निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता।

चिह्न-सारणी से द्विघात असमिकाएँ

असमिका पर वर्गमूल लेने की कोशिश न करें। इसके बजाय सब कुछ एक पक्ष में ले जाएँ, पता करें कि व्यंजक कहाँ शून्य है, और उन बिंदुओं के बीच चिह्न परखें।

आलेखीय रूप से $y = x^2 - x - 6$ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय है जो अपने मूलों के बाहर x-अक्ष के ऊपर रहता है, जो चिह्न-सारणी से मेल खाता है। अगर गुणनखंड आसान न हो, तो द्विघात कैलकुलेटर मूल खोज देता है।

परिमेय असमिकाएँ

जब चर हर में हो, तो दोनों पक्षों को कभी उस हर से गुणा न करें: आप नहीं जानते कि वह धनात्मक है या ऋणात्मक। इसके बजाय अंश और हर दोनों के शून्यकों के साथ चिह्न-सारणी का उपयोग करें।

दो चरों वाली असमिकाएँ

$y > 2x + 1$ जैसी असमिका तल के एक क्षेत्र का वर्णन करती है। सीमा-रेखा $y = 2x + 1$ खींचें, सख़्त असमिका के लिए टूटी रेखा और $\le$ या $\ge$ के लिए ठोस रेखा, फिर उस ओर छायांकन करें जो असमिका को संतुष्ट करती है। मूलबिंदु परखना सबसे तेज़ है: $0 > 1$ असत्य है, इसलिए वह ओर छायांकित करें जिसमें $(0, 0)$ नहीं है। ग्राफ़िंग कैलकुलेटर ऐसी असमिकाओं को सीधे छायांकित करता है।

आम गलतियाँ

• ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग के बाद चिह्न उलटना भूल जाना।
• ऐसे चर वाले व्यंजक से गुणा करना जिसका चिह्न अज्ञात है।
• $|x - 4| < 3$ को केवल $x - 4 < 3$ लिखना, जिससे निचली सीमा खो जाती है।
• अनंत के पास वर्ग कोष्ठक लगाना, या अंत्य बिंदु पर गलत कोष्ठक लगाना।
• ऐसा मान शामिल करना जो हर को शून्य बना दे।

असमिका कैलकुलेटर हर चरण और अंतराल संकेतन दिखाता है। पूरे लेख में इस्तेमाल हुई समीकरण हल करने की चालों के लिए रैखिक समीकरण कैसे हल करें देखें।

असमिका वाला एक शाब्दिक प्रश्न

जब भी किसी स्थिति में कोई सीमा, न्यूनतम या बजट हो, असमिकाएँ आती हैं। “कम से कम”, “से अधिक नहीं”, “अधिक से अधिक” और “से ज़्यादा” जैसे वाक्यांश बताते हैं कि कौन-सा चिह्न लगाना है: “कम से कम” का अर्थ $\ge$, “अधिक से अधिक” और “से अधिक नहीं” का अर्थ $\le$, और “से ज़्यादा” का अर्थ $>$ है।

संदर्भ ने एक ऐसा प्रतिबंध जोड़ा जो अकेला बीजगणित नहीं देता। वास्तविक प्रश्नों में $t \ge 0$ या पूर्ण संख्या वाली शर्त की ज़रूरत आम है, इसलिए अंतिम अंतराल लिखने से पहले हमेशा पूछें कि कौन-से मान सार्थक हैं।

अंतराल वाले उत्तर की जाँच

असमिका के उत्तर के तीन भाग होते हैं जिनमें से हर एक गलत हो सकता है: सीमा-मान, हर सीमा शामिल है या नहीं, और सीमा का कौन-सा पक्ष रखा गया है। इन्हें इसी क्रम में जाँचें। हर सीमा को मूल असमिका में प्रतिस्थापित करके देखें कि क्या समानता मिलती है, जिससे पता चलता है कि अंत्य बिंदु उत्तर में आता है या नहीं। फिर अपने उत्तर के हर अंतराल के अंदर का एक मान और बाहर का एक मान परखें।

परिमेय उदाहरण के लिए $x = 1$ देता है $\frac{0}{3} = 0$, और $0 \le 0$ सत्य है, इसलिए 1 शामिल है। $x = -2$ पर व्यंजक अपरिभाषित है, इसलिए $-2$ बाहर है, भले ही असमिका समानता की अनुमति देती है। ये दो जाँचें $(-2, 1]$ के कोष्ठकों की पुष्टि करती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल