घातांक कैलकुलेटर

नियम क्यों काम करते हैं

गुणनफल नियम बस गिनती है। $a^3 \cdot a^2$ में $a$ की तीन प्रतियों को दो और प्रतियों से गुणा किया जाता है, कुल पाँच, इसलिए $a^5$। भागफल नियम काटना है: $\frac{a^5}{a^2}$ में दो प्रतियाँ कट जाती हैं और तीन बचती हैं।

शून्य और ऋणात्मक घातांक की परिभाषाएँ भागफल नियम से ही तय होती हैं। चूँकि $\frac{a^3}{a^3} = 1$ और नियम $a^0$ देता है, इसलिए $a^0 = 1$ होना चाहिए। इसी तरह $\frac{a^2}{a^5} = a^{-3}$ है और यह $\frac{1}{a^3}$ के बराबर भी है, इसलिए $a^{-3} = \frac{1}{a^3}$।

भिन्नात्मक घातांक और मूल

चूँकि $(a^{1/n})^n = a^{1} = a$, इसलिए संख्या $a^{1/n}$ अवश्य ही $a$ का $n$-वाँ मूल है। जब मूल परिमेय हो, जैसे $32^{3/5} = 8$, तो कैलकुलेटर सटीक परिणाम देता है; अन्यथा पूर्णांकित दशमलव के बजाय सटीक करणी रूप रखता है।

ऋणात्मक आधार के लिए विषम क्रम के मूल वास्तविक होते हैं, इसलिए $(-8)^{1/3} = -2$, लेकिन सम क्रम के मूल वास्तविक संख्याएँ नहीं होते: $(-4)^{1/2}$ का कोई वास्तविक मान नहीं है। भ्रामक परिणाम देने के बजाय कैलकुलेटर यह बात बताता है।

एकपदी व्यंजकों का सरलीकरण

$\frac{(2x^3y)^2}{4x^{-1}y^5}$ जैसे व्यंजक को सरल करने के लिए पहले गुणनफल की घात लगाएँ: $(2x^3y)^2 = 4x^6y^2$। फिर गुणांकों का भाग करें और हर चर के घातांक अलग-अलग घटाएँ: $4/4 = 1$, $x^{6-(-1)} = x^7$ और $y^{2-5} = y^{-3}$। अंत में ऋणात्मक घातांकों को व्युत्क्रम के रूप में लिखकर $\frac{x^7}{y^3}$ पाएँ।

बीजगणित की कक्षा के बाहर घातांक कहाँ मिलते हैं

घातांक हर उस चीज़ का वर्णन करते हैं जो किसी निश्चित गुणक से बढ़ती या घटती है। सालाना 5% कमाने वाला धन $t$ वर्षों बाद $1.05^t$ से गुणा हो जाता है, हर अवधि में दोगुनी होने वाली जनसंख्या $2^t$ की तरह बढ़ती है, और अर्धायु वाला रेडियोधर्मी नमूना $\left(\tfrac12\right)^t$ की तरह घटता है। वैज्ञानिक संकेतन, जैसे $6.02 \times 10^{23}$, बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं को संक्षेप में लिखने के लिए दस की घातों का प्रयोग करता है।

हर स्थिति में वही नियम लागू होते हैं। दो वर्ष की वृद्धि के बाद तीन वर्ष और की वृद्धि $1.05^2 \cdot 1.05^3 = 1.05^5$ है, और किसी लक्ष्य राशि तक पहुँचने में लगने वाला समय लघुगणक से घातांक को उलटकर निकाला जाता है, जिसे लघुगणक कैलकुलेटर चरण-दर-चरण करता है।