भिन्न कैलकुलेटर

Q: क्या मैं दशमलव और भिन्न एक साथ इस्तेमाल कर सकता हूँ?

हाँ। 0.25 जैसा दशमलव पहले सटीक भिन्न 1/4 में बदला जाता है, इसलिए उत्तर सटीक रहता है।

भिन्न कैलकुलेटर के बारे में

भिन्न $\frac{a}{b}$ बताती है कि $b$ बराबर हिस्सों में से $a$ हिस्से लिए गए हैं। भिन्नों को जोड़ने और घटाने के लिए समान हर चाहिए, जबकि गुणा और भाग सीधे अंशों और हरों पर किए जाते हैं।

यह कैलकुलेटर $1\tfrac12 + \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{5}$ जैसा पूरा व्यंजक पढ़ता है, संक्रियाओं के क्रम का पालन करता है और हर मध्यवर्ती मान को सटीक भिन्न के रूप में रखता है, इसलिए पूर्णांकन की कोई त्रुटि नहीं होती।

भिन्न क्या है?

भिन्न वह संख्या है जो एक पूर्णांक के ऊपर दूसरा पूर्णांक रखकर लिखी जाती है: $\frac{a}{b}$ , जहाँ $b \neq 0$ । नीचे की संख्या, यानी हर, बताती है कि पूरे को कितने बराबर हिस्सों में काटा गया है; ऊपर की संख्या, यानी अंश, बताती है कि उनमें से कितने हिस्से आपके पास हैं। इस तरह $\frac34$ का अर्थ है चार हिस्सों में काटे गए पूरे के तीन टुकड़े।

भिन्न एक भाग भी है: $\frac34$ वही संख्या है जो $3 \div 4 = 0.75$ है। जब अंश हर से छोटा हो, तो भिन्न उचित कहलाती है और 0 तथा 1 के बीच होती है। जब अंश बड़ा हो, तो भिन्न विषम कहलाती है, जैसे $\frac{7}{4}$ , और इसे मिश्र भिन्न $1\tfrac34$ के रूप में भी लिखा जा सकता है। कई अलग-अलग भिन्नें एक ही मान दर्शाती हैं; $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ और $\frac{50}{100}$ सभी $\frac12$ के बराबर हैं, और जिस भिन्न के अंश और हर में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न बचा हो, वह सरलतम रूप में कहलाती है।

भिन्न कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

हर भिन्न-रेखा के लिए / लगाकर व्यंजक लिखें, उदाहरण के लिए 2/3 + 5/6।
मिश्र भिन्न को पूर्ण भाग और भिन्न के बीच स्पेस देकर लिखें: 1 1/2।
भिन्नों के बीच +, −, * या ×, और ÷ का प्रयोग करें। कोष्ठक लगाए जा सकते हैं।
“गणना करें” दबाएँ और लघुत्तम समान हर, जोड़ा गया अंश और सरल किया गया परिणाम देखें।

सूत्र

भिन्नों का जोड़

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

व्यवहार में लघुत्तम समान हर संख्याओं को छोटा रखता है।

भिन्नों का गुणा

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

भिन्नों का भाग

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करें।

सरलीकरण

\frac{a}{b} = \frac{a \div g}{b \div g},\quad g = \gcd(a, b)

हल सहित उदाहरण: 2/3 + 5/6

हल किए गए उदाहरण में $\frac23$ और $\frac56$ को जोड़ा गया है। हर अलग-अलग हैं, इसलिए कैलकुलेटर पहले उनका लघुत्तम समान हर 6 निकालता है और $\frac23$ को $\frac46$ के रूप में लिखता है। अंशों को जोड़ने पर $\frac96$ मिलता है, जिसके अंश और हर में 3 का उभयनिष्ठ गुणनखंड है; सरल करने पर $\frac32$ मिलता है, यानी मिश्र भिन्न के रूप में $1\tfrac12$ । दशमलव जाँच, 1.5, परिणाम की पुष्टि करती है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\frac{3}{2}

हमने आपका सवाल कैसे समझा

भिन्नों का सटीक अंकगणित (परिणाम हमेशा सरलतम रूप में)।

स्टेप-बाय-स्टेप हल

दोनों भिन्नों को लघुत्तम समान हर के साथ फिर से लिखें
3 और 6 का लघुत्तम समान हर 6 है।
$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}$
अंशों को जोड़ें और हर वही रखें
$\frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$
सरल करें
अंश और हर को उनके म.स.प. 3 से भाग दें।
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
सरलतम रूप में अंतिम उत्तर
$\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

जोड़
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
गुणा
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
भाग
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

जोड़ और घटाव के लिए भिन्नों का हर समान किया जाता है, गुणा में अंश को अंश से और हर को हर से गुणा किया जाता है, और भाग में व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है। परिणाम को महत्तम समापवर्तक से भाग देकर सरल किया जाता है।

जाँच

दशमलव जाँच: 3/2 ≈ 1.5
मिश्र भिन्न के रूप में: 1 1/2

पूरी व्याख्या

जोड़ के लिए समान हर क्यों चाहिए

आप केवल एक ही आकार के टुकड़े जोड़ सकते हैं। तिहाई और छठे हिस्से अलग-अलग आकार के हैं, इसलिए $\frac23 + \frac56$ तब तक नहीं जोड़ा जा सकता जब तक दोनों को छठे हिस्सों में न लिखा जाए। किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता, और इसी कारण यह दोबारा लिखना सही है। हरों के सीधे गुणनफल के बजाय लघुत्तम समान हर इसलिए लिया जाता है क्योंकि इससे संख्याएँ छोटी रहती हैं और अंत में सरल करने का काम आम तौर पर कम हो जाता है।

