अस्पष्ट अवकलन, चरण-दर-चरण

स्पष्ट और अस्पष्ट समीकरण

स्पष्ट समीकरण $y$ को सीधे $x$ के सूत्र के रूप में देता है, जैसे $y = x^2 + 1$। लेकिन कई महत्वपूर्ण वक्र अस्पष्ट रूप में, $x$ और $y$ को जोड़ने वाले किसी समीकरण से, दिए जाते हैं। वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ एक जाना-पहचाना उदाहरण है। इसे $y$ के लिए हल करने पर दो फलन मिलते हैं, ऊपरी आधे भाग के लिए $y = \sqrt{25 - x^2}$ और निचले के लिए $y = -\sqrt{25 - x^2}$, और हर एक का अलग-अलग अवकलन करना असुविधाजनक है।

कुछ वक्रों को साधारण बीजगणित से $y$ के लिए हल किया ही नहीं जा सकता, जैसे $x^3 + y^3 = 6xy$ या $e^y + xy = e$। फिर भी उनके आलेखों पर लगभग हर बिंदु पर स्पर्श रेखाएँ होती हैं, और अस्पष्ट अवकलन ही वह औज़ार है जो उनकी प्रवणताएँ निकालता है। यह विधि पूरी तरह शृंखला नियम पर टिकी है, इसलिए यदि वह नियम कमज़ोर लगे तो पहले अवकलज के नियम समझिए दोहरा लेना अच्छा है।

चार चरणों में विधि

1. समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें।
2. जब भी आप $y$ वाले किसी व्यंजक का अवकलन करें, $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करें, क्योंकि $y$, $x$ का फलन है और शृंखला नियम लागू होता है।
3. $\frac{dy}{dx}$ वाले सभी पदों को एक ओर और बाकी सब को दूसरी ओर इकट्ठा करें।
4. $\frac{dy}{dx}$ को उभयनिष्ठ निकालें और भाग देकर उसे अलग करें।

चरण 2 के पीछे मुख्य तथ्य शृंखला नियम की यह सर्वसमिका है, जहाँ $f$ कोई भी अवकलनीय फलन है:

इसलिए $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ और $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$। $xy$ जैसे गुणनफलों के लिए गुणनफल नियम भी चाहिए: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$।

उदाहरण: वृत्त

ध्यान दें कि अस्पष्ट उत्तर दोनों आधे भागों के लिए एक साथ काम करता है: $(3, -4)$ पर प्रवणता $+\frac{3}{4}$ है। सूत्र यह भी बताता है कि स्पर्श रेखाएँ कहाँ क्षैतिज हैं, जब $x = 0$, यानी $(0, 5)$ और $(0, -5)$ पर, और कहाँ ऊर्ध्वाधर हैं, जब $y = 0$, यानी $(5, 0)$ और $(-5, 0)$ पर। उत्तर में $x$ के साथ $y$ भी है, जो अस्पष्ट अवकलजों में सामान्य है; संख्या पाने के लिए आपको केवल $x$ का मान नहीं, बल्कि वक्र पर एक बिंदु चाहिए।

ऐसे उदाहरण जिन्हें y के लिए हल नहीं किया जा सकता

द्वितीय अवकलज

$\frac{d^2y}{dx^2}$ निकालने के लिए प्रथम अवकलज का फिर से अस्पष्ट अवकलन करें, और फिर प्रथम अवकलज को वापस प्रतिस्थापित करें। वृत्त के लिए $y' = -\frac{x}{y}$ से शुरू करें और भागफल नियम लगाएँ:

अंतिम चरण सरल करने के लिए मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ का उपयोग करता है, यह युक्ति अक्सर काम आती है। परिणाम ऊपरी आधे भाग पर, जहाँ $y > 0$, ऋणात्मक है, इसलिए वहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है, और निचले आधे भाग पर धनात्मक है, जो वृत्त के चित्र से मेल खाता है।

प्रतिलोम फलनों के अवकलज निकालना

अस्पष्ट अवकलन बताता है कि प्रतिलोम फलनों के अवकलज कहाँ से आते हैं। मान लीजिए $y = \arctan x$। तब $\tan y = x$। अवकलन करने पर $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$ मिलता है, इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$।

यही तरीका $y = \ln x$ के साथ, जिसे $e^y = x$ के रूप में लिखा जाता है, $e^y\frac{dy}{dx} = 1$ देता है, इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$। सामान्य रूप में, प्रतिलोम फलन की प्रवणता संगत बिंदु पर मूल प्रवणता का व्युत्क्रम होती है, जैसा कि प्रतिलोम फलनों पर हमारे लेख में बताया गया है।

संबंधित दरें

जब चर समय पर निर्भर हों, तो यही विचार $x$ के बजाय $t$ के सापेक्ष काम करता है। हर चर की अपनी दर होती है।

आम गलतियाँ

• $y$ वाले पद का अवकलन करते समय $\frac{dy}{dx}$ गुणक भूल जाना।
• गुणनफल नियम लगाने के बजाय $xy$ को एक ही चर मान लेना।
• दाएँ पक्ष के अचर का ऐसे अवकलन करना मानो वह चर हो; अचरों का अवकलज 0 होता है।
• अवकलन से पहले संख्याएँ प्रतिस्थापित कर देना, जिससे बदलती राशियाँ जम जाती हैं।
• ऐसे बिंदु का उपयोग करना जो वास्तव में वक्र पर नहीं है। हमेशा पहले बिंदु की जाँच करें।

अस्पष्ट अवकलन कैलकुलेटर हर चरण पूरा करता है, अवकलज वाले पदों को इकट्ठा करता है और किसी बिंदु पर प्रवणता का मान निकाल सकता है। स्पष्ट फलनों के लिए अवकलज कैलकुलेटर का उपयोग करें।

यह विधि मान्य क्यों है

अस्पष्ट अवकलन यह मानकर चलता है कि जिस बिंदु में हमारी रुचि है उसके पास वक्र वास्तव में किसी अवकलनीय फलन $y(x)$ का आलेख है, भले ही हम उस फलन को लिख न सकें। उसे समीकरण में रखने से समीकरण $x$ में एक सर्वसमिका बन जाता है, जो उस बिंदु के पास हर $x$ के लिए सत्य है। जो दो व्यंजक हर $x$ के लिए बराबर हों, उनके अवकलज भी बराबर होने चाहिए, इसी कारण हम दोनों पक्षों का अवकलन कर सकते हैं।

यह मान्यता केवल विशेष बिंदुओं पर विफल होती है, जैसे जहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर हो या जहाँ वक्र स्वयं को काटता हो। देकार्त का फ़ोलियम मूलबिंदु पर स्वयं को काटता है, और वहाँ अवकलज का सूत्र $\frac{0}{0}$ देता है। ऐसे बिंदुओं पर वक्र स्थानीय रूप से किसी एक फलन का आलेख नहीं होता, इसलिए उसकी कोई एक प्रवणता नहीं होती। बहुचर कलन में आने वाली अस्पष्ट फलन प्रमेय ठीक-ठीक बताती है कि यह मान्यता कब सुरक्षित है।

आंशिक अवकलजों से एक छोटा रास्ता

यदि वक्र $F(x, y) = 0$ के रूप में लिखा हो, तो इसी तर्क से प्रवणता का एक संक्षिप्त सूत्र निकलता है:

यहाँ $F_x$ और $F_y$ आंशिक अवकलज हैं, जो एक चर के सापेक्ष अवकलन करते हुए दूसरे को अचर मानकर निकाले जाते हैं। वृत्त के लिए $F = x^2 + y^2 - 25$ से $F_x = 2x$ और $F_y = 2y$ मिलते हैं, इसलिए प्रवणता पहले की तरह $-\frac{x}{y}$ है। आंशिक अवकलज कैलकुलेटर आपके लिए $F_x$ और $F_y$ की गणना करता है।

उत्तरों सहित अभ्यास प्रश्न

1. $x^2 - y^2 = 9$। उत्तर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$।
2. $xy = 12$, $(3, 4)$ पर प्रवणता। उत्तर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, जो वहाँ $-\frac{4}{3}$ है।
3. $y^3 + y = x$। उत्तर: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, जो हमेशा धनात्मक है, इसलिए वक्र हमेशा ऊपर उठता है।
4. $\cos y = x$। उत्तर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, जिससे प्रतिलोम कोज्या का अवकलज मिलता है।

हर प्रश्न के लिए वक्र पर एक बिंदु चुनकर, पास के किसी बिंदु से प्रवणता का संख्यात्मक अनुमान लगाकर और तुलना करके अपना उत्तर जाँचें।

अस्पष्ट वक्र कहाँ दिखते हैं

व्यवहार में अस्पष्ट समीकरण आम हैं। दीर्घवृत्त और अतिपरवलय जैसे शंकु-परिच्छेद स्वाभाविक रूप से अस्पष्ट रूप में लिखे जाते हैं। अर्थशास्त्र में अनधिमान वक्र दो वस्तुओं की उन मात्राओं को जोड़ता है जो उपभोक्ता को समान संतुष्टि देती हैं, और अस्पष्ट रूप से निकाली गई उसकी प्रवणता वह दर है जिस पर उपभोक्ता एक वस्तु के बदले दूसरी लेने को तैयार है। ऊष्मागतिकी में अवस्था समीकरण दाब, आयतन और ताप को जोड़ते हैं, और अस्पष्ट अवकलन बताता है कि एक के बदलने पर दूसरा कैसे बदलता है। जब भी दो राशियाँ किसी सूत्र के बजाय किसी नियम से बंधी हों, यह विधि उनके परिवर्तन की दर देती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल