प्रतिलोम फलन: प्रतिलोम कैसे निकालें, आलेखित करें और जाँचें

प्रतिलोम फलन क्या करता है

फलन एक निवेश लेकर एक निर्गत देता है। उसका प्रतिलोम, जिसे $f^{-1}$ लिखा जाता है, प्रक्रिया को उलटा चलाता है: यह $f$ का एक निर्गत लेता है और वह निवेश लौटाता है जिससे वह बना था। अगर $f(a) = b$, तो $f^{-1}(b) = a$. एक के बाद दूसरा लागू करने पर आप वहीं लौट आते हैं जहाँ से शुरू किया था।

एक सरल रोज़मर्रा का उदाहरण तापमान रूपांतरण है। फलन $F = \frac{9}{5}C + 32$ सेल्सियस को फ़ारेनहाइट में बदलता है। इसका प्रतिलोम, $C = \frac{5}{9}(F - 32)$, वापस बदलता है। पहले में 37 डिग्री सेल्सियस डालने पर 98.6 डिग्री फ़ारेनहाइट मिलता है, और दूसरे में 98.6 डालने पर 37 वापस मिलता है।

संकेतन में सावधानी चाहिए। $f^{-1}$ में $-1$ घातांक नहीं है। प्रतिलोम फलन $f^{-1}(x)$ व्युत्क्रम $\frac{1}{f(x)}$ से अलग है। $f(x) = 2x$ के लिए प्रतिलोम $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$ है, लेकिन व्युत्क्रम $\frac{1}{2x}$ है।

प्रतिलोम कब अस्तित्व में होता है?

फलन को उलटना तभी संभव है जब हर निर्गत ठीक एक निवेश से आया हो। ऐसे फलन को एकैकी कहते हैं। अगर दो अलग निवेश एक ही निर्गत दें, तो यह जानने का कोई तरीका नहीं कि कौन-सा निवेश लौटाया जाए, इसलिए उस प्रांत पर कोई प्रतिलोम फलन नहीं होता।

फलन $f(x) = x^2$ सभी वास्तविक संख्याओं पर यह परीक्षण पास नहीं करता, क्योंकि $f(3) = f(-3) = 9$. 9 को पलटने के लिए कहा जाए, तो प्रतिलोम नहीं जानता कि 3 लौटाए या $-3$. आलेखीय रूप से यह क्षैतिज रेखा परीक्षण है: फलन ठीक तब एकैकी है जब कोई क्षैतिज रेखा उसके आलेख को एक से अधिक बार न काटे। रेखा $y = 9$ परवलय $y = x^2$ को दो बार काटती है, इसलिए परवलय असफल है।

जो फलन हमेशा वर्धमान या हमेशा ह्रासमान हों, वे अपने-आप पास हो जाते हैं। शून्येतर ढाल वाले रैखिक फलन, $x^3$, $e^x$ और $\ln x$ सभी अपने स्वाभाविक प्रांतों पर एकैकी हैं।

प्रतिलोम को बीजगणितीय रूप से कैसे निकालें

1. $f(x)$ को $y$ से बदलें।
2. हर जगह $x$ और $y$ की अदला-बदली करें।
3. नए समीकरण को $y$ के लिए हल करें।
4. $y$ को $f^{-1}(x)$ से बदलें और उसका प्रांत बताएँ, जो $f$ का परिसर है।

जब अदला-बदली के बाद $y$ एक से अधिक बार आए, तो $y$ वाले सभी पद एक पक्ष में इकट्ठा करें और $y$ बाहर निकालें, ठीक उदाहरण 3 की तरह।

प्रांत को सीमित करना

जो फलन एकैकी नहीं है, उसका भी प्रतिलोम हो सकता है, अगर आप उसके प्रांत को ऐसे हिस्से तक सीमित कर दें जहाँ वह एकैकी हो। वर्गमूल और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन इसी तरह परिभाषित होते हैं।

$f(x) = x^2$ को $x \ge 0$ तक सीमित करने पर परवलय का केवल दायाँ आधा बचता है, जो एकैकी है। इसका प्रतिलोम $x \ge 0$ के लिए $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ है। इसके बजाय $x \le 0$ चुनने पर $-\sqrt{x}$ मिलता।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन भी इसी तरह काम करते हैं। साइन एकैकी नहीं है, इसलिए $\arcsin x$ को $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ तक सीमित साइन के प्रतिलोम के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसीलिए $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$ है, न कि $\frac{5\pi}{6}$: उत्तर सीमित अंतराल में होना चाहिए।

चरघातांकी और लघुगणक

पूर्व-कलन में सबसे महत्वपूर्ण प्रतिलोम जोड़ी $e^x$ और $\ln x$ है: हर वास्तविक $x$ के लिए $\ln(e^x) = x$, और $x > 0$ के लिए $e^{\ln x} = x$. अधिक व्यापक रूप से, $\log_b x$ $b^x$ का प्रतिलोम है। लघुगणक की मार्गदर्शिका उनके सभी नियम इसी तथ्य से बनाती है।

प्रतिलोम फलनों के आलेख

क्योंकि प्रतिलोम निवेश और निर्गत की अदला-बदली करता है, $f$ के आलेख का हर बिंदु $(a, b)$ $f^{-1}$ के आलेख पर बिंदु $(b, a)$ बन जाता है। ज्यामितीय रूप से निर्देशांकों की अदला-बदली रेखा $y = x$ में परावर्तन है। इसलिए प्रतिलोम का आलेख उस विकर्ण रेखा के पार मूल आलेख का दर्पण प्रतिबिंब है।

इससे प्रतिलोम का रेखाचित्र बनाने का एक त्वरित तरीका और एक उपयोगी जाँच मिलती है: $e^x$ और $\ln x$ के आलेख एक-दूसरे के परावर्तन हैं, वैसे ही $x^3$ और $\sqrt[3]{x}$. विशेषताएँ भी अदल-बदल जाती हैं। $f$ की क्षैतिज अनंतस्पर्शी $f^{-1}$ की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी बन जाती है, जो ठीक उदाहरण 3 में हुआ। ग्राफ़िंग कैलकुलेटर पर दोनों फलनों को रेखा $y = x$ के साथ आलेखित करने से सममिति स्पष्ट दिखती है।

प्रतिलोम की पुष्टि

यह सिद्ध करने के लिए कि दो फलन प्रतिलोम हैं, उनका दोनों क्रमों में संयोजन करें और सरल करें। अगर संबंधित प्रांतों पर दोनों संयोजन $x$ के बराबर हों, तो फलन प्रतिलोम हैं। उदाहरण 3 के लिए:

एक तेज़ अनौपचारिक जाँच यह है कि एक निवेश चुनें, $f$ लागू करें, फिर अपना प्रतिलोम लागू करें और देखें कि निवेश वापस मिलता है या नहीं। इससे सूत्र सही होना सिद्ध नहीं होता, लेकिन ज़्यादातर गलतियाँ पकड़ी जाती हैं। संयोजन को फलनों का संयोजन की मार्गदर्शिका में अधिक विस्तार से समझाया गया है।

कलन में प्रतिलोम

अगर $f$ अवकलनीय और एकैकी है, तो किसी बिंदु पर प्रतिलोम की ढाल संगत बिंदु पर $f$ की ढाल का व्युत्क्रम होती है। अगर $f(a) = b$ और $f'(a) \neq 0$, तो:

$f(x) = x^3 + x$ के लिए $f(1) = 2$ और $f'(x) = 3x^2 + 1$, इसलिए $f'(1) = 4$ और $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. यह तब भी काम करता है जब $f^{-1}$ का सूत्र निकालना बहुत कठिन हो। इसी कारण $\ln x$ का अवकलज $\frac{1}{x}$ है, क्योंकि $\ln$ $e^x$ का प्रतिलोम है।

आम गलतियाँ

• $f^{-1}(x)$ को $\frac{1}{f(x)}$ मान लेना।
• $x$ और $y$ की अदला-बदली भूल जाना, जिससे केवल मूल फलन ही पुनर्व्यवस्थित होता है।
• जो फलन एकैकी नहीं है, उसका प्रांत सीमित किए बिना सूत्र निकालना।
• प्रांत सीमित करने के बाद वर्गमूल का गलत चिह्न चुनना।
• प्रतिलोम का प्रांत न बताना, जो मूल फलन के परिसर के बराबर होना चाहिए।

प्रतिलोम फलन कैलकुलेटर अदला-बदली और हल करने के चरण दिखाता है और संयोजन से परिणाम की जाँच करता है।

सारणियों से और अनुप्रयोगों में प्रतिलोम

आपको हमेशा सूत्र की ज़रूरत नहीं होती। अगर कोई सारणी एकैकी फलन दिखाती है, तो दोनों स्तंभों की अदला-बदली से उसका प्रतिलोम मिल जाता है। मान लीजिए एक डिलीवरी कंपनी वज़न के अनुसार शुल्क लेती है, और उसकी मूल्य सारणी बताती है कि 1 किलोग्राम के 6 डॉलर, 2 किलोग्राम के 9 डॉलर और 3 किलोग्राम के 12 डॉलर लगते हैं। प्रतिलोम सारणी उलटे प्रश्न का उत्तर देती है: ग्राहक ने जितना भुगतान किया, उससे पार्सल कितना भारी था? 9 डॉलर के भुगतान का अर्थ है 2 किलोग्राम। अगर दो वज़नों का मूल्य एक ही होता, तो उलटे प्रश्न का कोई एक उत्तर न होता; यही एकैकी शर्त व्यावहारिक रूप में है।

कई वास्तविक सूत्र दोनों दिशाओं में इस्तेमाल होते हैं। ऋण कैलकुलेटर उधार ली गई राशि से मासिक किस्त निकालता है, और उसका प्रतिलोम बताता है कि जितनी किस्त आप दे सकते हैं, उसके लिए कितना उधार ले सकते हैं। परोसों के हिसाब से बढ़ाई-घटाई गई रेसिपी को उलटकर जाना जा सकता है कि आटे की दी गई मात्रा से कितने परोसे बनेंगे। विज्ञान में अंशांकन वक्र ज्ञात सांद्रता को उपकरण के पाठ्यांक में बदलता है, और प्रतिलोम मापे गए पाठ्यांक को फिर सांद्रता में बदलता है। हर बार प्रतिलोम ठीक इसलिए उपयोगी है क्योंकि मूल संबंध महत्वपूर्ण मानों के परिसर पर एकैकी है।

प्रतिलोमों को इस तरह देखने से बीजगणितीय चरण भी स्वाभाविक लगते हैं। $x$ और $y$ की अदला-बदली बस यह कहने का संक्षिप्त तरीका है कि निवेश और निर्गत की भूमिकाएँ बदल दी गई हैं, और $y$ के लिए हल करना उलटे प्रश्न का उत्तर देना है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल