फलनों का संयोजन: f(g(x)) कैसे निकालें और इस्तेमाल करें

संयोजन का अर्थ

दो फलन $f$ और $g$ दिए हों, तो संयोजन $f \circ g$, जिसे "f संयोजित g" या "g का f" पढ़ा जाता है, वह फलन है जो पहले $g$ लागू करता है और फिर परिणाम पर $f$ लागू करता है:

लोगों को क्रम ही उलझाता है। दाईं ओर लिखा फलन, जो $x$ के सबसे पास है, पहले काम करता है। इसे एक असेंबली लाइन की तरह सोचें: $x$ मशीन $g$ में जाता है, उत्पाद $g(x)$ मशीन $f$ की ओर बढ़ता है, और $f(g(x))$ बाहर आता है। इसके काम करने के लिए $g$ का हर इस्तेमाल होने वाला निर्गत $f$ का स्वीकार्य निवेश होना चाहिए।

संयोजन गुणा से अलग है। गुणनफल $(fg)(x)$ का अर्थ $f(x) \cdot g(x)$ है, जो दो निर्गतों को गुणा करता है, जबकि $(f \circ g)(x)$ एक फलन को दूसरे में प्रतिस्थापित करता है। छोटा वृत्त चिह्न ही इन्हें अलग बताता है।

दो सूत्रों का संयोजन

$f(g(x))$ निकालने के लिए $f$ का सूत्र लें और उसमें हर $x$ को पूरे व्यंजक $g(x)$ से, कोष्ठक में, बदल दें। फिर सरल करें।

दोनों क्रम बिल्कुल अलग फलन देते हैं। सामान्यतः संयोजन क्रमविनिमेय नहीं है: $f \circ g$ और $g \circ f$ आमतौर पर अलग होते हैं, और आपको कभी नहीं मानना चाहिए कि वे बराबर हैं। फिर भी यह साहचर्य है, इसलिए $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, और तीन फलनों की शृंखला अंदर से बाहर की ओर निकाली जा सकती है।

प्रतिस्थापन करते समय आंतरिक फलन के चारों ओर हमेशा कोष्ठक लगाएँ। उनके बिना $g(x) = x^2$ के लिए $g(2x + 3)$ आसानी से $2x + 3^2$ बन जाता है, जो गलत है।

संख्याओं और सारणियों से संयोजन का मान निकालना

अक्सर आपको केवल एक मान चाहिए होता है। अंदर से बाहर की ओर काम करें: पहले आंतरिक फलन का मान निकालें, फिर उस परिणाम को बाहरी फलन के निवेश के रूप में इस्तेमाल करें। संयुक्त सूत्र निकालना ज़रूरी नहीं है।

मान लीजिए एक सारणी $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ और $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$ देती है। तब $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$, और $f(g(3)) = f(2) = -1$. अगर सारणी में $g$ से मिली संख्या पर $f$ का कोई मान न होता, तो वह संयोजन उस निवेश पर बस अपरिभाषित होता।

आलेख भी इसी तरह काम करते हैं। दो आलेखों से $f(g(3))$ निकालने के लिए $g$ के आलेख से $g(3)$ पढ़ें, फिर उस मान को $f$ के आलेख के x-अक्ष पर खोजें और निर्गत पढ़ें।

संयुक्त फलन का प्रांत

$f \circ g$ के प्रांत में ठीक वे निवेश $x$ होते हैं जो दो शर्तें पूरी करें: $x$ $g$ के प्रांत में हो, और $g(x)$ $f$ के प्रांत में हो। संयुक्त सूत्र को सरल करने से पहली शर्त छिप सकती है, इसलिए प्रांत मूल टुकड़ों से निकालें।

एक छोटा उदाहरण दिखाता है कि यह क्यों मायने रखता है। अगर $f(x) = x^2$ और $g(x) = \sqrt{x}$, तो $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, लेकिन केवल $x \ge 0$ के लिए। अकेला सूत्र $x$ सुझाता है कि हर वास्तविक संख्या चलेगी, जो गलत है। प्रांत और परिसर की मार्गदर्शिका यहाँ इस्तेमाल हुए अलग-अलग प्रतिबंधों को समझाती है।

फलन का विघटन

विघटन प्रक्रिया को उलटा चलाता है: एक जटिल फलन $h$ दिया हो, तो ऐसे सरल फलन खोजें जिनसे $h = f \circ g$ हो। ऐसा आंतरिक व्यंजक खोजें जिस पर कोई बाहरी संक्रिया लागू हो रही है।

• $h(x) = (3x - 1)^5$: आंतरिक $g(x) = 3x - 1$, बाहरी $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: आंतरिक $g(x) = x^2 + 4$, बाहरी $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: आंतरिक $g(x) = \sin x$, बाहरी $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: आंतरिक $g(x) = x + 2$, बाहरी $f(u) = \frac{1}{u^2}$, या तीन चरणों की शृंखला $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

विघटन अद्वितीय नहीं होते, लेकिन सबसे उपयोगी विघटन में आमतौर पर आंतरिक फलन सरल होता है। आंतरिक भाग को $u$ लिखना ठीक वही आदत है जिसकी ज़रूरत आपको शृंखला नियम और समाकलन में प्रतिस्थापन के लिए पड़ेगी।

कलन और प्रतिलोम फलनों में संयोजन

दो बड़े विषय संयोजन पर निर्भर हैं। पहला, शृंखला नियम संयुक्त फलन का अवकलन करता है: $f(g(x))$ का अवकलज $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ है। $(3x - 1)^5$ के लिए इससे $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$ मिलता है। अवकलन नियमों की मार्गदर्शिका इसे विस्तार से समझाती है।

दूसरा, दो फलन ठीक तब एक-दूसरे के प्रतिलोम होते हैं जब किसी भी क्रम में उनका संयोजन निवेश लौटा दे: उपयुक्त प्रांतों पर $f(f^{-1}(x)) = x$ और $f^{-1}(f(x)) = x$. $f(x) = 2x + 3$ और $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ के लिए $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$ मिलता है। प्रतिलोम की पुष्टि का यही मानक तरीका है, जैसा प्रतिलोम फलन में समझाया गया है।

एक वास्तविक उदाहरण: छूट और कूपन

एक दुकान 20 प्रतिशत छूट देती है और आपके पास 10 डॉलर की छूट वाला कूपन भी है। मान लें $d(p) = 0.8p$ मूल्य $p$ पर छूट लगाता है और $c(p) = p - 10$ कूपन लगाता है। क्रम मायने रखता है।

• पहले कूपन, फिर छूट: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• पहले छूट, फिर कूपन: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• 50 डॉलर की वस्तु के लिए पहले क्रम में 32 डॉलर लगते हैं और दूसरे में 30 डॉलर।

यहाँ प्रतिशत छूट पहले लगाने से हमेशा 2 डॉलर बचते हैं, क्योंकि तब कूपन प्रतिशत से घटता नहीं। ऐसी स्थितियाँ, जहाँ एक प्रक्रिया दूसरी में जाती है, संयोजन हैं, और ये दिखाती हैं कि $f$ और $g$ का क्रम केवल एक तकनीकी बारीकी नहीं है।

आम गलतियाँ

• फलनों को गलत क्रम में लागू करना: $f(g(x))$ में $g$ पहले काम करता है।
• प्रतिस्थापन के बजाय $f(x)$ को $g(x)$ से गुणा करना।
• कोष्ठक के बिना प्रतिस्थापन करना, खासकर घातों और ऋण चिह्नों में।
• प्रांत केवल सरल सूत्र से निकालना और आंतरिक फलन द्वारा बाहर किए गए मान छोड़ देना।
• यह मान लेना कि $f \circ g = g \circ f$.

आप फलन संयोजन कैलकुलेटर से दोनों क्रम और उनके प्रांत जाँच सकते हैं, जो प्रतिस्थापन का चरण स्पष्ट रूप से दिखाता है।

संयोजन में महारत क्यों सार्थक है

बीजगणित के बाद मिलने वाला लगभग हर फलन संयोजन से बनता है। ठंडे होते पेय के तापमान, झूलते लोलक की स्थिति या किसी निवेश के मूल्य का सूत्र आमतौर पर एक सरल बाहरी फलन होता है, जैसे चरघातांकी, साइन या घात, जो किसी सरल आंतरिक व्यंजक पर लागू होता है। इस संरचना को देख पाने से आप आलेख का आकार अनुमान लगा सकते हैं, यह जान सकते हैं कि फलन कहाँ परिभाषित है, और अवकलजों तथा समाकलों के लिए सही तकनीक चुन सकते हैं।

संयोजन आलेख रूपांतरणों को भी समझाता है। $f$ के आलेख को तीन इकाई दाईं ओर खिसकाने से $f(x - 3)$ बनता है, जो आंतरिक फलन $x - 3$ के साथ $f$ का संयोजन है। उसे ऊर्ध्वाधर रूप से 2 के गुणक से फैलाने पर $2f(x)$ बनता है, जो $f$ के साथ बाहरी फलन $2u$ का संयोजन है। इस दृष्टि से, कोष्ठक के अंदर लगाया गया रूपांतरण निवेश बदलता है और क्षैतिज रूप से काम करता है, जबकि बाहर लगाया गया रूपांतरण निर्गत बदलता है और ऊर्ध्वाधर रूप से काम करता है। यही एक अवलोकन समझाता है कि क्षैतिज खिसकाव उलटी दिशा में जाता क्यों लगता है।

उत्तर सहित अभ्यास प्रश्न

इन्हें काग़ज़ पर हल करें, फिर मिलान करें। हर प्रश्न ऊपर के खंडों का एक विचार इस्तेमाल करता है।

1. अगर $f(x) = x^2 + 1$ और $g(x) = x - 3$, तो $f(g(x))$ निकालें। उत्तर: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. उन्हीं फलनों से $g(f(x))$ निकालें। उत्तर: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. अगर $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = 4 - x$, तो $f(g(x))$ का प्रांत निकालें। उत्तर: $4 - x \ge 0$, इसलिए $(-\infty, 4]$.
4. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$ का विघटन करें। उत्तर: आंतरिक $x^2 + 1$, बाहरी $\ln u$.
5. अगर $f(x) = 3x - 2$, तो $f(f(2))$ निकालें। उत्तर: $f(2) = 4$ और $f(4) = 10$.

अगर पहले प्रश्न का आपका उत्तर $x^2 - 2$ था, तो आपने फलनों को गलत क्रम में लागू किया; वह दूसरे प्रश्न का उत्तर है। दोनों क्रमों को मिला देना सबसे आम गलती है, और $x = 0$ जैसी किसी संख्या से जाँचना इसे जल्दी पकड़ लेता है: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, जबकि $g(f(0)) = g(1) = -2$.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल