पूर्ण वर्ग कैलकुलेटर

गुणांक का आधा और उसका वर्ग ही क्यों?

$(x + p)^2$ का विस्तार $x^2 + 2px + p^2$ देता है। इसकी तुलना $x^2 + bx$ से करने पर बीच के पद तब मेल खाते हैं जब $2p = b$, यानी $p = b/2$, और छूटा हुआ अचर $p^2 = (b/2)^2$ है। ज्यामिति में $x^2 + bx$ भुजा $x$ वाला एक वर्ग और $x \times b/2$ माप के दो आयत हैं; कोने का $(b/2)^2$ क्षेत्रफल वाला छोटा वर्ग ही बड़े वर्ग को पूरा करता है।

जब अग्रग गुणांक 1 न हो

$a$ को केवल $x^2$ और $x$ वाले पदों से बाहर निकालें, अचर को बाहर ही रहने दें। कोष्ठक के भीतर वर्ग पूरा करें, फिर घटाए गए वर्ग को बाहर लाते समय $a$ से गुणा करें। यह गुणा भूल जाना सबसे आम गलती है: उदाहरण में कोष्ठक के भीतर का $-4$ बाहर आकर $-8$ बन जाता है।

अगर $a$ ऋणात्मक है, तो परवलय नीचे की ओर खुलता है और शीर्ष अधिकतम बिंदु होता है। कैलकुलेटर ऋणात्मक गुणांक को भी इसी तरह बाहर निकालता है, इसलिए कोष्ठक के भीतर चिह्न बदल जाते हैं।

वर्ग पूरा करके समीकरण हल करना

$x^2 - 4x - 1 = 0$ के लिए वर्ग पूरा करने पर $(x - 2)^2 = 5$ मिलता है। दोनों पक्षों का दोनों चिह्नों के साथ वर्गमूल लेने पर $x - 2 = \pm\sqrt5$ मिलता है, इसलिए $x = 2 \pm \sqrt5$। संख्याओं के बजाय अक्षरों के साथ यही चरण करने से द्विघात सूत्र बनता है।

जब दायाँ पक्ष ऋणात्मक हो, जैसे $x^2 + 6x + 13 = 0$ से मिलने वाले $(x + 3)^2 = -4$ में, तो कोई वास्तविक हल नहीं होता। कैलकुलेटर यह बताता है और साथ में वह सम्मिश्र युग्म $-3 \pm 2i$ भी देता है जो $\sqrt{-4} = 2i$ मानने पर मिलता है।

शीर्ष रूप से आलेख पढ़ना

शीर्ष रूप परवलय को $y = x^2$ के रूपांतरण के रूप में दिखाता है। मान $h$ आलेख को दाईं ओर खिसकाता है (और $h$ ऋणात्मक हो तो बाईं ओर), $k$ उसे ऊपर या नीचे खिसकाता है, और $a$ उसे ऊर्ध्वाधर रूप से खींचता है तथा ऋणात्मक होने पर उलट देता है। सममिति अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x = h$ है, इसलिए $h$ के दोनों ओर बराबर दूरी वाले बिंदुओं की ऊँचाई बराबर होती है।

इससे रेखाचित्र बनाना आसान हो जाता है। $2(x - 2)^2 - 5$ के लिए शीर्ष $(2, -5)$ अंकित करें, फिर दोनों ओर एक इकाई चलें: ऊँचाई $a \cdot 1^2 = 2$ बढ़ती है, जिससे $(1, -3)$ और $(3, -3)$ मिलते हैं। परिसर तुरंत $y \ge -5$ निकलता है, इसीलिए प्रांत और परिसर के प्रश्नों के लिए शीर्ष रूप स्वाभाविक शुरुआत है।