गुणा और भाग

गुणा के लिए समान हर की ज़रूरत नहीं होती: अंश को अंश से और हर को हर से सीधे गुणा किया जाता है। $\frac34$ का $\frac23$ लेने का अर्थ है तीन चौथाई का दो तिहाई, जो $\frac{6}{12} = \frac12$ है। भाग यह पूछता है कि भाजक भाज्य में कितनी बार समाता है, और यह उसके व्युत्क्रम से गुणा करने के समान है। $\frac34 \div \frac25$ के लिए कैलकुलेटर सवाल को $\frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8}$ के रूप में लिखता है, जो $1\tfrac78$ है।

मिश्र भिन्न, दशमलव और लंबे व्यंजक

किसी भी गणना से पहले मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में और दशमलवों को सटीक भिन्नों में बदला जाता है, इसलिए $0.25 + \frac13$ पूर्णांकित दशमलव के बजाय $\frac14 + \frac13 = \frac{7}{12}$ बनता है। $1\tfrac12 - \frac34 \times \frac25$ जैसे व्यंजक में पहले गुणा किया जाता है, जिससे $\frac{3}{10}$ मिलता है, और फिर घटाव से $\frac{6}{5}$ मिलता है। हर मध्यवर्ती मान सटीक रखने से ही अंतिम उत्तर भी सटीक होता है।

आम गलतियाँ

हरों को जोड़ देना: $\frac12 + \frac13$ का उत्तर $\frac56$ है, $\frac25$ नहीं।
भाग करते समय दूसरी भिन्न को उलटना भूल जाना।
$1\tfrac12$ को $1 \times \tfrac12$ समझना; मिश्र भिन्न का अर्थ $1 + \tfrac12$ है।
उत्तर को सरल न करना, जैसे $\frac34$ के बजाय $\frac{6}{8}$ छोड़ देना।
जोड़ते समय वज्र गुणन करना; वज्र गुणन भिन्नों की तुलना या अनुपात हल करने का छोटा तरीका है, योग निकालने का नहीं।
जोड़ के चिह्न के पार काट देना, जैसे $\frac{3 + 1}{3}$ में 3 को काट देना।

सुझाव

संख्याएँ छोटी रखने के लिए गुणा करने से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काट दें।
गुणा या भाग से पहले मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदल लें।
दोनों पक्षों को दशमलव में बदलकर परिणाम की जाँच करें।
धनात्मक हर वाली दो भिन्नों $\frac{a}{b}$ और $\frac{c}{d}$ की तुलना के लिए $ad$ की तुलना $bc$ से करें।
पहले अनुमान लगाएँ: $\frac23 + \frac56$ का मान $\frac12 + 1$ से थोड़ा कम है, इसलिए 1.5 के आसपास का उत्तर उचित है।
शुरू करने से पहले हर भिन्न को सरल कर लें; छोटी संख्याओं से समान हर ढूँढना आसान होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अलग-अलग हर वाली भिन्नों को कैसे जोड़ें?

दोनों भिन्नों को उनके लघुत्तम समान हर पर लिखें, अंशों को जोड़ें और सरल करें। $\frac23 + \frac56$ के लिए लघुत्तम समान हर 6 है, जिससे $\frac46 + \frac56 = \frac96 = \frac32$ मिलता है।

मिश्र भिन्न कैसे लिखें?

पूर्ण संख्या लिखें, फिर एक स्पेस, फिर भिन्न, उदाहरण के लिए 2 3/4। कैलकुलेटर गणना से पहले इसे $\frac{11}{4}$ में बदल देता है।

क्या मैं दशमलव और भिन्न एक साथ इस्तेमाल कर सकता हूँ?

हाँ। 0.25 जैसा दशमलव पहले सटीक भिन्न $\frac14$ में बदला जाता है, इसलिए उत्तर सटीक रहता है।

मेरा उत्तर विषम भिन्न और मिश्र भिन्न दोनों रूपों में क्यों दिखाया जाता है?

दोनों एक ही मान दर्शाते हैं। आगे के बीजगणित में विषम भिन्न का उपयोग आसान होता है, जबकि मिश्र भिन्न की कल्पना करना आसान होता है।

अगर मैं शून्य से भाग दूँ तो क्या होगा?

शून्य मान वाली भिन्न से भाग अपरिभाषित है, इसलिए कैलकुलेटर रुक जाता है और बताता है कि व्यंजक के किस हिस्से से यह हुआ।

क्या यह संक्रियाओं के क्रम का पालन करता है?

हाँ। गुणा और भाग, जोड़ और घटाव से पहले किए जाते हैं, और कोष्ठक सबसे पहले हल किए जाते हैं।

एक भिन्न को दूसरी भिन्न से कैसे भाग दें?

पहली भिन्न को वैसे ही रखें, भाग को गुणा में बदलें और दूसरी भिन्न को उलट दें। $\frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8} = 1\tfrac78$ ।

विषम भिन्न को मिश्र भिन्न में कैसे बदलें?

अंश को हर से भाग दें। भागफल पूर्ण भाग बनता है और शेषफल उसी हर के ऊपर लिखा जाता है: $\frac{15}{8}$ में भागफल 1 और शेषफल 7 है, इसलिए उत्तर $1\tfrac78$ है।

भिन्न को दशमलव या प्रतिशत में कैसे बदलें?

दशमलव पाने के लिए अंश को हर से भाग दें, फिर प्रतिशत के लिए 100 से गुणा करें। $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$ । कैलकुलेटर जाँच के रूप में हर उत्तर का दशमलव मान भी दिखाता है।

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