अस्पष्ट अवकलन कैलकुलेटर

अस्पष्ट अवकलन कैलकुलेटर के बारे में

कई वक्रों को साफ़-साफ़ $y = f(x)$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता। $x^2 + y^2 = 25$ जैसा वृत्त ऊर्ध्वाधर रेखा परीक्षण में विफल होता है, और डेकार्ट के फ़ोलियम $x^3 + y^3 = 6xy$ जैसे वक्र के लिए $y$ का कोई सुविधाजनक सूत्र ही नहीं है। फिर भी लगभग हर बिंदु पर उनकी ढाल मौजूद है, और अस्पष्ट अवकलन वह तकनीक है जो पहले $y$ के लिए हल किए बिना उसे निकालती है।

यह कैलकुलेटर विधि को ठीक वैसे ही चलाता है जैसे वह पढ़ाई जाती है। वह $y$ को $x$ का एक अज्ञात फलन मानता है, आपके समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करता है, और श्रृंखला नियम से $y$ वाले हर पद के साथ गुणनखंड $y'$ जोड़ता है। फिर वह $y'$ वाले पदों को एक पक्ष में इकट्ठा करता है, $y'$ को बाहर निकालता है और भाग देता है, जिससे $x$ और $y$ दोनों के पदों में $\frac{dy}{dx}$ का सूत्र मिलता है।

अगर आप वक्र पर कोई बिंदु दें, तो कैलकुलेटर उसे रखकर संख्यात्मक ढाल देता है और वहाँ स्पर्श रेखा का समीकरण लिखता है। अंतिम सूत्र को स्वतंत्र रूप से $-\frac{F_x}{F_y}$ से मिलाकर सत्यापित किया जाता है, जो आंशिक अवकलजों से अनुमानित परिणाम है, इसलिए आप अपने काम में उतारने से पहले उत्तर पर भरोसा कर सकते हैं।

अस्पष्ट अवकलन क्या है?

$x^2 + y^2 = 25$ जैसा समीकरण $y$ को अस्पष्ट रूप से परिभाषित करता है: यह $y$ को सीधे देने के बजाय $x$ और $y$ के बीच एक संबंध बताता है। वक्र के अधिकांश बिंदुओं के पास $y$ फिर भी $x$ के फलन की तरह व्यवहार करता है, भले ही आप वह फलन लिख न सकें। अस्पष्ट अवकलन उसी संबंध से उसका अवकलज निकालता है।

मुख्य तथ्य श्रृंखला नियम है। अगर $y$ , $x$ पर निर्भर है, तो $x$ के सापेक्ष $y^2$ का अवकलज $2y$ नहीं, बल्कि $2y \cdot \frac{dy}{dx}$ है। यही बात $\sin y$ , $e^y$ या $y$ के किसी भी अन्य व्यंजक पर लागू होती है: सामान्य रूप से अवकलन करें, फिर $y'$ से गुणा करें। जिन पदों में केवल $x$ हो, उनका सामान्य अवकलन होता है, और अचर गायब हो जाते हैं।

परिणाम में आम तौर पर $x$ और $y$ दोनों होते हैं, जैसे $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ । यह अपेक्षित और सही है। $x$ का एक ही मान वक्र के कई बिंदुओं से जुड़ा हो सकता है, और हर बिंदु पर ढाल अलग होती है, इसलिए सूत्र को यह जानने के लिए $y$ -निर्देशांक चाहिए कि आपका आशय किस बिंदु से है।

अस्पष्ट अवकलन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

x और y वाला एक समीकरण लिखें जिसमें एक ही बराबर का चिह्न हो, उदाहरण के लिए x^2 + y^2 = 25 या x^3 + y^3 = 6 x y।
अक्षरों के बीच गुणा के लिए रिक्त स्थान या * लिखें, यानी x और y के गुणनफल के लिए x y या x*y।
चाहें तो वक्र पर कोई बिंदु लिखें, जैसे x = 3, y = 4, ताकि वहाँ ढाल और स्पर्श रेखा मिले।
हर पक्ष का अवकलन, इकट्ठा किए गए y′ वाले पद और अंतिम सूत्र देखने के लिए “dy/dx निकालें” दबाएँ।
अगर आपने बिंदु दिया है, तो अंतिम चरणों से ढाल और स्पर्श रेखा का समीकरण पढ़ें।

सूत्र

y वाले पद के लिए श्रृंखला नियम

\frac{d}{dx}\big[g(y)\big] = g'(y)\,\frac{dy}{dx}

y के साथ गुणनफल नियम

\frac{d}{dx}\big[xy\big] = y + x\,\frac{dy}{dx}

आंशिक अवकलजों से संक्षिप्त सूत्र

F(x,y) = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}

(x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा

y - y_0 = m\,(x - x_0),\quad m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,\,y_0)}

हल सहित उदाहरण: (3, 4) पर x² + y² = 25

नीचे का हल किया गया उदाहरण बिंदु $(3, 4)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ के लिए सीधे निकाला जाता है। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर $2x + 2y\,y' = 0$ मिलता है; पद $2y\,y'$ श्रृंखला नियम से आता है। $2x$ को दूसरी ओर ले जाकर $2y$ से भाग देने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ मिलता है।

$(3, 4)$ पर ढाल $-\frac34 = -0.75$ है, इसलिए स्पर्श रेखा $y - 4 = -0.75(x - 3)$ है। ज्यामिति इसकी पुष्टि करती है: $(3, 4)$ तक की त्रिज्या की ढाल $\frac43$ है, और वृत्त की स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, इसलिए उसकी ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम $-\frac34$ होनी चाहिए।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y},\quad \text{बिंदु पर ढाल} = -0.75

हमने आपका सवाल कैसे समझा

अस्पष्ट रूप से परिभाषित वक्र के लिए dy/dx निकालें, y को x का अवकलनीय फलन मानते हुए।

{x}^{2}+{y}^{2} = 25

स्टेप-बाय-स्टेप हल

y को x का फलन मानें और दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करें
y वाले हर पद के लिए श्रृंखला नियम चाहिए: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′।
$\frac{d}{dx}\left[{x}^{2}+{y}^{2}\right] = \frac{d}{dx}\left[25\right]$
हर पक्ष के अवकलन का परिणाम
$2x + \left(2y\right) y' = 0$
y′ वाले पदों को एक पक्ष में इकट्ठा करें
y′ वाले सभी पद बाईं ओर और बाकी सब दाईं ओर ले जाएँ, फिर y′ को गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें।
$\left(2y\right) y' = -\left(2x\right)$
y′ को अलग करने के लिए भाग दें
$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
प्रतिस्थापित करें x = 3, y = 4
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(3,\,4)} = -0.75$
बिंदु पर स्पर्श रेखा
$y - 4 = -0.75\,(x - 3)$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

y के लिए श्रृंखला नियम
$\frac{d}{dx}\,g(y) = g'(y)\,\frac{dy}{dx}$
अस्पष्ट फलन का सूत्र
$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y},\quad F(x,y) = 0$

दोनों पक्षों का अवकलन करने से समीकरण संतुलित रहता है; चूँकि y, x पर निर्भर है, y वाला हर पद एक गुणनखंड y′ देता है, जिसके लिए फिर बीजगणितीय रूप से हल किया जाता है। परिणाम में आम तौर पर x और y दोनों होते हैं।

जाँच

कई नमूना बिंदुओं पर एक स्वतंत्र प्रतीकात्मक अवकलक के −F_x / F_y से मेल खाता है ✓
(3, 4) वक्र पर स्थित है ✓

पूरी व्याख्या

चार चरणों में विधि

पहला, दोनों पक्षों के हर पद का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें। दूसरा, जहाँ भी किसी पद में $y$ हो, उसके अवकलज को $y'$ से गुणा करें; जहाँ $x$ और $y$ का गुणा हो, वहाँ गुणनफल नियम लगाएँ। तीसरा, $y'$ वाले सभी पद एक ओर और बाकी सब दूसरी ओर ले जाएँ। चौथा, $y'$ को बाहर निकालें और जो बचे उससे भाग दें।

$x^3 + y^3 = 6xy$ पर लगाने से पहले दो चरण $3x^2 + 3y^2 y' = 6y + 6x y'$ देते हैं, क्योंकि दायाँ पक्ष एक गुणनफल है। पदों को इकट्ठा करने पर $(3y^2 - 6x)\,y' = 6y - 3x^2$ मिलता है, इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}$ । कैलकुलेटर ठीक यही क्रम दिखाता है।

श्रृंखला नियम से y′ क्यों आता है

$y$ को $y(x)$ समझें, एक ऐसा फलन जो आपको दिखता नहीं। तब $y^3$ वास्तव में एक संयुक्त फलन है, $y(x)$ का घन, और श्रृंखला नियम कहता है कि उसका अवकलज $3y(x)^2 \cdot y'(x)$ है। अस्पष्ट अवकलन उस भीतरी फलन पर लगाए गए साधारण श्रृंखला नियम के अलावा कुछ नहीं है जिसका सूत्र अज्ञात है।

इसीलिए $\frac{d}{dx}[\sin y] = \cos y \cdot y'$ और $\frac{d}{dx}[e^y] = e^y\,y'$ । समीकरण $\sin y = x$ का अवकलन करने पर $\cos y\,y' = 1$ मिलता है, इसलिए $y' = \frac{1}{\cos y}$ । चूँकि मुख्य शाखा पर यह वक्र $y = \arcsin x$ है, $\cos y$ को $\sqrt{1 - x^2}$ लिखते ही यह प्रतिलोम ज्या के अवकलज की एक त्वरित व्युत्पत्ति बन जाता है।

ढालें, स्पर्श रेखाएँ और विशेष बिंदु

सूत्र में कोई बिंदु रखने से वहाँ की ढाल मिलती है, लेकिन तभी जब बिंदु वास्तव में वक्र पर हो; इसलिए पहले जाँच लेना अच्छा है कि वह मूल समीकरण को संतुष्ट करता है। ढाल $m$ और बिंदु $(x_0, y_0)$ के साथ स्पर्श रेखा $y - y_0 = m(x - x_0)$ है।

सूत्र विशेष लक्षण भी खोजता है। क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ वहाँ होती हैं जहाँ $\frac{dy}{dx}$ का अंश शून्य हो और हर शून्य न हो। ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखाएँ वहाँ होती हैं जहाँ हर शून्य हो और अंश शून्य न हो; वृत्त पर ऐसा $(\pm 5, 0)$ पर होता है, जहाँ $y = 0$ । अगर अंश और हर दोनों शून्य हों, जैसे फ़ोलियम पर मूलबिंदु में, तो वक्र स्वयं को काट सकता है और ढाल की अलग से जाँच करनी पड़ती है।

आंशिक अवकलजों से संक्षिप्त तरीका

सब कुछ एक ओर ले जाने से वक्र $F(x, y) = 0$ के रूप में लिखा जाता है। तब बहुचर कलन सूत्र $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ देता है, जहाँ $F_x$ और $F_y$ आंशिक अवकलज हैं। $x^2 + xy + y^2 = 7$ के लिए $F_x = 2x + y$ और $F_y = x + 2y$ , इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}$ , जो $(1, 2)$ पर $-0.8$ है।

कैलकुलेटर इस सूत्र का उपयोग चरण-दर-चरण परिणाम की स्वतंत्र जाँच के लिए करता है। आप भी इसे इसी तरह इस्तेमाल कर सकते हैं: जब आपकी हाथ से की गई गणना और संक्षिप्त सूत्र मेल खाएँ, तो आप उत्तर पर भरोसा कर सकते हैं।

यह तकनीक आगे कहाँ काम आती है: संबंधित दरें

अस्पष्ट अवकलन संबंधित दरों के प्रश्नों का इंजन है। जब कोई सीढ़ी दीवार से नीचे फिसलती है, तो उसका निचला और ऊपरी सिरा हर क्षण $x^2 + y^2 = L^2$ को संतुष्ट करते हैं, और दोनों निर्देशांक समय पर निर्भर हैं। $x$ के बजाय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$ मिलता है, जो निचले सिरे की चाल को ऊपरी सिरे की चाल से जोड़ता है।

ढर्रा ठीक इस पृष्ठ वाला ही है: संबंध का अवकलन करें, बदलने वाली हर राशि पर श्रृंखला नियम लगाएँ, और वांछित दर के लिए हल करें। यही लघुगणकीय अवकलन का भी आधार है, जिसमें आप $y = x^x$ के दोनों पक्षों का $\ln$ लेते हैं और $\ln y = x \ln x$ का अस्पष्ट अवकलन करके $y' = x^x(\ln x + 1)$ पाते हैं।

आम गलतियाँ

$y^2$ का अवकलज $2y$ लिखना और गुणनखंड $y'$ भूल जाना।
मिश्रित पदों पर गुणनफल नियम छोड़ देना, जिससे $\frac{d}{dx}[xy]$ को केवल $y'$ या $xy'$ लिख दिया जाता है।
दाएँ पक्ष के अचर का ऐसे अवकलन करना मानो वह चर हो, जबकि उससे 0 मिलना चाहिए।
ऐसे व्यंजक से भाग देना जो वांछित बिंदु पर शून्य हो, जिससे ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा छिप जाती है।
ऐसा बिंदु रखना जो मूल समीकरण को संतुष्ट नहीं करता।
बिना ज़रूरत पहले $y$ के लिए हल करना, जिससे अक्सर चिह्न की अस्पष्टता वाले वर्गमूल बनते हैं।

सुझाव

हर $y'$ को लिखते समय घेर लें या चिह्नित कर लें, ताकि पद इकट्ठा करते समय कोई छूट न जाए।
अगर इससे गुणनफल नियम वाले पद कम होते हों, तो अवकलन से पहले गुणनफलों का विस्तार कर लें।
अपने परिणाम की त्वरित जाँच के लिए $-\frac{F_x}{F_y}$ का उपयोग करें।
अंतिम भिन्न को 2 या 3 जैसे उभयनिष्ठ गुणनखंड काटकर सरल करें।
स्पर्श रेखा निकालने से पहले पुष्टि करें कि आपका बिंदु वक्र पर है।
द्वितीय अवकलज के लिए $y'$ का फिर से अस्पष्ट अवकलन करें और प्रथम अवकलज का सूत्र रखें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अस्पष्ट अवकलन का उपयोग कब करना चाहिए?

जब भी y किसी ऐसे समीकरण से x से बँधा हो जिसे y के लिए हल करना कठिन या असंभव हो, जैसे x³ + y³ = 6xy, या जब हल करने से वक्र कई शाखाओं में बँट जाए, जैसे वृत्तों और दीर्घवृत्तों में।

dy/dx में x के साथ y भी क्यों है?

अस्पष्ट वक्र पर x का एक मान कई बिंदुओं से जुड़ा हो सकता है, जिनकी अपनी-अपनी ढाल होती है। सूत्र में y बताता है कि आपका आशय किस बिंदु से है। वृत्त के लिए −x/y बिंदु (3, 4) पर −0.75 और (3, −4) पर +0.75 देता है।

ढाल के लिए बिंदु कैसे लिखूँ?

वैकल्पिक खाने में दोनों निर्देशांक लिखें, उदाहरण के लिए x = 3, y = 4। कैलकुलेटर उन्हें dy/dx में रखता है और स्पर्श रेखा को बिंदु-ढाल रूप में लिखता है।

क्या यह sin y या e^y वाले समीकरणों का अवकलन कर सकता है?

हाँ। x और y का कोई भी अवकलनीय व्यंजक इस्तेमाल किया जा सकता है। sin y और e^y जैसे पदों को श्रृंखला नियम से गुणनखंड y′ मिलता है, इसलिए sin y = x से dy/dx = 1/cos y मिलता है।

अगर dy/dx का हर शून्य हो तो इसका क्या अर्थ है?

ऐसे बिंदु पर स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर होती है, बशर्ते अंश भी शून्य न हो। x² + y² = 25 पर ऐसा (5, 0) और (−5, 0) पर होता है।

क्या अस्पष्ट अवकलन आंशिक अवकलजों के उपयोग जैसा ही है?

दोनों एक ही उत्तर देते हैं। चरण-दर-चरण विधि सीधे श्रृंखला नियम का उपयोग करती है, जबकि सूत्र dy/dx = −F_x/F_y, F(x, y) के आंशिक अवकलजों का। कैलकुलेटर पहला तरीका दिखाता है और दूसरे से जाँच करता है।

क्या इस कैलकुलेटर से d²y/dx² निकाल सकता हूँ?

कैलकुलेटर प्रथम अवकलज देता है। द्वितीय के लिए dy/dx के सूत्र का भागफल नियम से फिर अवकलन करें, यह याद रखते हुए कि y अब भी x पर निर्भर है, और आने वाले हर y′ की जगह प्रथम अवकलज का व्यंजक रखें।

समीकरण में कौन-से अक्षर होने चाहिए?

समीकरण x और y में लिखा होना चाहिए, जिसमें y को आश्रित चर माना जाता है। अन्य अक्षर समर्थित नहीं हैं, और कैलकुलेटर उनकी भूमिका का अनुमान लगाने के बजाय यही बताता है।

क्या अवकलन से पहले y के लिए हल करना ज़रूरी है?

नहीं, और आम तौर पर न करना ही बेहतर है। x² + y² = 25 को y के लिए हल करने पर ±√(25 − x²) मिलता है, यानी असुविधाजनक वर्गमूलों वाले दो अलग फलन। मूल समीकरण का अवकलन वृत्त के दोनों आधे भागों को एक साथ सँभाल लेता है।

अपना dy/dx निकालें

ऊपर x और y में समीकरण लिखें, चाहें तो कोई बिंदु जोड़ें, और हर चरण के साथ अवकलज, ढाल और स्पर्श रेखा पाएँ।

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