रैखिक समीकरण चरण-दर-चरण कैसे हल करें

रैखिक समीकरण क्या है

एक चर वाला रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसे $ax + b = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सके, जहाँ $a$ और $b$ संख्याएँ हैं और $a \neq 0$. अज्ञात केवल पहली घात में आता है: न $x^2$ है, न $\sqrt{x}$, और न हर में $x$. क्योंकि $y = ax + b$ का आलेख एक सरल रेखा है, समीकरण का ठीक एक हल होता है, $x = -\frac{b}{a}$, जहाँ वह रेखा x-अक्ष को काटती है।

$3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ और $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ जैसे समीकरण सभी रैखिक हैं, भले ही वे अभी $ax + b = 0$ जैसे न दिखें। काम यह है कि उन्हें एक-एक वैध चरण में तब तक दोबारा लिखें जब तक अज्ञात अकेला न रह जाए।

हर चरण के पीछे का संतुलन नियम

समीकरण को संतुलित तराज़ू समझें। आप एक पक्ष के साथ कुछ भी कर सकते हैं, बशर्ते दूसरे पक्ष के साथ ठीक वही करें, क्योंकि बराबर राशियाँ एक ही तरह बदलने पर बराबर रहती हैं। आप जिन चार संक्रियाओं का उपयोग करेंगे, वे हैं:

• दोनों पक्षों में एक ही संख्या या व्यंजक जोड़ना;
• दोनों पक्षों से एक ही संख्या या व्यंजक घटाना;
• दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करना;
• दोनों पक्षों को एक ही शून्येतर संख्या से भाग देना।

शून्य से गुणा या भाग ही एकमात्र वर्जित चाल है: शून्य से गुणा करने पर कोई भी समीकरण $0 = 0$ बन जाता है और जानकारी नष्ट हो जाती है, और शून्य से भाग अपरिभाषित है।

पाँच चरणों की विधि

1. बंटन करके कोष्ठक हटाएँ: $5(x - 2)$ बनता है $5x - 10$.
2. दोनों पक्षों को लघुत्तम समापवर्त्य हर से या 10 की किसी घात से गुणा करके भिन्न या दशमलव हटाएँ।
3. हर पक्ष पर अलग-अलग समान पदों को मिलाएँ।
4. जोड़कर या घटाकर चर वाले पद एक पक्ष में और अचर पद दूसरे पक्ष में इकट्ठा करें।
5. चर के गुणांक से भाग दें, फिर उत्तर को मूल समीकरण में वापस रखकर जाँचें।

हर समीकरण को हर चरण की ज़रूरत नहीं होती। यह विधि बस ऐसा क्रम देती है जो सबसे आम उलझनों से बचाता है, जैसे समान पदों को मिलाने से पहले ही भाग देने की कोशिश करना।

आसान से कठिन तक हल किए गए उदाहरण

क्रम पर ध्यान दें। व्यंजक $3x + 7$ बनाते समय सात सबसे बाद में जोड़ा गया था, इसलिए उसे सबसे पहले हटाया जाता है। हल करना संक्रियाओं के क्रम को उलट देता है।

अगर आप धनात्मक गुणांक पसंद करते हैं, तो चर वाले पद उस पक्ष पर इकट्ठा करें जहाँ गुणांक पहले से बड़ा है। उदाहरण 3 में दोनों पक्षों में $4x$ जोड़ने पर $9 = 6x - 15$ मिलता है, फिर $24 = 6x$ और $x = 4$, बिना किसी ऋणात्मक भाग के।

भिन्नों और दशमलवों वाले समीकरण

ज़्यादातर गलतियाँ भिन्नों में होती हैं, इसलिए उन्हें शुरू में ही हटा दें। दोनों पक्षों के हर पद को लघुत्तम समापवर्त्य हर (ल.स.प.) से गुणा करें। हर पद का अर्थ है हर पद, उन पूर्ण संख्याओं सहित जिनका कोई दिखाई देने वाला हर नहीं है।

दशमलव भी इसी तरह दस की घात से हटते हैं। वह घात चुनें जो सबसे अधिक दशमलव स्थानों वाले दशमलव को हटा दे।

भिन्नों से भरे समीकरणों की पुष्टि आप भिन्न कैलकुलेटर से कर सकते हैं, या हर चरण की तुलना समीकरण सॉल्वर से कर सकते हैं।

कोई हल नहीं और अनंत हल

कभी-कभी हल करते समय चर पूरी तरह गायब हो जाता है। जो बचता है, वह बताता है कि कौन-सी विशेष स्थिति है।

$6 = 6$ जैसा सत्य कथन बताता है कि दोनों पक्ष एक ही व्यंजक हैं, इसलिए हर वास्तविक संख्या हल है। ऐसे समीकरण को सर्वसमिका कहते हैं।

$6 = 5$ जैसा असत्य कथन बताता है कि $x$ का कोई मान दोनों पक्षों को कभी बराबर नहीं कर सकता: समीकरण का कोई हल नहीं है। आलेखीय रूप से दोनों पक्ष समान ढाल और अलग अंतःखंडों वाली समांतर रेखाएँ हैं, इसलिए वे कभी नहीं मिलतीं।

किसी सूत्र में एक चर के लिए हल करना

यही संतुलन नियम सूत्रों को पुनर्व्यवस्थित करता है, जिसे अक्सर शाब्दिक समीकरण हल करना कहते हैं। जो अक्षर आपको चाहिए, उसके अलावा हर अक्षर को ऐसे मानें जैसे वह कोई संख्या हो।

समीकरण को इस तरह दोबारा लिखना उसे आलेखित करने का पहला चरण है, जिसे आप ढाल कैलकुलेटर से आज़मा सकते हैं।

शाब्दिक प्रश्न को समीकरण में बदलना

जब कोई राशि अचर दर से बदलती है, तो शाब्दिक प्रश्न रैखिक समीकरण बन जाते हैं। अज्ञात का नाम रखें, हर वाक्यांश को व्यंजक के रूप में लिखें, और एक ही राशि के दोनों विवरणों को बराबर रखें।

वाक्यों को समीकरणों में बदलने का और अभ्यास शाब्दिक प्रश्न सॉल्वर में है।

आम गलतियाँ और उनसे कैसे बचें

• केवल पहले पद पर बंटन करना: $3(x + 4)$ बराबर $3x + 12$ है, न कि $3x + 4$.
• ऋण चिह्न खो देना: $-(x - 5)$ बराबर $-x + 5$ है। ऋण को कोष्ठक के हर पद पर बाँटें।
• केवल भिन्नों को ल.स.प. से गुणा करना और पूर्ण संख्या वाले पद भूल जाना।
• किसी पद को बराबर के चिह्न के पार ले जाना पर उसका चिह्न न बदलना। पद के पार जाने की बात असल में दोनों पक्षों से उसे घटाने का संक्षिप्त रूप है।
• $-x = 3$ पर रुक जाना। $x = -3$ पाने के लिए $-1$ से भाग दें।
• जाँच छोड़ देना। बाद की किसी पंक्ति के बजाय मूल समीकरण में प्रतिस्थापन करने से किसी भी चरण की गलती पकड़ में आती है।

आगे क्या पढ़ें

जब रैखिक समीकरण अपने-आप हल होने लगें, तो यही कौशल सीधे रैखिक असमिकाओं में काम आते हैं, जहाँ एक अतिरिक्त नियम लागू होता है, और समीकरण निकायों में, जहाँ दो रैखिक समीकरणों में दो अज्ञात साझा होते हैं। अगर समीकरण में $x^2$ हो, तो द्विघात समीकरण हल करने की मार्गदर्शिका पढ़ें। अभ्यास के लिए ऊपर का कोई भी उदाहरण x के लिए हल करें कैलकुलेटर में लिखें और उसके चरणों की तुलना अपने चरणों से करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल