अवकलज क्या है? एक स्पष्ट परिचय

औसत दर से तात्क्षणिक दर तक

यदि कोई कार 2 घंटे में 120 किमी चलती है, तो उसकी औसत चाल 60 किमी प्रति घंटा है। यह संख्या किसी विशेष क्षण पर स्पीडोमीटर में दिखी चाल के बारे में कुछ नहीं बताती, जो ट्रैफ़िक सिग्नल पर 0 और राजमार्ग पर 100 रही हो सकती है। अवकलज स्पीडोमीटर की रीडिंग का गणितीय रूप है: किसी अंतराल पर नहीं, बल्कि एक क्षण पर परिवर्तन की दर।

किसी भी फलन $f$ के लिए $x$ और $x + h$ के बीच परिवर्तन की औसत दर, आलेख के इन दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की ढलान है, जिसे छेदक रेखा कहते हैं:

तात्क्षणिक दर पाने के लिए अंतराल को छोटा करें। जैसे-जैसे $h$ 0 की ओर बढ़ता है, छेदक रेखा घूमकर स्पर्श रेखा की ओर जाती है, यानी वह रेखा जो उस बिंदु पर वक्र को केवल छूती है। छेदक ढलानों की सीमा ही अवकलज है।

औपचारिक परिभाषा

$x$ पर $f$ का अवकलज है

बशर्ते सीमा का अस्तित्व हो। जब ऐसा हो, तो $f$ को $x$ पर अवकलनीय कहते हैं। आप भिन्न में सीधे $h = 0$ नहीं रख सकते, क्योंकि उससे $\frac{0}{0}$ मिलता है। इसके बजाय बीजगणितीय रूप से तब तक सरल करें जब तक हर का $h$ कट न जाए, फिर सीमा लें। यदि सीमाएँ आपके लिए नई हैं, तो हमारी सीमा की मार्गदर्शिका पहले यह विचार समझाती है।

संकेतन

कई संकेतन प्रचलित हैं, और सबका अर्थ एक ही है। लाग्रांज का प्राइम संकेतन $f'(x)$ लिखता है। लाइबनिट्ज़ संकेतन $\frac{dy}{dx}$ या $\frac{d}{dx}f(x)$ लिखता है, जो याद दिलाता है कि अवकलज छोटे परिवर्तनों का अनुपात है और शृंखला नियम को स्वाभाविक बना देता है। भौतिकविद समय के सापेक्ष अवकलज के लिए अक्सर एक बिंदु, $\dot{x}$, लिखते हैं।

अवकलज को दो बार लगाने पर द्वितीय अवकलज मिलता है, जिसे $f''(x)$ या $\frac{d^2y}{dx^2}$ लिखा जाता है। यदि $s(t)$ स्थिति है, तो $s'(t)$ वेग है और $s''(t)$ त्वरण है।

अवकलज आलेख के बारे में क्या बताता है

• जहाँ $f'(x) > 0$, वहाँ फलन वर्धमान है।
• जहाँ $f'(x) < 0$, वहाँ वह ह्रासमान है।
• जहाँ $f'(x) = 0$, वहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज है; स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ ऐसे बिंदुओं पर (या जहाँ $f'$ का अस्तित्व नहीं है) आते हैं।
• जहाँ $f''(x) > 0$, वहाँ आलेख ऊपर की ओर अवतल है, प्याले की तरह मुड़ा हुआ; जहाँ $f''(x) < 0$, वहाँ वह नीचे की ओर अवतल है।

जो नियम इसे जल्दी कर देते हैं, जैसे यहाँ प्रयुक्त घात नियम, वे अवकलज के नियम: सरल व्याख्या में समझाए गए हैं।

एक भौतिक उदाहरण: गिरता पत्थर

विराम से छोड़ा गया पत्थर वायु प्रतिरोध को नगण्य मानने पर $t$ सेकंड में $s(t) = 4.9t^2$ मीटर की दूरी तय करता है। $t = 1$ और $t = 3$ के बीच वह 4.9 मी से 44.1 मी तक गिरता है, इसलिए उसका औसत वेग $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ मी/से है।

उसका तात्क्षणिक वेग अवकलज है, $s'(t) = 9.8t$ मी/से। $t = 2$ पर यह 19.6 मी/से है, जो ठीक 1 से 3 सेकंड के अंतराल का औसत है; द्विघात फलन के लिए किसी अंतराल पर औसत दर हमेशा उसके मध्यबिंदु पर तात्क्षणिक दर के बराबर होती है। द्वितीय अवकलज, $s''(t) = 9.8$ मी/से², गुरुत्व के कारण अचर त्वरण है।

किसी भी अवकलज की जाँच के लिए इकाइयाँ अच्छा साधन हैं। मीटर में मापी गई राशि का सेकंड में मापे गए समय के सापेक्ष अवकलज मीटर प्रति सेकंड में मापा जाता है। अर्थशास्त्र में, डॉलर में कुल लागत का उत्पादित मात्रा के सापेक्ष अवकलज सीमांत लागत है, जो डॉलर प्रति इकाई में होती है।

जब अवकलज का अस्तित्व नहीं होता

कोई फलन किसी बिंदु पर अवकलनीय नहीं होता यदि वहाँ अंतर भागफल की सीमा का अस्तित्व न हो। आलेख पर यह चार तरह से दिखता है:

• कोना, जैसे 0 पर $|x|$, जहाँ ढलान बाईं ओर से $-1$ और दाईं ओर से $+1$ है।
• उभार-नोक, जैसे 0 पर $x^{2/3}$, जहाँ ढलानें विपरीत दिशाओं में अनंत रूप से खड़ी हो जाती हैं।
• ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा, जैसे 0 पर $\sqrt[3]{x}$, जहाँ ढलान अनंत है।
• असांतत्य, जैसे कूद या छेद।

अवकलनीयता से सांतत्य निकलता है: यदि $f'(a)$ का अस्तित्व है, तो $f$ बिंदु $a$ पर संतत है। विलोम असत्य है, जैसा $|x|$ दिखाता है, क्योंकि यह हर जगह संतत है पर 0 पर इसमें कोना है।

अवकलज का संख्यात्मक अनुमान

जब सूत्र उपलब्ध न हो, उदाहरण के लिए मापे गए आँकड़ों में, तो एक छोटे चरण से अवकलज का अनुमान लगाया जा सकता है। सममित अंतर भागफल आमतौर पर एकपक्षीय रूप से अधिक सटीक होता है:

$x = 0$ पर $f(x) = \sin x$ के लिए $h = 0.01$ लेने पर यह $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$ देता है, जो सटीक मान $\cos 0 = 1$ के बहुत निकट है। आलेखन कैलकुलेटर और स्प्रेडशीट इसी प्रकार के अनुमान का उपयोग करते हैं। इसके विपरीत अवकलज कैलकुलेटर प्रतीकात्मक रूप से अवकलन करता है और लगाया गया हर नियम दिखाता है, और सीमा कैलकुलेटर सीमा वाली परिभाषा का सीधे मान निकालता है।

अवकलज कहाँ उपयोग होते हैं

कितनी तेज़ी से, या कौन-सा मान सबसे अच्छा है, इस तरह का हर प्रश्न अवकलज का प्रश्न है। इंजीनियर पृष्ठीय क्षेत्रफल के अवकलज को शून्य रखकर किसी पात्र की वे विमाएँ निकालते हैं जिनमें सबसे कम सामग्री लगे। अर्थशास्त्री वह उत्पादन स्तर निकालते हैं जिस पर लाभ अधिकतम हो, यानी जहाँ सीमांत आय सीमांत लागत के बराबर हो। चिकित्सक यह मॉडल बनाते हैं कि रक्त में किसी दवा की सांद्रता समय के साथ कैसे बदलती है, और अवकलज उन्हें बताता है कि वह कब शिखर पर पहुँचती है।

मशीन लर्निंग बहुत बड़े पैमाने पर अवकलजों पर निर्भर है। किसी मॉडल को प्रशिक्षित करने का अर्थ है त्रुटि के किसी माप को घटाने के लिए लाखों प्राचलों को समायोजित करना, और हर प्राचल को किस दिशा में बदलना है, यह एक अवकलज बताता है; इस विधि को प्रवणता अवरोहण कहते हैं। भौतिकी लगभग पूरी तरह अवकलजों में लिखी गई है: न्यूटन का गति का दूसरा नियम कहता है कि बल, द्रव्यमान और स्थिति के द्वितीय अवकलज के गुणनफल के बराबर है।

संक्षिप्त इतिहास

आइज़क न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिट्ज़ ने सत्रहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में स्वतंत्र रूप से कलन विकसित किया। न्यूटन समय में प्रवाहित होती राशियों के रूप में सोचते थे, जबकि लाइबनिट्ज़ अनंत रूप से छोटे अंतरों के साथ काम करते थे, और उनका $\frac{dy}{dx}$ संकेतन ही आज अधिकांश पाठ्यपुस्तकों में प्रयुक्त होता है। उनकी विधियाँ शानदार ढंग से काम करती थीं, पर अनंत रूप से छोटी संख्याओं के अस्पष्ट विचारों पर टिकी थीं। इस लेख में प्रयुक्त सीमा वाली सटीक परिभाषा उन्नीसवीं शताब्दी में मुख्यतः ऑगस्टिन-लुई कौशी और कार्ल वायरस्ट्रास ने विकसित की, जिसने अंततः इस विषय को कठोर आधार पर खड़ा किया।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल