पूर्ण वर्ग बनाना: चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका

विधि के पीछे का विचार

पूर्ण वर्ग त्रिपद किसी द्विपद के वर्ग का विस्तार होता है। $(x + h)^2$ का विस्तार $x^2 + 2hx + h^2$ देता है: अचर पद $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग है। पूर्ण वर्ग बनाने का अर्थ है ठीक वही अचर जोड़ना जिससे व्यंजक पूर्ण वर्ग बन जाए।

उदाहरण के लिए, 6 का आधा 3 है और $3^2 = 9$, इसलिए $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर $x^2 + 6x + 9 - 9$ मिलता है, जो इसकी पुष्टि करता है। ज्यामितीय रूप से, $x^2 + 6x$ एक $x$ गुणा $x$ का वर्ग और दो $3$ गुणा $x$ की पट्टियाँ है, और छूटा हुआ कोना $3$ गुणा $3$ का वर्ग है, जिसका क्षेत्रफल 9 है।

यही पैटर्न ऋण चिह्न के साथ भी काम करता है। $-10$ का आधा $-5$ है और $(-5)^2 = 25$, इसलिए $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. जोड़ा जाने वाला अचर हमेशा धनात्मक होता है, क्योंकि वह एक वर्ग है, जबकि कोष्ठक के अंदर का चिह्न $b$ के चिह्न जैसा होता है। इन दो तथ्यों को अलग रखने से आगे के चरणों की ज़्यादातर गलतियाँ रुक जाती हैं।

पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण हल करना

1. अगर $x^2$ का गुणांक 1 नहीं है, तो हर पद को उससे भाग दें।
2. अचर पद को दाएँ पक्ष में ले जाएँ।
3. दोनों पक्षों में $(b/2)^2$ जोड़ें।
4. बाएँ पक्ष को $(x + b/2)^2$ के रूप में लिखें और दाएँ पक्ष को सरल करें।
5. दोनों पक्षों का वर्गमूल लें, $\pm$ याद रखते हुए, और $x$ के लिए हल करें।

जब प्रमुख गुणांक 1 न हो

द्विघात सूत्र भी यही देता है: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. बीच का गुणांक विषम हो तो भिन्नें अपरिहार्य हैं, लेकिन सँभालने योग्य हैं। $x^2 + 5x - 1 = 0$ के लिए 5 का आधा $\frac{5}{2}$ है, इसलिए $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ और $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

सम्मिश्र हल

अगर दायाँ पक्ष अंत में ऋणात्मक आए, तो कोई वास्तविक हल नहीं है, लेकिन विधि फिर भी सम्मिश्र हल देती है।

जाँच: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, और $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

परवलय का शीर्ष रूप

आलेखन में पूर्ण वर्ग बनाने का सबसे आम उपयोग $y = ax^2 + bx + c$ को शीर्ष रूप $y = a(x - h)^2 + k$ में बदलना है, जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है। क्योंकि वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता, $a > 0$ होने पर शीर्ष न्यूनतम बिंदु है और $a < 0$ होने पर अधिकतम बिंदु।

उदाहरण 4 में सबसे आम गलती घटाए गए 9 को बाहर निकाले गए $-2$ से गुणा करना भूल जाना है। अपने शीर्ष रूप का फिर से विस्तार करना एक त्वरित जाँच है।

छोटा सूत्र $h = -\frac{b}{2a}$ शीर्ष का वही x-निर्देशांक देता है; पूर्ण वर्ग बनाना दिखाता है कि वह सूत्र कहाँ से आता है। द्विघात कैलकुलेटर मूलों के साथ शीर्ष भी बताता है।

द्विघात सूत्र की व्युत्पत्ति

$a \neq 0$ के साथ व्यापक समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का पूर्ण वर्ग बनाने पर द्विघात सूत्र मिलता है, इसीलिए यह सूत्र हमेशा काम करता है।

बीच का चरण दोनों पक्षों में $\frac{b^2}{4a^2}$ जोड़ने और $-\frac{c}{a}$ को $-\frac{4ac}{4a^2}$ लिखने से आता है। द्विघात समीकरण कैसे हल करें की मार्गदर्शिका समझाती है कि सूत्र, गुणनखंड या यह विधि कब इस्तेमाल करें।

वृत्त और अन्य अनुप्रयोग

$x$ और $y$ दोनों में पूर्ण वर्ग बनाने से वृत्त का व्यापक समीकरण केंद्र-त्रिज्या रूप में बदल जाता है।

कलन में यही चरण $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ जैसे समाकलों को तैयार करता है: हर को $(x + 1)^2 + 4$ लिखने पर $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$ मिलता है। समाकल कैलकुलेटर जहाँ लागू हो, यह प्रतिस्थापन इस्तेमाल करता है।

आम गलतियाँ

• $(b/2)^2$ केवल एक पक्ष में जोड़ना।
• 1 से भिन्न प्रमुख गुणांक से भाग देने से पहले ही पूर्ण वर्ग बनाना।
• वर्गमूल लेते समय $\pm$ भूल जाना, जिससे एक हल खो जाता है।
• $(b/2)^2$ के बजाय $b^2$ या $b/2$ का उपयोग करना।
• शीर्ष का चिह्न गलत पढ़ना: $(x - 3)^2$ में $h = 3$ है, और $(x + 3)^2$ में $h = -3$.

