टेलर श्रेणी: बहुपदों से फलनों का सन्निकटन

मूल विचार: अवकलजों का मिलान

बहुपदों के साथ काम करना सबसे आसान है। उनका मान केवल जोड़ और गुणा से निकाला जा सकता है, और उनका अवकलन या समाकलन सामान्य काम है। $e^x$, $\sin x$ और $\ln x$ जैसे फलनों की हाथ से गणना कहीं कठिन है। टेलर श्रेणी का विचार ऐसा बहुपद ढूँढना है जो चुने गए बिंदु $a$ के पास फलन जैसा ही व्यवहार करे।

किसी बिंदु से होकर सबसे अच्छी रेखा स्पर्श रेखा है, जो वहाँ फलन के मान और उसके प्रथम अवकलज से मेल खाती है। एक परवलय द्वितीय अवकलज से भी मेल खा सकता है, इसलिए वह वक्र के मुड़ने का अनुसरण करता है। एक त्रिघात बहुपद तृतीय अवकलज से भी मेल खा सकता है, और इसी तरह आगे। हर अतिरिक्त मेल खाता अवकलज बहुपद को बिंदु के आसपास और चौड़े हिस्से पर फलन से सटा देता है। इसे अनंत तक जारी रखने पर टेलर श्रेणी मिलती है।

टेलर श्रेणी का सूत्र

यह शर्त कि $a$ पर बहुपद का $n$वाँ अवकलज $f^{(n)}(a)$ के बराबर हो, $(x - a)^n$ के गुणांक को $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ होने पर बाध्य करती है। क्रमगुणित इसलिए आता है क्योंकि $(x - a)^n$ का $n$ बार अवकलन करने पर $n!$ मिलता है। पूरी श्रेणी है:

जब $a = 0$ हो, तो श्रेणी को मैक्लॉरिन श्रेणी कहते हैं, और घातें सीधे $x^n$ होती हैं। $(x - a)^n$ तक के पदों से बना बहुपद घात $n$ का टेलर बहुपद है, जिसे $P_n(x)$ लिखते हैं। केवल पहले दो पद स्पर्श रेखा सन्निकटन हैं, जिसे रैखिकीकरण भी कहते हैं।

e की घात x के लिए श्रेणी बनाना

$x = 1$ रखने पर स्वयं इस अचर का एक प्रसिद्ध सूत्र मिलता है: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, जो लगभग एक दर्जन पदों के बाद 2.71828 तक पहुँच जाता है, क्योंकि क्रमगुणित बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं।

जानने योग्य श्रेणियाँ

ये मैक्लॉरिन श्रेणियाँ बार-बार आती हैं, और अधिकांश दूसरी श्रेणियाँ इन्हीं से प्रतिस्थापन, गुणा, अवकलन या समाकलन द्वारा बनाई जा सकती हैं:

ज्या में केवल विषम घातें हैं, जो इस तथ्य से मेल खाता है कि यह विषम फलन है, और कोज्या में केवल सम घातें, जो उसकी सममिति से मेल खाता है। ज्या श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन करने पर कोज्या श्रेणी मिलती है, ठीक वैसे ही जैसे $\sin x$ का अवकलज $\cos x$ होना चाहिए।

जाँच के लिए, $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, जबकि वास्तविक मान $0.0998334$ है। केवल दो पद ही छह सही दशमलव स्थान दे देते हैं, इसी कारण कैलकुलेटर छोटे बहुपदों से त्रिकोणमितीय फलनों का मान इतनी जल्दी निकाल लेते हैं।

शून्य के अलावा किसी बिंदु के आसपास प्रसार

$a$ को उस निवेश के पास चुनने से जिसमें आपकी रुचि है, सन्निकटन कहीं तेज़ी से अभिसरित होता है। $\sqrt{4.1}$ का अनुमान लगाने के लिए $\sqrt{x}$ का प्रसार $a = 4$ के आसपास करें, जहाँ वर्गमूल आसान है।

त्रुटि कितनी बड़ी है?

टेलर प्रमेय टेलर बहुपद की त्रुटि बताती है। यदि $a$ और $x$ के बीच $|f^{(n+1)}| \le M$ हो, तो घात $n$ वाले पद के बाद का शेषफल यह शर्त पूरी करता है:

$n = 3$ के साथ $e^{0.5}$ के लिए, अंतराल पर चतुर्थ अवकलज $e^t \le e^{0.5} < 2$ है, इसलिए त्रुटि अधिकतम $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$ है। वास्तविक त्रुटि $0.0029$ इस सीमा के भीतर है। यह सीमा उलटी दिशा में भी उपयोगी है: गणना शुरू करने से पहले ही यह बता देती है कि किसी निश्चित शुद्धता की गारंटी के लिए कितने पद चाहिए।

ज्या और कोज्या जैसी एकांतर श्रेणियों के लिए इससे भी सरल अनुमान है: त्रुटि पहले छोड़े गए पद से बड़ी नहीं होती। इस नियम के पीछे के विचार श्रेणी अभिसरण परीक्षण में समझाए गए हैं।

श्रेणी कहाँ अभिसरित होती है

टेलर श्रेणी हमेशा हर जगह अपने फलन के बराबर नहीं होती। $\frac{1}{1 - x}$ की गुणोत्तर श्रेणी केवल $|x| < 1$ के लिए काम करती है; $x = 2$ पर बायाँ पक्ष $-1$ है, जबकि श्रेणी के पद बिना सीमा के बढ़ते जाते हैं। $x$ के जिन मानों पर श्रेणी अभिसरित होती है, उनका समुच्चय $a$ पर केंद्रित एक अंतराल होता है, और उसकी आधी चौड़ाई अभिसरण त्रिज्या कहलाती है। इसे आमतौर पर अनुपात परीक्षण से निकाला जाता है।

$e^x$, $\sin x$ और $\cos x$ की श्रेणियाँ हर वास्तविक $x$ के लिए अभिसरित होती हैं। $\ln(1 + x)$ की श्रेणी $-1 < x \le 1$ के लिए अभिसरित होती है; $x = 1$ पर यह चौंकाने वाला परिणाम $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ देती है, हालाँकि यह बहुत धीरे अभिसरित होती है।

टेलर श्रेणियाँ किस काम आती हैं

• फलनों का मान निकालना: कैलकुलेटर और सॉफ़्टवेयर टेलर बहुपदों से निकटता से जुड़े बहुपद सन्निकटनों का उपयोग करते हैं।
• सीमाएँ: $\sin x$ की जगह $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ रखने से लोपिताल नियम के बिना ही दिख जाता है कि $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$।
• ऐसे समाकल जिनका कोई प्रारंभिक प्रतिअवकलज नहीं: $e^{-x^2}$ की श्रेणी का पद-दर-पद समाकलन करने पर $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$ मिलता है, जो वास्तविक मान $0.7468$ के निकट है।
• भौतिकी: लोलकों के लिए प्रयुक्त लघु कोण सन्निकटन $\sin\theta \approx \theta$, ज्या श्रेणी का पहला पद है।
• ऑयलर का सूत्र $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, जो तीनों श्रेणियों की तुलना से निकलता है।

टेलर श्रेणी कैलकुलेटर किसी भी फलन का किसी भी बिंदु के आसपास चुनी गई कोटि तक प्रसार करता है और हर अवकलज दिखाता है। यहाँ अवकलन का कौशल ज़रूरी है, इसलिए अवकलज के नियम समझिए एक उपयोगी साथी है।

किसी भी टेलर बहुपद की विधि

1. केंद्र $a$ चुनें: उस जगह के पास का बिंदु जहाँ आपको मान चाहिए, और जहाँ फलन और उसके अवकलजों का मान निकालना आसान हो।
2. फलन का उतनी बार अवकलन करें जितनी घात आपको चाहिए, और हर अवकलज को सरल करें।
3. हर अवकलज का $a$ पर मान निकालें।
4. हर गुणांक पाने के लिए $n$वें मान को $n!$ से भाग दें।
5. बहुपद को $x$ की घातों में नहीं, बल्कि $(x - a)$ की घातों में लिखें, जब तक कि $a = 0$ न हो।
6. पहला गुणांक जाँचें: $P_n(a)$, $f(a)$ के बराबर होना चाहिए, और $a$ पर $P_n$ की प्रवणता $f'(a)$ के बराबर होनी चाहिए।

बार-बार अवकलन करने के बजाय किसी ज्ञात श्रेणी से नई श्रेणी बनाना अक्सर तेज़ होता है। उदाहरण के लिए, $e^x$ की श्रेणी में $x$ की जगह $-x^2$ रखने से तुरंत $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$ मिल जाता है, और ज्या श्रेणी को $x$ से गुणा करने पर $x\sin x$ की श्रेणी मिलती है।

आलेख पर सन्निकटनों को देखना

$\cos x$ को उसके घात 2, 4 और 6 वाले टेलर बहुपदों के साथ आलेखित करें, तो एक स्पष्ट पैटर्न दिखता है। घात 2 वाला बहुपद, जो नीचे की ओर खुला परवलय है, शून्य के पास कोज्या वक्र से अच्छी तरह मेल खाता है, पर लगभग एक इकाई के बाद दूर होने लगता है। घात 4 वाला बहुपद अधिक दूर तक पास रहता है, और घात 6 वाला बहुपद पहले उभार के अधिकांश भाग में वक्र का अनुसरण करता है। हर बहुपद अंततः अनंत की ओर भाग जाता है, क्योंकि कोई भी बहुपद हमेशा दोलन नहीं कर सकता, पर पद जोड़ने से यह अलगाव और दूर खिसकता जाता है, और व्यवहार में श्रेणी के अभिसरण का यही अर्थ है।

अंतर्ज्ञान विकसित करने का यह सबसे अच्छा तरीका है: केंद्र के पास सन्निकटन उत्कृष्ट होता है और दूरी के साथ बिगड़ता जाता है। आलेखन कैलकुलेटर किसी फलन और उसके कई टेलर बहुपदों को एक साथ आलेखित कर सकता है, ताकि आप उन्हें अभिसरित होते देख सकें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल