प्रांत और परिसर कैलकुलेटर

प्रांत और परिसर कैलकुलेटर के बारे में

किसी फलन का आलेख बनाने, उसका प्रतिलोम निकालने या उससे जुड़ा समीकरण हल करने से पहले यह जानना ज़रूरी है कि वह कौन-से निवेश स्वीकार करता है और कौन-से निर्गत दे सकता है। ये दो समुच्चय प्रांत और परिसर हैं। प्रांत निकालना ज़्यादातर वर्जित संक्रियाओं को पहचानने का काम है; परिसर निकालना कठिन है, क्योंकि उसमें पूछा जाता है कि आलेख वास्तव में किन ऊँचाइयों तक पहुँचता है।

यह कैलकुलेटर बहुपदों, परिमेय फलनों, मूलों, लघुगणकों, चरघातांकी फलनों, निरपेक्ष मानों और मूल त्रिकोणमितीय फलनों के लिए दोनों निकालता है। यह हर प्रतिबंध की सूची बनाकर उसे हल करता है, फिर परिसर बनाने के लिए प्रांत के हर भाग पर फलन का अध्ययन करता है। उत्तर अंतराल संकेतन में दिए जाते हैं, और जहाँ संभव हो वहाँ अंत्य बिंदु सटीक होते हैं।

प्रांत और परिसर क्या हैं?

किसी फलन का प्रांत उन सभी निवेशों $x$ का समुच्चय है जिनके लिए सूत्र एक वास्तविक संख्या देता है। परिसर उन सभी निर्गतों $f(x)$ का समुच्चय है जो $x$ के पूरे प्रांत में घूमने पर मिलते हैं। आलेख पर प्रांत वह छाया है जो वक्र $x$ -अक्ष पर डालता है और परिसर उसकी $y$ -अक्ष पर छाया है।

तीन संक्रियाएँ वास्तविक मान वाले सूत्रों को सीमित करती हैं: भाग, जिसमें हर शून्य नहीं हो सकता; सम मूल, जिनमें करणीगत राशि अऋणात्मक होनी चाहिए; और लघुगणक, जिनका कोणांक धनात्मक होना चाहिए। इनके बिना बना फलन, जैसे कोई भी बहुपद, अपने प्रांत में हर वास्तविक संख्या रखता है।

प्रांत और परिसर कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

फलन को $x$ के पदों में लिखें, जैसे (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) या log(x + 2)।
“प्रांत और परिसर निकालें” दबाएँ।
प्रतिबंधों की सूची और हर एक को हल करने का तरीका पढ़ें।
परिसर के चरणों को देखें, जो प्रांत के हर अंतराल पर फलन की जाँच करते हैं।
प्रांत और परिसर को अंतराल संकेतन में कॉपी करें।

सूत्र

हर

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

सम मूल

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

लघुगणक

\ln u(x):\; u(x) > 0

परवलय का शीर्ष

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

हल सहित उदाहरण: (x + 1)/(x − 2)

उदाहरण $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ का विश्लेषण करता है। एकमात्र प्रतिबंध यह है कि हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए $x = 2$ प्रांत से हटा दिया जाता है।

परिसर के लिए इंजन अंतराल के दोनों ओर अलग-अलग जाँच करता है। दोनों भागों पर फलन क्षैतिज अनंतस्पर्शी $y = 1$ के पास पहुँचता है पर कभी उसके बराबर नहीं होता, इसलिए परिसर से केवल मान 1 गायब है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

हमने आपका सवाल कैसे समझा

हर वह वास्तविक x निकालें जिसके लिए f(x) = (x + 1) / (x - 2) परिभाषित है (प्रांत) और हर वह मान जो यह लेता है (परिसर)।

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

फलन लिखें
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
प्रतिबंधों की सूची बनाएँ
हर (x - 2) का मान 0 नहीं हो सकता।
(x - 2) ≠ 0 हल करें
व्यंजक का चिह्न केवल 2 पर बदल सकता है। हर अंतराल में एक मान जाँचने से हल समुच्चय (-∞, 2) ∪ (2, ∞) मिलता है।
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
(-∞, 2) पर परिसर
जब x → -∞, f → 1; जब x → 2⁻, f → -∞। इस अंतराल के भीतर कोई मोड़ बिंदु नहीं है, इसलिए वहाँ f एकदिष्ट या अचर है। फलन इस अंतराल पर संतत है, इसलिए यह सबसे निचले (-∞, प्राप्त नहीं) और सबसे ऊँचे (1, प्राप्त नहीं) के बीच का हर मान लेता है।
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
(2, ∞) पर परिसर
जब x → 2⁺, f → ∞; जब x → ∞, f → 1। इस अंतराल के भीतर कोई मोड़ बिंदु नहीं है, इसलिए वहाँ f एकदिष्ट या अचर है। फलन इस अंतराल पर संतत है, इसलिए यह सबसे निचले (1, प्राप्त नहीं) और सबसे ऊँचे (∞, प्राप्त नहीं) के बीच का हर मान लेता है।
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
भागों को जोड़ें
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

प्रतिबंध
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

प्रांत सूत्र के हर प्रतिबंध को हल करके और हल समुच्चयों का सर्वनिष्ठ लेकर निकाला जाता है। परिसर सांतत्य से मिलता है: प्रांत के हर अंतराल पर फलन अपने चरम मानों और अंतराल के सिरों पर सीमाओं के बीच का हर मान लेता है।

जाँच

लगभग 4,000 नमूना बिंदुओं पर प्रांत जाँचा गया: f ठीक वहीं वास्तविक और परिमित है जहाँ प्रांत बताता है ✓
f का हर नमूना मान निकाले गए परिसर के भीतर है ✓

पूरी व्याख्या

प्रांत निकालना

सभी वास्तविक संख्याओं से शुरू करें और जो वर्जित है उसे हटाएँ। हर हर को शून्य के असमान रखें, वर्गमूल के भीतर के हर व्यंजक को शून्य से बड़ा या बराबर, और हर लघुगणक कोणांक को शून्य से बड़ा रखें, फिर परिणामों का सर्वनिष्ठ लें। $\sqrt{4 - x^2}$ के लिए शर्त $4 - x^2 \geq 0$ से $[-2, 2]$ मिलता है। $\frac{1}{x^2 - 4}$ के लिए दो बिंदु हटते हैं, इसलिए प्रांत तीन अंतरालों में बँट जाता है।

पहले सरल न करें। $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ घटकर $x + 1$ बनता है, लेकिन मूल फलन से $x = 1$ अब भी अपवर्जित है, और कैलकुलेटर प्रांत को उस खाली जगह के साथ बताता है।

परिसर निकालना

परिसर आलेख के आकार पर निर्भर करता है। परवलय का चरम मान शीर्ष पर होता है: $x^2 - 4x + 1$ का शीर्ष $x = 2$ पर है और मान $-3$ है, इसलिए परिसर $[-3, \infty)$ है। वर्गमूल शून्य से शुरू होकर बढ़ता है, इसलिए $\sqrt{x - 3}$ का परिसर $[0, \infty)$ है। लघुगणक हर वास्तविक मान लेता है, और $e^x$ हर धनात्मक मान लेता है।

परिमेय फलनों के लिए कैलकुलेटर भाग-दर-भाग काम करता है: वह देखता है कि फलन कहाँ बढ़ता या घटता है और हर अंतराल के सिरों पर किसके पास पहुँचता है। इसी तरह वह निकालता है कि $\frac{1}{x^2}$ का परिसर $(0, \infty)$ है और $\frac{x}{x^2 + 1}$ हमेशा $-\frac12$ और $\frac12$ के बीच रहता है। जब परिसर भरोसे से तय न हो सके, जैसा $\tan x$ के साथ होता है, तो कैलकुलेटर अनुमान लगाने के बजाय बताता है कि परिसर नहीं निकाला गया।

अंतराल संकेतन पढ़ना

वर्ग कोष्ठक अंत्य बिंदु को शामिल करता है और गोल कोष्ठक उसे बाहर रखता है; अनंत के साथ हमेशा गोल कोष्ठक आता है। चिह्न $\cup$ अलग-अलग भागों को जोड़ता है, इसलिए $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ का अर्थ है 2 को छोड़कर हर वास्तविक संख्या। परिणाम इस तरह लिखने से उन्हें आलेख से मिलाना आसान हो जाता है।

आम गलतियाँ

प्रांत निकालने से पहले परिमेय फलन को सरल करना और एक छिद्र खो देना।
वर्गमूल के लिए $> 0$ (शून्य अनुमत है) या लघुगणक के लिए $\geq 0$ (शून्य अनुमत नहीं है) लेना।
यह मान लेना कि प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं तो परिसर भी होगा।
भूल जाना कि क्षैतिज अनंतस्पर्शी परिसर से कोई मान बाहर कर सकती है।
अनंत के साथ वर्ग कोष्ठक लगाना।

सुझाव

कुछ भी हल करने से पहले हर हर, करणीगत राशि और लघुगणक कोणांक लिख लें।
परिसर की आँखों से पुष्टि के लिए आलेख कैलकुलेटर से फलन का रेखाचित्र बनाएँ।
द्विघात के लिए शीर्ष निकालें; परिसर उसके $y$ -मान से शुरू या खत्म होता है।
याद रखें कि $f$ का परिसर उसके प्रतिलोम का प्रांत बनता है।
किसी अंत्य बिंदु को फलन में रखकर उसकी जाँच करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी फलन का प्रांत कैसे निकालते हैं?

सभी वास्तविक संख्याओं से शुरू करें और वे मान हटाएँ जिनसे हर शून्य हो, सम मूल के भीतर ऋणात्मक संख्या आए या लघुगणक का कोणांक अधनात्मक हो। जो बचता है वही प्रांत है।

किसी फलन का परिसर कैसे निकालते हैं?

पता करें कि फलन वास्तव में किन निर्गत मानों तक पहुँचता है; इसके लिए प्रांत के हर भाग पर उसका शीर्ष, अनंतस्पर्शियाँ, बढ़ने-घटने का व्यवहार और सिरों का व्यवहार देखें।

बहुपद का प्रांत क्या है?

सभी वास्तविक संख्याएँ, जिन्हें (−∞, ∞) लिखा जाता है, क्योंकि बहुपदों में x से भाग, मूल या लघुगणक नहीं होते।

(x + 1)/(x − 2) के परिसर से 1 क्यों गायब है?

आलेख की y = 1 पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। (x + 1)/(x − 2) = 1 हल करने पर 1 = −2 आता है, जो असंभव है, इसलिए फलन कभी 1 नहीं देता।

अंतराल संकेतन में कोष्ठकों का क्या अर्थ है?

वर्ग कोष्ठक का अर्थ है कि अंत्य बिंदु शामिल है और गोल कोष्ठक का अर्थ है कि वह बाहर है। अनंत कभी शामिल नहीं होता, इसलिए उसके साथ हमेशा गोल कोष्ठक होता है।

क्या कैलकुलेटर त्रिकोणमितीय फलन सँभालता है?

हाँ, मूल स्थितियों में। यह निकालता है कि sin x का परिसर [−1, 1] है और tan x से π/2 जोड़ π के गुणज बाहर हैं, और जब परिसर नहीं निकाला जाता तो यह बताता है।

कैलकुलेटर में log का क्या अर्थ है?

log(x) प्राकृतिक लघुगणक है, इसलिए log(x + 2) का मान x > −2 के लिए परिभाषित है और यह हर वास्तविक मान लेता है।

अपने फलन का प्रांत और परिसर निकालें

ऊपर कोई फलन f(x) लिखें और हर प्रतिबंध, परिसर के चरण और अंतराल संकेतन में उत्तर देखें।

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