बीजीय व्यंजकों को चरण-दर-चरण सरल कैसे करें

सरल करने का वास्तविक अर्थ

$3(2x - 5) - 2(x - 4)$ जैसे व्यंजक में बराबर का चिह्न नहीं है, इसलिए हल करने को कुछ नहीं है। इसे सरल करने का अर्थ है एक तुल्य व्यंजक खोजना, जो हर अनुमत $x$ के लिए वही मान दे, और जो छोटा तथा इस्तेमाल में आसान हो। यहाँ वह $4x - 7$ है।

तुल्य ही महत्वपूर्ण शब्द है। हर चरण एक मान्य बीजीय नियम होना चाहिए, न कि ऐसा अनुमान जो संयोग से साफ़-सुथरा दिखे। एक उपयोगी परीक्षण कोई मान प्रतिस्थापित करना है: $x = 2$ पर मूल व्यंजक $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$ देता है, और $4(2) - 7 = 1$ भी। एक बिंदु पर मेल खाने से दो व्यंजकों का तुल्य होना सिद्ध नहीं होता, लेकिन मेल न खाना गलती सिद्ध कर देता है।

समान पदों को मिलाना

समान पदों में बिल्कुल वही चर बिल्कुल उन्हीं घातों पर होते हैं; केवल उनके गुणांक अलग हो सकते हैं। $3x^2$ और $-7x^2$ समान पद हैं। $3x^2$ और $3x$ नहीं हैं, और न ही $xy$ और $x^2y$.

समान पदों को मिलाने के लिए उनके गुणांक जोड़ें और चर वाला भाग अपरिवर्तित रखें:

मिलाने से पहले समान पदों के हर समूह को रेखांकित करें या रंग दें, और हर पद के साथ उसका चिह्न भी ले जाएँ। $4x + 3y - x$ में पद $-x$ है, न कि $x$.

बंटन गुणधर्म और कोष्ठक खोलना

बंटन गुणधर्म $a(b + c) = ab + ac$ कोष्ठक हटाता है। बाहर का गुणक अंदर के हर पद से गुणा होता है, और कोष्ठक के आगे का ऋण चिह्न $-1$ का गुणक है।

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, क्योंकि $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे के हर पद से गुणा करें।
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, न कि $4x^2 + 9$.

किसी योग का पद-दर-पद वर्ग करना, जैसे $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, बीजगणित की सबसे आम गलतियों में से एक है। सही सर्वसमिका $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ है।

घातांक के नियम

घातों के गुणनफल और भागफल कुछ नियमों से सरल होते हैं, जो किसी भी शून्येतर आधार के लिए मान्य हैं:

अगर आप कोई लंबा व्यंजक जाँचना चाहें, तो घातांक कैलकुलेटर ये नियम एक-एक करके लागू करता है।

बीजीय भिन्नों को सरल करना

परिमेय व्यंजक को सरल करने के लिए अंश और हर का पूरा गुणनखंड करें, फिर दोनों में आने वाले गुणनखंड काटें। आप केवल गुणनखंड काट सकते हैं, जोड़े गए पद कभी नहीं।

प्रतिबंध $x \neq -3$ रखना ज़रूरी है, भले ही $(x + 3)$ अब न दिखे, क्योंकि मूल व्यंजक वहाँ अपरिभाषित है। भिन्नें जोड़ने के लिए पहले उभयनिष्ठ हर लें:

अगर गुणनखंड में अटकते हैं, तो बहुपदों का गुणनखंड की मार्गदर्शिका यहाँ इस्तेमाल हुई हर विधि समझाती है, और परिमेय व्यंजक कैलकुलेटर काटने का चरण-दर-चरण दिखाता है।

वर्गमूलों को सरल करना

अऋणात्मक $a$ और $b$ के लिए $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ का उपयोग करके पूर्ण वर्ग गुणनखंड बाहर निकालें। फिर समान करणियों को समान पदों की तरह ही मिलाएँ।

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ और $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, इसलिए $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, जो $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ नहीं है। मूल जोड़ पर नहीं बँटते।

संक्रियाओं का समझदारी भरा क्रम

1. ऋण चिह्नों का ध्यान रखते हुए बंटन गुणधर्म से कोष्ठक खोलें।
2. गुणनफलों, भागफलों और घातों पर घातांक नियम लागू करें।
3. समान पदों को मिलाएँ।
4. भिन्नों के लिए पूरा गुणनखंड करें और प्रतिबंध रखते हुए उभयनिष्ठ गुणनखंड काटें।
5. परिणाम को मानक क्रम में लिखें, आमतौर पर घटती घातों के अनुसार: $3x^2 - x + 4$.
6. मूल व्यंजक और परिणाम में कोई सरल मान प्रतिस्थापित करके जाँचें।

मान बदल देने वाली गलतियाँ

• गुणनखंडों के बजाय पद काटना: $\frac{x + 6}{x + 3}$ न $2$ है और न $\frac{6}{3}$.
• ऋण चिह्न को केवल पहले पद पर बाँटना।
• अलग आधारों को गुणा करते समय घातांक जोड़ना: $x^2 y^3$ को एक घात में नहीं मिलाया जा सकता।
• $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ या $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ लिखना।
• काटने के बाद प्रांत के प्रतिबंध छोड़ देना।

कोई भी व्यंजक सरलीकरण कैलकुलेटर में डालें और उसके चरणों की तुलना अपने चरणों से करें। व्यंजक सरल हो जाए, तो संबंधित समीकरण हल करना बहुत आसान हो जाता है; रैखिक समीकरण कैसे हल करें देखें।

एक लंबा हल किया गया उदाहरण

वास्तविक अभ्यास आमतौर पर ऊपर के कई नियमों को मिलाते हैं। एक को ध्यान से हल करने पर दिखता है कि चरणों का क्रम व्यंजक को कैसे सँभालने योग्य रखता है।

ध्यान दें कि $(x + 1)^2$ के आगे का घटाव तभी सँभाला गया जब कोष्ठक के अंदर वर्ग खोल लिया गया था। पहले खोलना और फिर ऋण चिह्न को हर पद पर बाँटना ही चिह्न की क्लासिक गलती को रोकता है।

पूरी तरह सरल किसे माना जाता है?

अंतिम उत्तर के लिए शिक्षक और पाठ्यपुस्तकें कुछ साझा परिपाटियों का उपयोग करते हैं। व्यंजक को आमतौर पर पूरी तरह सरल तब माना जाता है जब खोलने योग्य कोई कोष्ठक न बचा हो, जब तक गुणनखंडित रूप न माँगा गया हो; कोई दो पद समान न हों; कोई घातांक ऋणात्मक या शून्य न हो; किसी भिन्न के अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो; किसी वर्गमूल में पूर्ण वर्ग गुणनखंड न हो; और किसी हर में वर्गमूल न हो।

अंतिम नियम परिमेयीकरण से सँभाला जाता है। $\frac{6}{\sqrt{3}}$ का परिमेयीकरण करने के लिए ऊपर और नीचे को $\sqrt{3}$ से गुणा करें, जिससे $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ मिलता है। दोनों रूपों का मान एक ही है, लगभग $3.464$, लेकिन दूसरा पारंपरिक अंतिम रूप है।

कभी-कभी सबसे सरल रूप उद्देश्य पर निर्भर करता है। विस्तारित रूप $x^2 - 3x - 10$ गुणांक पढ़ने के लिए सुविधाजनक है, जबकि गुणनखंडित रूप $(x + 2)(x - 5)$ शून्यक तुरंत दिखाता है। अगर अभ्यास न बताए कि कौन-सा रूप चाहिए, तो दोनों तुल्य हैं, लेकिन ज़्यादातर शिक्षक योगों के लिए विस्तारित रूप और भिन्नों के लिए गुणनखंडित, कटा हुआ रूप अपेक्षित करते हैं।

अगर अलग दिखने वाले दो उत्तर दो-तीन मानों पर प्रतिस्थापन जाँच में खरे उतरें, तो वे लगभग निश्चित रूप से एक ही व्यंजक हैं, जो दो तरह से लिखा गया है।

एक से अधिक चरों के साथ सरलीकरण

कई चरों वाले व्यंजक बिल्कुल यही नियम मानते हैं, लेकिन उनमें पदों का हिसाब खोना आसान है। मिलाने से पहले पदों को उनके चर वाले भाग के अनुसार छाँटना मदद करता है। $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$ में समान समूह $a^2b$ वाले पद, $ab^2$ वाले पद और $ab$ वाले पद हैं। हर समूह को मिलाने पर $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$ मिलता है। इससे आगे कुछ नहीं मिलता, क्योंकि बचे हर पद का चर वाला भाग अलग है, लेकिन हर पद में $ab$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है, इसलिए व्यंजक को $ab(2a + 2b + 5)$ भी लिखा जा सकता है।

हर पद में चरों को वर्णानुक्रम में लिखना, जैसे $ba$ को $ab$, समान पदों को पहचानना आसान बनाता है। अंतिम उत्तरों में यह एक आम परिपाटी भी है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल