हल किए गए उदाहरणों के साथ अवकलज के नियम

सीमाओं के बजाय नियम क्यों

अवकलज को एक सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, और लेख अवकलज क्या है सरल फलनों के लिए इसी परिभाषा से गणना करता है। हर प्रश्न के लिए ऐसा करना कष्टदायक होगा। इसके बजाय गणितज्ञों ने एक बार सामान्य नियम सिद्ध कर दिए, और अब वही नियम बहुपदों, मूलों, चरघातांकी फलनों, लघुगणकों, त्रिकोणमितीय फलनों और इनके किसी भी संयोजन को सँभाल लेते हैं।

नियमों को दो समूहों में सोचें: मूल निर्माण-खंडों के अवकलज, और योग, गुणनफल, भागफल और संयोजन के माध्यम से खंडों को जोड़ने के नियम।

मूल नियम: अचर, घातें और योग

अचर कभी नहीं बदलता, इसलिए उसके परिवर्तन की दर शून्य है। घात नियम किसी भी वास्तविक घातांक $n$ के लिए काम करता है, केवल धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए नहीं, और इसी कारण यह पहली नज़र से कहीं अधिक उपयोगी है। अचर गुणज सीधे बाहर आ जाते हैं, और योग का अवकलज अवकलजों का योग होता है।

अवकलन से पहले मूलों को और उन भिन्नों को जिनके हर में $x$ है, घातों के रूप में फिर से लिखें। घात नियम की अधिकांश गलतियाँ यह चरण छोड़ने से होती हैं।

चरघातांकी, लघुगणकीय और त्रिकोणमितीय फलन

ये अवकलज याद रखने लायक हैं, क्योंकि हर बड़ा प्रश्न इन्हीं से बनता है:

फलन $e^x$ स्वयं अपना अवकलज है, इसी कारण $e$ पूरे कलन में दिखाई देता है। त्रिकोणमितीय नियमों के लिए कोण रेडियन में होना चाहिए; अंशों में $\frac{\pi}{180}$ का एक अतिरिक्त गुणक आ जाता है। शेष त्रिकोणमितीय अवकलज $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ और $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ हैं, और ये सभी नीचे दिए भागफल नियम से निकलते हैं।

गुणनफल नियम

गुणनफल का अवकलज अवकलजों का गुणनफल नहीं होता। इसका कारण समझने के लिए भुजाओं $f$ और $g$ वाले एक आयत की कल्पना करें। जब दोनों भुजाएँ थोड़ी बढ़ती हैं, तो क्षेत्रफल में एक भुजा के साथ $f' \cdot g$ आकार की पट्टी और दूसरी भुजा के साथ $f \cdot g'$ आकार की पट्टी जुड़ती है, साथ ही एक नन्हा कोना भी, जो सीमा में लुप्त हो जाता है।

भागफल नियम

यहाँ घटाव के कारण क्रम मायने रखता है। याद रखने का एक आम तरीका है: नीचे वाला गुणा ऊपर वाले का अवकलज, घटा ऊपर वाला गुणा नीचे वाले का अवकलज, सब भाग नीचे वाले का वर्ग, जहाँ ऊपर वाला अंश है और नीचे वाला हर।

इसे $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ पर लगाने से $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ मिलता है, जो ऊपर की तालिका की पुष्टि करता है।

शृंखला नियम

शृंखला नियम संयुक्त फलनों को, यानी फलनों के भीतर फलनों को, सँभालता है। यदि $y = f(g(x))$, तो:

शब्दों में: भीतरी भाग को वैसा ही छोड़ते हुए बाहरी फलन का अवकलन करें, फिर भीतरी भाग के अवकलज से गुणा करें। लाइबनिट्ज़ संकेतन में, $u = g(x)$ के साथ, यह $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ बनता है। दरें गुणा होती हैं: यदि $u$ का परिवर्तन $x$ से 3 गुना तेज़ हो और $y$ का परिवर्तन $u$ से 2 गुना तेज़ हो, तो $y$ का परिवर्तन $x$ से 6 गुना तेज़ होता है। भीतरी और बाहरी फलन पहचानने का कौशल फलनों का संयोजन में अभ्यास कराया गया है।

नियमों को मिलाना

वास्तविक प्रश्नों में नियम मिले-जुले होते हैं। बाहर से भीतर की ओर काम करें: तय करें कि व्यंजक की अंतिम संक्रिया कौन-सी है, उसका नियम लगाएँ, और फिर हर भाग को सँभालें।

जब $y$ को बिल्कुल भी अलग न किया जा सके, जैसे $x^2 + y^2 = 25$ में, तब भी शृंखला नियम अस्पष्ट अवकलन के माध्यम से काम करता है।

आम गलतियाँ

• शृंखला नियम में भीतरी अवकलज भूल जाना, उदाहरण के लिए $\sin(x^2)$ के अवकलज के रूप में $\cos(x^2)$ लिखना।
• गुणनफल के लिए गुणनफल नियम का उपयोग करने के बजाय अवकलजों को गुणा कर देना।
• भागफल नियम के अंश में क्रम उलट देना, जिससे चिह्न बदल जाता है।
• $e^x$ या $2^x$ पर घात नियम लगाना; ये चरघातांकी फलन हैं, घातें नहीं।
• त्रिकोणमितीय अवकलजों में अंशों का उपयोग करना।

उत्तर जाँचने के लिए अवकलज कैलकुलेटर हर चरण पर दिखाता है कि उसने कौन-सा नियम लगाया, और आलेखन कैलकुलेटर से आप वक्र की ढलान की तुलना अपने अवकलज के मानों से कर सकते हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज बीजगणितीय होते हैं, जो कई विद्यार्थियों को पहली बार देखने पर चौंकाता है। ये प्रतिलोम संबंध का अस्पष्ट अवकलन करने से मिलते हैं; उदाहरण के लिए, यदि $y = \arcsin x$ तो $\sin y = x$, और दोनों पक्षों का अवकलन करने पर $\cos y \cdot y' = 1$ मिलता है। चूँकि प्रतिलोम ज्या के परिसर पर $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ है, परिणाम निकल आता है:

ये दोनों परिणाम अवकलन से अधिक समाकलन में महत्त्वपूर्ण हैं, क्योंकि ये बताते हैं कि $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ जैसे समाकल प्रतिलोम स्पर्शज्या क्यों देते हैं।

उच्च कोटि के अवकलज

किसी अवकलज का अवकलन करने पर द्वितीय अवकलज मिलता है, और हर बार वही नियम लागू होते हैं। $y = x^4$ के लिए अवकलज क्रमशः $4x^3$, फिर $12x^2$, फिर $24x$, फिर 24 हैं, और उसके बाद का हर अवकलज 0 है। घात $n$ वाला बहुपद $n + 1$ अवकलनों के बाद हमेशा शून्य हो जाता है।

इसके विपरीत ज्या और कोज्या चक्र में घूमते हैं: $\sin x$ के अवकलज $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ और फिर से $\sin x$ हैं, जो हर चार चरणों पर दोहराए जाते हैं। चरघातांकी $e^x$ कभी बदलता ही नहीं। ये प्रतिरूप टेलर श्रेणी बनाने का आरंभ-बिंदु हैं, जो किसी एक बिंदु पर फलन के सभी अवकलजों का उपयोग करके उसका सन्निकटन करती है।

उत्तरों सहित अभ्यास प्रश्न

उत्तर पढ़ने से पहले हर प्रश्न स्वयं हल करके देखें। पहले तय करें कि सबसे बाहरी नियम कौन-सा है।

1. $\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$। उत्तर: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$।
2. $\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$। उत्तर: गुणनफल नियम से $x^2e^x(3 + x)$।
3. $\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$। उत्तर: शृंखला नियम से $-5\sin(5x + 1)$।
4. $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$। उत्तर: भागफल नियम से $\frac{1 - \ln x}{x^2}$।
5. $\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$। उत्तर: घात $\frac{1}{2}$ के साथ शृंखला नियम से $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$।

संदर्भ में नियम: एक-दूसरे पर निर्भर दरें

शृंखला नियम के कारण ही संबंधित दरों वाले प्रश्न हल हो पाते हैं। मान लीजिए किसी तालाब में एक वृत्ताकार लहर इस तरह फैलती है कि उसकी त्रिज्या 2 सेमी प्रति सेकंड की दर से बढ़ती है। क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है, और समय के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ मिलता है। जब त्रिज्या 10 सेमी हो, तब क्षेत्रफल $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ वर्ग सेंटीमीटर प्रति सेकंड की दर से बढ़ रहा होता है।

यही विचार दीवार से फिसलती सीढ़ी, फुलाए जा रहे गुब्बारे या सड़क की बत्ती से दूर जाते व्यक्ति की परछाईं के प्रश्नों का उत्तर देता है। हर स्थिति में आप राशियों को जोड़ने वाला एक समीकरण लिखते हैं, शृंखला नियम से हर पद का समय के सापेक्ष अवकलन करते हैं, और फिर जिस क्षण में आपकी रुचि है उसके मान प्रतिस्थापित करते हैं। अवकलन से पहले प्रतिस्थापित करना एक क्लासिक गलती है, क्योंकि इससे बदलती राशियाँ अचर बन जाती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल