श्रेणी अभिसरण कैलकुलेटर

श्रेणी अभिसरण कैलकुलेटर के बारे में

यह तय करना कि कोई अनंत श्रेणी अभिसरित होती है या नहीं, एक कौशल है जो सही परीक्षण चुनने पर टिका है। कलन के पाठ्यक्रम इनमें से कम से कम सात सिखाते हैं: n-वाँ पद परीक्षण, गुणोत्तर श्रेणी, p-श्रेणी, तुलना और सीमा तुलना, अनुपात परीक्षण, मूल परीक्षण, समाकल परीक्षण और एकांतर श्रेणी परीक्षण। हर परीक्षण कुछ श्रेणियों पर शानदार काम करता है और दूसरों के बारे में कुछ नहीं बताता, और कठिन बात यह जानना है कि कौन-सा अपनाना है।

यह कैलकुलेटर परीक्षणों को एक निश्चित, समझदार क्रम में लगाता है और पहला ऐसा परीक्षण बताता है जो निश्चित उत्तर दे। वह गुणोत्तर श्रेणियाँ पहचानकर उनका सटीक योग निकालता है, जाँचता है कि पद शून्य की ओर जाते हैं या नहीं, एकांतर चिह्नों को सँभालता है, और धनात्मक पदों के लिए अनुपात परीक्षण, मूल परीक्षण, p-श्रेणी से तुलना, कोशी संघनन और समाकल परीक्षण आज़माता है। हर ज़रूरी सीमा सीमा-इंजन से निकाली जाती है, जो स्वयं को संख्यात्मक रूप से सत्यापित करता है।

जब कोई परीक्षण ऐसे गुणधर्म पर निर्भर हो जिसे प्रतीकात्मक रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता, जैसे पदों का अंततः ह्रासमान होना, तो कैलकुलेटर उसे कई नमूना सूचकांकों पर जाँचता है और यह साफ़-साफ़ बताता है। अगर कोई परीक्षण निर्णायक न हो, तो वह अनुमान लगाने के बजाय बताता है कि कौन-से परीक्षण आज़माए गए। एकांतर श्रेणियों के लिए वह निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण में भी भेद करता है।

श्रेणी के अभिसरित होने का क्या अर्थ है?

अनंत श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ अनंत रूप से अनेक पदों का योग है। इसे अर्थ देने के लिए आंशिक योग $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ देखें। अगर $N$ बढ़ने पर ये किसी परिमित सीमा $S$ के निकट पहुँचें, तो श्रेणी अभिसरित होती है और उसका योग $S$ है। अगर ये असीमित रूप से बढ़ें या दोलन करते रहें, तो श्रेणी अपसरित होती है।

अभिसरण सूक्ष्म है क्योंकि यह इस पर निर्भर करता है कि पद कितनी तेज़ी से घटते हैं, केवल इस पर नहीं कि वे घटते हैं या नहीं। $\sum \frac1n$ के पद शून्य की ओर जाते हैं, फिर भी आंशिक योग हर संख्या से आगे निकल जाते हैं, इसलिए हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है। $\sum \frac{1}{n^2}$ के पद बस थोड़ी अधिक तेज़ी से घटते हैं, और वह श्रेणी $\frac{\pi^2}{6}$ पर अभिसरित होती है।

अधिकांश श्रेणियों के लिए आप योग निकाले बिना अभिसरण तय कर सकते हैं, और योग का अक्सर कोई सरल बंद रूप होता भी नहीं। गुणोत्तर श्रेणियाँ मुख्य अपवाद हैं: जब भी सार्व अनुपात $|r| < 1$ को संतुष्ट करे, योग $\frac{a}{1-r}$ है, जहाँ $a$ पहला पद है।

श्रेणी अभिसरण कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सूचकांक के रूप में n लेकर व्यापक पद लिखें, उदाहरण के लिए 1/n^2, (-1)^(n+1)/n या 2^n/n!।
क्रमगुणित (n!), घातें, मूल, ln के लिए log के रूप में लिखे लघुगणक और (−1)^n, सभी समर्थित हैं।
आरंभिक सूचकांक लिखें, यानी योग में n का पहला मान। डिफ़ॉल्ट मान 1 है।
लगाए गए परीक्षण, निकाली गई सीमाएँ और निर्णय देखने के लिए “अभिसरण जाँचें” दबाएँ।
गुणोत्तर श्रेणियों के लिए सटीक योग अंतिम पंक्ति में पढ़ें।

सूत्र

गुणोत्तर श्रेणी

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

n-वाँ पद परीक्षण

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ अपसरित}

p-श्रेणी

\sum \frac{1}{n^p} \text{ अभिसरित} \iff p > 1

अनुपात परीक्षण

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ अभिसरित},\ L > 1 \text{ अपसरित}

मूल परीक्षण

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ अभिसरित},\ L > 1 \text{ अपसरित}

एकांतर श्रेणी परीक्षण

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ अभिसरित}

हल सहित उदाहरण: p-श्रेणी Σ 1/n²

नीचे का हल किया गया उदाहरण p-श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ के लिए सीधे निकाला जाता है। पद 0 की ओर जाते हैं, इसलिए n-वाँ पद परीक्षण अनिर्णायक है। फिर कैलकुलेटर अनुमान लगाता है कि पद कितनी तेज़ी से घटते हैं और उनकी तुलना $\frac{1}{n^2}$ से करता है; अनुपात की सीमा 1 है, जो एक धनात्मक परिमित संख्या है।

सीमा तुलना परीक्षण के अनुसार श्रेणी ठीक $p = 2$ वाली p-श्रेणी की तरह व्यवहार करती है, जो $p > 1$ होने के कारण अभिसरित होती है। निर्णय यह है कि श्रेणी अभिसरित होती है। इसका योग, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , ऑयलर ने 1734 में खोजा था, लेकिन अभिसरण उसे जाने बिना भी तय किया जा सकता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{अभिसरित} \approx 1.644934067

हमने आपका सवाल कैसे समझा

तय करें कि 1 से ∞) तक Σ 1 / n² (n अभिसरित होती है या अपसरित।

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

श्रेणी लिखें
n = 1, 2, 3, … के लिए Σ a(n), जहाँ a(n) = 1 / n^2। पहले पद: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
n-वाँ पद परीक्षण
lim a(n) = 0, इसलिए अपसरण परीक्षण से कोई निष्कर्ष नहीं निकलता; पद घटते तो हैं, इसलिए अधिक सूक्ष्म परीक्षण चाहिए।
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
p-श्रेणी से सीमा तुलना
धनात्मक पद: पद लगभग 1/n^2 की तरह घटते हैं (a(2N)/a(N)) से अनुमानित, इसलिए Σ 1/n^2 से तुलना करें: lim a(n)·n^2 = 1। सीमा एक धनात्मक परिमित संख्या है, इसलिए श्रेणी ठीक p-श्रेणी Σ 1/n^2 की तरह व्यवहार करती है, जो अभिसरित होती है क्योंकि p > 1।
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
योग का संख्यात्मक अनुमान लगाएँ
आंशिक योग S_N कई N के लिए निकाले गए और N → ∞ तक बहिर्वेशित किए गए (रिचर्डसन बहिर्वेशन; एकांतर पदों का पहले औसत लिया जाता है)। दो स्वतंत्र बहिर्वेशन 10⁻¹⁰ से बेहतर मेल खाते हैं और S ≈ 1.644934067 देते हैं। दिखाया गया बंद रूप एक संख्यात्मक पहचान है, प्रमाण नहीं।

इस्तेमाल किए गए सूत्र

n-वाँ पद (अपसरण) परीक्षण
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ अपसरित}$
p-श्रेणी
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ अभिसरित} \iff p > 1$

श्रेणी तब अभिसरित होती है जब उसके आंशिक योग किसी परिमित संख्या के निकट पहुँचें। इसके लिए पदों का 0 की ओर जाना ज़रूरी है, पर केवल इतना पर्याप्त नहीं (हरात्मक श्रेणी अपसरित होती है), इसलिए निर्णय के लिए तुलना, अनुपात, मूल, एकांतर या समाकल परीक्षण का उपयोग होता है।

जाँच

आंशिक योग (सहायक प्रमाण, उपपत्ति नहीं): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

पूरी व्याख्या

त्वरित परीक्षणों से शुरू करें

दो जाँचें हमेशा पहले करनी चाहिए क्योंकि वे तेज़ हैं। अगर श्रेणी गुणोत्तर है, तो अनुपात $r$ सब कुछ तय करता है: $|r| < 1$ होने पर वह अभिसरित होती है और योग तुरंत मिल जाता है। $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ के लिए पहला पद $a = -2$ और $r = -\frac23$ है, इसलिए योग $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ है।

इसके बाद n-वाँ पद परीक्षण। अगर पद शून्य की ओर नहीं जाते, तो श्रेणी अवश्य अपसरित होगी, क्योंकि आप ऐसी राशियाँ जोड़ते रहेंगे जो हमेशा एक निश्चित आकार की रहती हैं। $\sum \frac{n}{n+1}$ इसी तरह अपसरित होती है, क्योंकि उसके पद 1 की ओर जाते हैं। विलोम से सावधान रहें: शून्य की ओर जाते पद अभिसरण की गारंटी नहीं देते, जैसा हरात्मक श्रेणी दिखाती है।

अनुपात और मूल परीक्षण

अनुपात परीक्षण हर पद की तुलना उससे पहले वाले पद से करता है। अगर अनुपात $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ किसी सीमा $L < 1$ की ओर जाए, तो पद अंततः कम से कम किसी अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी जितनी तेज़ी से घटते हैं, इसलिए श्रेणी अभिसरित होती है। अगर $L > 1$ , तो पद बढ़ते हैं और श्रेणी अपसरित होती है। अगर $L = 1$ , तो परीक्षण अनिर्णायक है।

क्रमगुणितों और चरघातांकी पदों के लिए यह स्वाभाविक विकल्प है। $\sum \frac{2^n}{n!}$ के लिए अनुपात सरल होकर $\frac{2}{n+1}$ बनता है, जो 0 की ओर जाता है, इसलिए श्रेणी अभिसरित होती है। $\sqrt[n]{|a_n|}$ पर आधारित मूल परीक्षण इसी तरह का है और तब सबसे अच्छा काम करता है जब पूरा पद n-वीं घात पर हो। p-श्रेणियों और $n$ के परिमेय फलनों के लिए दोनों परीक्षण हमेशा $L = 1$ देते हैं, इसलिए वहाँ दूसरे औज़ार चाहिए।

p-श्रेणी से तुलना

जो पद $n$ की किसी घात की तरह व्यवहार करते हैं, उनकी तुलना $\sum \frac{1}{n^p}$ से करें, जो ठीक तभी अभिसरित होती है जब $p > 1$ । सीमा तुलना परीक्षण कहता है कि अगर $\frac{a_n}{b_n}$ किसी धनात्मक परिमित संख्या की ओर जाए, तो दोनों श्रेणियों का परिणाम एक ही होता है। कैलकुलेटर यह देखकर उचित $p$ का अनुमान लगाता है कि $n$ दोगुना होने पर पद कैसे बदलते हैं, और फिर वह सीमा सटीक रूप से निकालता है।

इस तरह $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ , $\sum \frac1n$ से तुलना द्वारा अपसरित होती है, जबकि $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है, क्योंकि $|\sin n| \le 1$ का अर्थ है कि उसके पद $\frac{1}{n^2}$ से परिबद्ध हैं।

लघुगणक: संघनन और समाकल परीक्षण

$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ जैसी लघुगणक वाली श्रेणियाँ ठीक उस सीमा-रेखा पर बैठती हैं जहाँ अनुपात, मूल और सरल तुलना परीक्षण विफल होते हैं। कोशी संघनन इन्हें सँभालता है: धनात्मक ह्रासमान पदों के लिए $\sum a_n$ ठीक तभी अभिसरित होती है जब $\sum 2^n a_{2^n}$ होती है। यहाँ संघनित श्रेणी के पद लगभग $\frac{1.4427}{n}$ हैं, जो हरात्मक श्रेणी का एक गुणज है, इसलिए मूल श्रेणी अपसरित होती है।

समाकल परीक्षण योग की तुलना $\int f(x)\,dx$ से करके इसी तरह के निष्कर्ष पर पहुँचता है, जहाँ $f(n) = a_n$ धनात्मक और ह्रासमान है। दोनों तकनीकें दिखाती हैं कि कोई श्रेणी कितनी धीरे अपसरित हो सकती है: $\sum \frac{1}{n \ln n}$ के आंशिक योग $\ln(\ln N)$ की तरह बढ़ते हैं, जो एक अरब पदों के बाद भी 4 से कम है।

एकांतर श्रेणियाँ और सप्रतिबंध अभिसरण

जब चिह्न एकांतर हों, तो निरसन मदद करता है। एकांतर श्रेणी परीक्षण कहता है कि अगर परिमाण $b_n$ घटते हुए शून्य तक पहुँचें, तो श्रेणी अभिसरित होती है। एकांतर हरात्मक श्रेणी $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ इस परीक्षण से $\ln 2$ पर अभिसरित होती है, जबकि $\sum \frac1n$ अपसरित होती है।

इस मेल को सप्रतिबंध अभिसरण कहते हैं। अगर निरपेक्ष मानों की श्रेणी भी अभिसरित हो, जैसे $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ के लिए, तो अभिसरण निरपेक्ष है, जो अधिक प्रबल है: निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणियों को योग बदले बिना पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जबकि सप्रतिबंध अभिसारी श्रेणियों को नहीं। कैलकुलेटर बताता है कि आपकी श्रेणी किस प्रकार की है।

आम गलतियाँ

यह निष्कर्ष निकालना कि श्रेणी अभिसरित होती है क्योंकि उसके पद शून्य की ओर जाते हैं।
अनुपात या मूल परीक्षण में $L = 1$ को निर्णय मान लेना; इसका अर्थ है कि परीक्षण अनिर्णायक है।
जब सूचकांक 0 के बजाय 1 से शुरू हो, तब गुणोत्तर योग में गलत पहला पद लेना।
परिमाणों के ह्रासमान होने की जाँच किए बिना एकांतर श्रेणी परीक्षण लगाना।
अनुक्रम $a_n$ के अभिसरण को श्रेणी $\sum a_n$ के अभिसरण से उलझा देना।
गलत दिशा में तुलना करना, जैसे किसी श्रेणी को ऊपर से किसी अपसारी श्रेणी से परिबद्ध करना।

सुझाव

पहले n-वाँ पद परीक्षण चलाएँ; यह कई अपसारी श्रेणियों को तुरंत निपटा देता है।
जब भी क्रमगुणित या $c^n$ दिखें, अनुपात परीक्षण अपनाएँ।
$n$ के परिमेय फलनों के लिए घातों की तुलना करें: श्रेणी $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ की तरह व्यवहार करती है।
जब लघुगणक आएँ, तो संघनन या समाकल परीक्षण अपनाएँ।
एकांतर श्रेणियों के लिए निरपेक्ष अभिसरण भी जाँचें, ताकि बता सकें कि वह किस प्रकार का है।
पहले कुछ आंशिक योग संख्यात्मक रूप से लिखें, ताकि अंदाज़ा मिले कि वे स्थिर हो रहे हैं या नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

कैलकुलेटर कौन-सा अभिसरण परीक्षण प्रयोग करता है?

वह उन्हें क्रम से आज़माता है: गुणोत्तर श्रेणी, n-वाँ पद परीक्षण, एकांतर श्रेणी परीक्षण, फिर धनात्मक पदों के लिए अनुपात परीक्षण, मूल परीक्षण, p-श्रेणी से सीमा तुलना, कोशी संघनन और समाकल परीक्षण। पहला निर्णायक परीक्षण बताया जाता है।

क्या यह श्रेणी का योग निकाल सकता है?

गुणोत्तर श्रेणियों के लिए यह सटीक योग देता है, जैसे n = 1 से Σ 3(−2/3)ⁿ के लिए −6/5। अन्य श्रेणियों के लिए यह केवल अभिसरण तय करता है, क्योंकि अधिकांश अभिसारी श्रेणियों के योग का कोई सरल बंद रूप नहीं होता।

अगर हरात्मक श्रेणी के पद शून्य की ओर जाते हैं, तो वह अपसरित क्यों होती है?

पद बहुत धीरे घटते हैं। उन्हें 1/2, फिर 1/3 + 1/4 > 1/2, फिर 1/5 + … + 1/8 > 1/2 इत्यादि समूहों में बाँटने से दिखता है कि आंशिक योग हर बार कम से कम 1/2 बढ़ते रहते हैं, इसलिए वे असीमित रूप से बढ़ते हैं।

निरपेक्ष और सप्रतिबंध अभिसरण में क्या अंतर है?

श्रेणी निरपेक्ष रूप से अभिसरित होती है अगर |aₙ| का योग अभिसरित हो। वह सप्रतिबंध अभिसरित होती है अगर वह केवल चिह्नों के निरसन के कारण अभिसरित हो, जैसे एकांतर हरात्मक श्रेणी।

क्रमगुणित और एकांतर चिह्न कैसे लिखूँ?

क्रमगुणित के लिए n! और एकांतर चिह्नों के लिए (-1)^n या (-1)^(n+1) लिखें, उदाहरण के लिए (-1)^(n+1)/n या 2^n/n!। प्राकृतिक लघुगणक के लिए log(n) लिखें।

क्या आरंभिक सूचकांक अभिसरण को प्रभावित करता है?

नहीं। योग कहाँ से शुरू हो, यह बदलने से परिमित संख्या में पद जुड़ते या हटते हैं, जिससे योग बदलता है लेकिन अभिसरण कभी नहीं। गुणोत्तर योग के लिए और 1/(n ln n) जैसे पदों के लिए, जो छोटे n पर अपरिभाषित हैं, यह मायने रखता है।

अगर कोई परीक्षण काम न करे तो क्या होता है?

कैलकुलेटर आज़माए गए परीक्षणों की सूची देता है और बताता है कि कोई भी निर्णायक नहीं था। वह कभी अनुमान नहीं लगाता। sin(n) जैसे दोलनशील पद, जिनकी सीमा तय नहीं की जा सकती, भी साफ़-साफ़ बताए जाते हैं।

p-श्रेणी क्या है?

Σ 1/nᵖ के रूप की श्रेणी। यह p > 1 होने पर अभिसरित और p ≤ 1 होने पर अपसरित होती है। यह तुलना परीक्षणों का मानक पैमाना है, और p = 1 वाली Σ 1/n हरात्मक श्रेणी है।

1/n² के लिए अनुपात परीक्षण विफल क्यों होता है?

अनुपात n²/(n + 1)², 1 की ओर जाता है, जो अनिर्णायक स्थिति है। यही हर p-श्रेणी के साथ होता है, इसीलिए ऐसे पदों के लिए कैलकुलेटर तुलना परीक्षणों पर आगे बढ़ता है।

अपनी श्रेणी का अभिसरण जाँचें

ऊपर व्यापक पद और आरंभिक सूचकांक लिखें, और निर्णायक परीक्षण, निकाली गई सीमाओं और निर्णय के साथ उत्तर पाएँ।

कैलकुलेटर इस्तेमाल करें AI सॉल्वर से पूछें