द्विघात समीकरण कैसे हल करें: गुणनखंड, पूर्ण वर्ग और सूत्र

कोई समीकरण द्विघात कब होता है

द्विघात समीकरण को $a \neq 0$ के साथ $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। अज्ञात की सबसे ऊँची घात 2 है, इसलिए अधिक से अधिक दो हल होते हैं, जिन्हें मूल कहते हैं। कोई भी विधि लगाने से पहले सभी पद एक पक्ष में ले जाएँ ताकि दूसरा पक्ष शून्य हो। यह वैकल्पिक नहीं है: शून्य गुणनफल गुणधर्म और द्विघात सूत्र दोनों इसी पर निर्भर हैं।

उदाहरण के लिए, $x^2 = 3x + 10$ बनता है $x^2 - 3x - 10 = 0$, इसलिए $a = 1$, $b = -3$ और $c = -10$. शुरू करने से पहले तीनों गुणांक उनके चिह्नों सहित लिख लेना बाद में चिह्न की गलतियों से बचने का सबसे सरल तरीका है।

आलेखीय रूप से मूल परवलय $y = ax^2 + bx + c$ के x-अंतःखंड हैं। परवलय x-अक्ष को दो बार काट सकता है, अपने शीर्ष पर एक बार छू सकता है, या उसे बिल्कुल न छुए, इसीलिए द्विघात के दो, एक या कोई वास्तविक मूल नहीं हो सकते हैं।

त्वरित स्थितियाँ: x वाला पद या अचर न हो

दो विशेष रूपों के लिए किसी व्यापक विधि की ज़रूरत ही नहीं।

• अगर $b = 0$, तो $x^2$ को अलग करें और दोनों चिह्न याद रखते हुए वर्गमूल लें: $x^2 = 49$ से $x = \pm 7$ मिलता है, और $4x^2 - 9 = 0$ से $x^2 = \frac{9}{4}$, इसलिए $x = \pm\frac{3}{2}$.
• अगर $c = 0$, तो $x$ बाहर निकालें: $x^2 - 5x = 0$ बनता है $x(x - 5) = 0$, इसलिए $x = 0$ या $x = 5$.

$x^2 - 5x = 0$ के दोनों पक्षों को कभी $x$ से भाग न दें। ऐसा करने से मूल $x = 0$ खो जाता है, क्योंकि $x = 0$ होने पर आप शून्य से भाग दे रहे होंगे।

विधि 1: गुणनखंड

अगर द्विघात दो रैखिक गुणनखंडों में टूट जाए, तो शून्य गुणनफल गुणधर्म काम पूरा कर देता है: अगर $pq = 0$ तो $p = 0$ या $q = 0$. $a = 1$ के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल $c$ और योग $b$ हो।

यहाँ $-5$ और $2$ का गुणनफल $-10$ और योग $-3$ है। जब $a \neq 1$, तो AC विधि यही खोज आगे बढ़ाती है।

गुणनखंड तेज़ है लेकिन केवल तब व्यावहारिक है जब मूल परिमेय हों। एक उपयोगी परीक्षण: पूर्णांक गुणांकों के साथ द्विघात का पूर्णांकों पर गुणनखंड ठीक तब होता है जब विविक्तकर $b^2 - 4ac$ पूर्ण वर्ग हो। $6x^2 + x - 2$ के लिए यह $1 + 48 = 49 = 7^2$ है। अधिक अभ्यास बहुपदों का गुणनखंड की मार्गदर्शिका में है।

विधि 2: पूर्ण वर्ग बनाना

पूर्ण वर्ग बनाना बाएँ पक्ष को एक पूर्ण वर्ग और एक अचर के योग के रूप में फिर से लिखता है। $x^2 + 6x - 7 = 0$ लें। अचर को हटाएँ, फिर दोनों पक्षों में $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ जोड़ें:

इसलिए $x = 1$ या $x = -7$. यही चरण शीर्ष रूप $y = (x + 3)^2 - 16$ देते हैं, जो परवलय का शीर्ष $(-3, -16)$ पर रखता है। $a \neq 1$ वाली स्थिति सहित पूरी विधि हमारी पूर्ण वर्ग बनाना मार्गदर्शिका में है।

विधि 3: द्विघात सूत्र

व्यापक समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का पूर्ण वर्ग बनाने पर एक सूत्र मिलता है जो हर द्विघात पर काम करता है:

पूरे अंश को $2a$ के ऊपर रखें। $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ लिखना इस विषय की सबसे आम गलतियों में से एक है।

विविक्तकर को पढ़ना

वर्गमूल के नीचे का व्यंजक, $\Delta = b^2 - 4ac$, हल पूरा करने से पहले ही उत्तर का प्रकार बता देता है:

• $\Delta > 0$: दो अलग वास्तविक मूल; परवलय x-अक्ष को दो बार काटता है।
• $\Delta = 0$: एक दोहराया गया मूल; शीर्ष x-अक्ष को छूता है। उदाहरण: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ का एकमात्र मूल $x = 3$ है।
• $\Delta < 0$: कोई वास्तविक मूल नहीं, लेकिन दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल। उदाहरण: $x^2 + 2x + 5 = 0$ के लिए $\Delta = 4 - 20 = -16$, इसलिए $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

एक शाब्दिक प्रश्न: प्रक्षेप्य की ऊँचाई

द्विघात हर उस चीज़ का मॉडल बनाते हैं जो अचर त्वरण के अंतर्गत उठती और गिरती है। मान लीजिए $t$ सेकंड बाद एक गेंद की ऊँचाई मीटर में $h = -5t^2 + 20t + 25$ है ($g \approx 10\ \text{m/s}^2$ लेकर)।

संदर्भ में अर्थहीन मूल को अस्वीकार करना उत्तर का हिस्सा है, बाद में सोची गई बात नहीं।

कौन-सी विधि इस्तेमाल करें?

1. अगर $b = 0$ या $c = 0$, तो ऊपर की त्वरित स्थितियाँ इस्तेमाल करें।
2. अगर गुणांक छोटे पूर्णांक हैं और विविक्तकर पूर्ण वर्ग है, तो गुणनखंड आज़माएँ।
3. जब आपको शीर्ष या शीर्ष रूप भी चाहिए, तो पूर्ण वर्ग बनाएँ।
4. बाकी हर स्थिति में द्विघात सूत्र इस्तेमाल करें; यह कभी विफल नहीं होता।

आप जो भी विधि चुनें, मूलों को वियेटा के सूत्रों से जाँचें: उनका योग $-\frac{b}{a}$ और गुणनफल $\frac{c}{a}$ होना चाहिए। $6x^2 + x - 2 = 0$ के लिए मूल $\frac{1}{2}$ और $-\frac{2}{3}$ का योग $-\frac{1}{6}$ और गुणनफल $-\frac{1}{3}$ है, ठीक $-\frac{b}{a}$ और $\frac{c}{a}$.

आम गलतियाँ

• सभी पदों को पहले एक पक्ष में ले जाए बिना $x^2 = 3x + 10$ हल करना।
• केवल धनात्मक वर्गमूल लेना, जिससे $x^2 = 49$ में $x = -7$ खो जाता है।
• ऋणात्मक $b$ का गलत वर्ग करना: अगर $b = -3$ तो $b^2 = 9$, न कि $-9$. प्रतिस्थापन करते समय कोष्ठक इस्तेमाल करें।
• अंश के केवल एक हिस्से को $2a$ से भाग देना।
• हर गुणनखंड को गलत पक्ष के बराबर रखना: $(x - 5)(x + 2) = 0$ में मूल $5$ और $-2$ हैं, कोष्ठकों में लिखी संख्याओं के विपरीत चिह्न।

अपने हल की तुलना द्विघात समीकरण कैलकुलेटर से करें, और मूलों को x-अंतःखंडों के रूप में देखने के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर में परवलय आलेखित करें।

व्यवहार में विधि चुनना

छात्र अक्सर पूछते हैं कि सही विधि कौन-सी है। हर सही विधि वही मूल देती है, इसलिए असली प्रश्न यह है कि सामने के समीकरण के लिए कौन-सी सबसे तेज़ है और उसमें गलती की संभावना सबसे कम है। एक त्वरित निर्णय-क्रम अच्छा काम करता है। पहला, कोई छूटा पद खोजें: अचर न हो तो $x$ बाहर निकालें; $x$ वाला पद न हो तो $x^2$ को अलग करके वर्गमूल लें। दूसरा, पूर्णांक गुणनखंड खोजने में लगभग पंद्रह सेकंड लगाएँ। तीसरा, अगर कुछ न दिखे, तो और गुणनखंड जोड़ियाँ आज़माने के बजाय सीधे द्विघात सूत्र पर जाएँ।

पूर्ण वर्ग बनाना तब बेहतर विकल्प है जब प्रश्न शीर्ष भी पूछे, जब $x$ का गुणांक सम हो और प्रमुख गुणांक 1 हो, या जब आपसे इसे इस्तेमाल करने को कहा जाए। आलेखन मूलों का अनुमान लगाने और वास्तविक हलों की संख्या जाँचने के लिए उत्कृष्ट है, लेकिन आलेख से पढ़ा गया मान सन्निकट होता है, इसलिए जब तक मूल स्पष्ट रूप से पूर्णांक न हों, उसे अंतिम उत्तर के बजाय जाँच मानें।

समयबद्ध परीक्षा में पहले विविक्तकर निकालें। अगर यह पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण का पूर्णांकों या परिमेय संख्याओं पर गुणनखंड होता है; अगर यह ऋणात्मक है, तो आप तुरंत जान जाते हैं कि कोई वास्तविक मूल नहीं है।

अपने मूल जाँचना

प्रतिस्थापन सबसे भरोसेमंद जाँच है: हर मूल को मूल समीकरण में वापस रखें और पुष्टि करें कि बायाँ पक्ष शून्य के बराबर है। अपरिमेय मूलों के लिए हाथ से यह थकाऊ है, इसलिए इसके बजाय मूलों का योग और गुणनफल इस्तेमाल करें। $2x^2 + 4x - 3 = 0$ के लिए मूल $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ का योग $-2$ है, जो $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$ के बराबर है, और गुणनफल $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$ है, जो $\frac{c}{a}$ के बराबर है। दोनों मेल खाते हैं, इसलिए मूल सही हैं।

यह भी जाँचें कि उत्तर संदर्भ में सार्थक है। प्रक्षेप्य वाले उदाहरण में समीकरण का एक मूल ऋणात्मक था, और फेंकने से पहले के ऋणात्मक समय का कोई भौतिक अर्थ नहीं, इसलिए केवल धनात्मक मूल प्रश्न का उत्तर है। लंबाई, मूल्य और गिनती वाले शाब्दिक प्रश्नों में भी इसी कारण अक्सर एक मूल छोड़ दिया जाता है, और ऐसा क्यों किया, यह एक वाक्य में लिखना सार्थक है।

आप हर चरण की तुलना द्विघात कैलकुलेटर से कर सकते हैं, जो विविक्तकर, सटीक मूल और शीर्ष दिखाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल