फलन संयोजन कैलकुलेटर

फलन संयोजन कैलकुलेटर के बारे में

संयोजन दो फलनों को इस तरह जोड़ता है कि एक का निर्गत दूसरे का निवेश बन जाता है। सरल सूत्रों से जटिल सूत्र इसी तरह बनते हैं: $\sqrt{x - 4}$ में 4 घटाने के बाद वर्गमूल लगाया जाता है, और $(2x - 3)^2 + 1$ में एक रैखिक प्रतिचित्रण के बाद वर्ग करके एक जोड़ा जाता है। इन परतों को पहचानना श्रृंखला नियम, प्रतिलोम फलनों और चरणों में होने वाली प्रक्रियाओं के प्रतिरूपण के लिए ज़रूरी है।

यह कैलकुलेटर एक फलन को दूसरे में प्रतिस्थापित करता है, परिणाम का विस्तार करके उसे सरल करता है, और संयुक्त फलन का प्रांत निकालता है, जिसमें भीतरी फलन से आए प्रतिबंध भी शामिल हैं। अगर आप कोई मान दें, तो यह वहाँ भीतर से बाहर की ओर संयोजन का मान भी निकालता है, ताकि आप देख सकें कि संख्या बारी-बारी से हर फलन से कैसे गुज़रती है।

फलन संयोजन क्या है?

$f$ और $g$ का संयोजन, जिसे $(f \circ g)(x)$ लिखते हैं, $f(g(x))$ के रूप में परिभाषित है: पहले $g$ लगाएँ, फिर परिणाम पर $f$ लगाएँ। दाईं ओर लिखा फलन पहले काम करता है, जो पढ़ने के क्रम का उलटा है।

संयोजन क्रमविनिमेय नहीं है। $f(x) = x^2$ और $g(x) = x + 1$ के लिए $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , जबकि $g(f(x)) = x^2 + 1$ । किसी फलन का स्वयं से भी संयोजन हो सकता है: $f \circ f$ में $f$ दो बार लगता है।

फलन संयोजन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

बाहरी फलन f(x) और दूसरा फलन g(x) लिखें, दोनों $x$ के पदों में।
संयोजन चुनें: f∘g, g∘f, f∘f या g∘g।
चाहें तो उस बिंदु पर संयुक्त फलन का मान निकालने के लिए $x$ का कोई मान लिखें।
प्रतिस्थापन, सरलीकृत परिणाम और उसका प्रांत देखने के लिए “संयोजन करें” दबाएँ।
उलटे क्रम से तुलना करके देखें कि परिणाम कैसे बदलता है।

सूत्र

परिभाषा

(f \circ g)(x) = f(g(x))

संयोजन का प्रांत

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

साहचर्यता

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

प्रतिलोम की जाँच

f(f^{-1}(x)) = x

हल सहित उदाहरण: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, x = 2 पर

उदाहरण $f(x) = x^2 + 1$ और $g(x) = 2x - 3$ लेकर $f \circ g$ बनाता है। $f$ में हर $x$ की जगह पूरा व्यंजक $2x - 3$ रखा जाता है, जिससे $(2x - 3)^2 + 1$ मिलता है, जिसका विस्तार $4x^2 - 12x + 10$ है।

उदाहरण $x = 2$ पर मान भी निकालता है। चरणों में $g(2) = 1$ और $f(1) = 2$ ; सरलीकृत सूत्र $16 - 24 + 10 = 2$ देता है, वही मान। दोनों फलन बहुपद हैं, इसलिए प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

हमने आपका सवाल कैसे समझा

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) निकालें और उसका मान ज्ञात करें।

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

स्टेप-बाय-स्टेप हल

फलन लिखें
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) का अर्थ है f(g(x)): f में हर x की जगह g(x) रखें
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
प्रतिस्थापित करें
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
विस्तार करें और समान पद मिलाएँ
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
प्रांत: x का g में अनुमत होना ज़रूरी है, और g(x) का f में अनुमत होना ज़रूरी है
$\text{प्रांत } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
x = 2 पर भीतर से बाहर की ओर मान निकालें: पहले g(2) = 1
$g(2) = 1$
फिर f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

संयोजन
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

संयोजन में g का निर्गत f में डाला जाता है। क्रम मायने रखता है: f∘g पहले g लगाता है और आम तौर पर g∘f से अलग होता है। प्रांत सरलीकरण से पहले निकाला जाता है, क्योंकि गुणनखंड काटने से वे मान छिप सकते हैं जिन्हें संयुक्त फलन स्वीकार नहीं कर सकता।

जाँच

जाँचा गया: नमूना बिंदुओं पर f(g(x)) और अंतिम सूत्र मेल खाते हैं।
जाँचा गया: सरलीकृत सूत्र भी x = 2 पर 2 देता है।

पूरी व्याख्या

सही प्रतिस्थापन

संयोजन का सबसे सुरक्षित तरीका है बाहरी फलन को $x$ की जगह खाली कोष्ठकों के साथ लिखना, जैसे $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , और फिर पूरे भीतरी व्यंजक को हर कोष्ठक में रखना। कोष्ठक मायने रखते हैं: $x^2$ में $x$ की जगह $2x - 3$ रखने से $(2x - 3)^2$ मिलता है, $2x - 3^2$ नहीं।

प्रतिस्थापन के बाद परिणाम का विस्तार करके समान पद इकट्ठे किए जाते हैं। कैलकुलेटर पहले बिना सरल किया प्रतिस्थापन दिखाता है ताकि आप उसकी तुलना अपने हल से कर सकें, फिर सरलीकृत रूप।

प्रांत निकालना

कोई निवेश $f \circ g$ के प्रांत में तभी है जब $g$ उसे स्वीकार करे और $f$ उसे स्वीकार करे जो $g$ देता है। $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = x - 4$ के लिए $g$ हर संख्या स्वीकार करता है, लेकिन $f$ को अऋणात्मक निवेश चाहिए, इसलिए $x - 4 \geq 0$ और प्रांत $[4, \infty)$ है।

भीतरी फलन के प्रतिबंध तब भी बने रहते हैं जब सरलीकरण उन्हें छिपा दे। $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$ के साथ संयुक्त फलन सरल होकर $x$ बनता है, फिर भी केवल $x \geq 0$ अनुमत है, क्योंकि पहले $g$ का परिभाषित होना ज़रूरी है। इसीलिए प्रांत केवल अंतिम सूत्र से नहीं, दोनों चरणों से निकाला जाता है।

संयोजन का उपयोग कहाँ होता है

कलन में श्रृंखला नियम किसी संयोजन का अवकलन करता है: $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ । इसके प्रयोग का पहला कदम भीतरी और बाहरी फलनों को पहचानना है। संयोजन इकाइयों के परिवर्तन, बार-बार होने वाले प्रतिशत परिवर्तन और आलेखों के रूपांतरण का भी वर्णन करता है: $f(x - 2)$ में $f$ का संयोजन दाईं ओर दो के खिसकाव के साथ है।

वियोजन इसका उलटा कौशल है: $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ दिया हो, तो भीतरी फलन $g(x) = 3x + 7$ और बाहरी फलन $f(x) = \sqrt{x}$ चुनें, ताकि $h = f \circ g$ । आम तौर पर एक से अधिक मान्य विकल्प होते हैं, और सबसे अच्छा वह विभाजन है जो अगला कदम, जैसे अवकलन या प्रतिलोम निकालना, सबसे आसान बना दे। कैलकुलेटर के साथ दोनों दिशाओं में अभ्यास करने से फलनों को परतों के रूप में देखने की आदत बनती है।

आम गलतियाँ

फलनों को गलत क्रम में लगाना; $f(g(x))$ में भीतरी फलन $g$ पहले काम करता है।
फलनों का संयोजन करने के बजाय उन्हें गुणा करना: $f(g(x))$ और $f(x)\,g(x)$ एक नहीं हैं।
प्रतिस्थापन करते समय कोष्ठक छोड़ देना, जिससे घातें और चिह्न बदल जाते हैं।
प्रांत केवल सरलीकृत सूत्र से लेना और भीतरी फलन के प्रतिबंध खो देना।
मान लेना कि $f \circ g = g \circ f$ ; दोनों क्रम जाँचें।

सुझाव

सरलीकृत संयुक्त फलन की जाँच के लिए किसी आसान संख्या पर चरणों में मान निकालें।
प्रतिस्थापन से पहले बाहरी फलन को खाली कोष्ठकों के साथ लिखें।
पहले भीतरी फलन की प्रांत-शर्तें लिखें, फिर बाहरी फलन की।
प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर का प्रयोग करें, फिर संयोजन करके पुष्टि करें कि $f(f^{-1}(x)) = x$ ।
श्रृंखला नियम से अवकलन करने से पहले भीतरी और बाहरी फलनों के नाम तय करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

f(g(x)) का क्या अर्थ है?

इसका अर्थ है पहले x पर g लगाएँ, फिर परिणाम पर f लगाएँ। संयुक्त फलन को f∘g लिखते हैं, और दाईं ओर वाला फलन हमेशा पहले काम करता है।

क्या f∘g और g∘f एक ही हैं?

आम तौर पर नहीं। f(x) = x² और g(x) = x + 1 के लिए f(g(x)) = (x + 1)², लेकिन g(f(x)) = x² + 1। कैलकुलेटर से आप दोनों क्रम निकाल सकते हैं।

संयुक्त फलन का प्रांत कैसे निकालते हैं?

भीतरी फलन द्वारा अनुमत निवेश लें, फिर केवल वे रखें जिनके निर्गत बाहरी फलन में अनुमत हों। भीतरी फलन के प्रतिबंध तब भी बने रहते हैं जब सरलीकृत सूत्र उन्हें छिपा दे।

क्या किसी फलन का स्वयं से संयोजन हो सकता है?

हाँ। f∘f या g∘g चुनें। f(x) = 2x + 1 के लिए f(f(x)) = 4x + 3, इसलिए f(f(3)) = 15।

संयोजन का श्रृंखला नियम से क्या संबंध है?

श्रृंखला नियम संयोजन का अवकलन करता है: f(g(x)) का अवकलज f′(g(x)) गुणा g′(x) है। भीतरी और बाहरी फलनों को पहचानना पहला कदम है।

क्या कैलकुलेटर किसी बिंदु पर संयुक्त फलन का मान निकालता है?

हाँ। x का कोई मान लिखें, और यह भीतर से बाहर की ओर मान निकालता है: पहले उस मान पर भीतरी फलन, फिर परिणाम पर बाहरी फलन। वही मान सरलीकृत सूत्र में रखने पर वही संख्या मिलनी चाहिए।

कैसे जाँचें कि दो फलन एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं?

दोनों क्रमों में उनका संयोजन करें। अगर संबंधित प्रांतों पर f(g(x)) और g(f(x)) दोनों सरल होकर x बनते हैं, तो फलन एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं।

दो फलनों का संयोजन करें

ऊपर f(x) और g(x) लिखें, क्रम चुनें और प्रतिस्थापन, सरलीकृत परिणाम और प्रांत चरण-दर-चरण देखें।

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