अपना उदाहरण पूर्ण वर्ग कैलकुलेटर में आज़माएँ, जो ऊपर के हर चरण को दिखाता है।

पूर्ण वर्ग से जानकारी पढ़ना

जब द्विघात व्यंजक $a(x - h)^2 + k$ के रूप में लिखा जाए, तो बिना और गणना के बहुत-सी जानकारी पढ़ी जा सकती है। शीर्ष $(h, k)$ है और सममिति अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x = h$ है। परिसर सीधे निकलता है: अगर $a > 0$, तो सबसे छोटा मान $k$ है और परिसर $[k, \infty)$ है; अगर $a < 0$, तो सबसे बड़ा मान $k$ है और परिसर $(-\infty, k]$ है।

x-अंतःखंडों की संख्या भी निकल आती है। $a(x - h)^2 + k = 0$ रखने पर $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$ मिलता है। अगर $-\frac{k}{a}$ धनात्मक है तो दो अंतःखंड हैं, अगर शून्य है तो शीर्ष अक्ष को छूता है, और अगर ऋणात्मक है तो परवलय अक्ष को कभी नहीं काटता। उदाहरण 3 में $(x - 2)^2 = -3$ का कोई वास्तविक हल नहीं है, जो ऊपर खुलने वाले परवलय में 3 की ऊँचाई पर शीर्ष से मेल खाता है। उदाहरण 4 में $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ से $(x - 3)^2 = 4$ मिलता है, इसलिए अंतःखंड $x = 1$ और $x = 5$ हैं।

इष्टतमीकरण के प्रश्न भी इसी विचार का उपयोग करते हैं। अगर मूल्य $p$ पर बेचने से लाभ सैकड़ों डॉलर में $P = -2p^2 + 12p - 10$ है, तो उदाहरण 4 दिखाता है कि अधिकतम लाभ $p = 3$ पर 8 सौ डॉलर है। कलन की कोई ज़रूरत नहीं, क्योंकि वर्ग वाला पद मान को केवल शीर्ष की ऊँचाई से नीचे ला सकता है।

उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न

उत्तर देखने से पहले इन्हें हल करके देखें। हर प्रश्न ऊपर के उदाहरणों के किसी चरण का उपयोग करता है।

1. $x^2 - 10x + 21 = 0$ हल करें। उत्तर: $(x - 5)^2 = 4$, इसलिए $x = 3$ या $x = 7$.
2. $x^2 + 2x - 4 = 0$ हल करें। उत्तर: $(x + 1)^2 = 5$, इसलिए $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. $y = x^2 + 8x + 10$ को शीर्ष रूप में लिखें। उत्तर: $y = (x + 4)^2 - 6$, शीर्ष $(-4, -6)$.
4. $y = 3x^2 - 6x + 1$ को शीर्ष रूप में लिखें। उत्तर: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, शीर्ष $(1, -2)$.
5. $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$ का केंद्र और त्रिज्या निकालें। उत्तर: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, केंद्र $(-1, 4)$, त्रिज्या 3.

अगर कोई उत्तर मेल न खाए, तो अपने पूर्ण वर्ग का विस्तार करके मूल व्यंजक से पंक्ति-दर-पंक्ति तुलना करें; अंतर आमतौर पर ठीक-ठीक दिखा देता है कि कौन-सा अचर गलत जोड़ा या घटाया गया।

यह विधि सीखना क्यों सार्थक है

जब द्विघात सूत्र उपलब्ध है, तो यह पूछना उचित है कि पूर्ण वर्ग बनाना अब भी क्यों पढ़ाया जाता है। उत्तर यह है कि यह एक रूपांतरण है, केवल हल करने की तरकीब नहीं। यह व्यंजक को ऐसे लिखता है कि चर केवल एक जगह, एक वर्ग के अंदर, आए। ऐसा होते ही व्यंजक का विश्लेषण आसान हो जाता है: उसका सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान, उसकी सममिति और उसके शून्यक, सब एक साथ दिख जाते हैं।

यह विचार पूरे गणित में बार-बार आता है। वृत्त, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय जैसे शंकु-परिच्छेद दो चरों में पूर्ण वर्ग बनाकर पहचाने जाते हैं। सांख्यिकी में सामान्य बंटन के घनत्व के घातांक में एक पूर्ण वर्ग होता है, और उसके कई गुणधर्मों की व्युत्पत्ति इसी बीजगणित पर निर्भर है। कलन में, जिन समाकलों में वर्गमूल के नीचे या हर में द्विघात व्यंजक हो, वे इस चरण के बाद मानक रूप बन जाते हैं। भौतिकी में इसका उपयोग ऊर्जा फलनों के साम्य बिंदु निकालने में होता है।

इसलिए सरल द्विघात व्यंजकों पर इसका अभ्यास वह कौशल बनाता है जिसकी आगे के विषय आपसे अपेक्षा करते हैं। अगर आप उदाहरण 1 से 5 बिना नोट्स देखे कर सकते हैं, तो आप इन उपयोगों के लिए, और उन परीक्षा प्रश्नों के लिए अच्छी तरह तैयार हैं जो केवल मूल बताने के बजाय विधि दिखाने को कहते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल