निश्चित और अनिश्चित समाकल

एक नज़र में अंतर

• संकेतन: अनिश्चित $\int f(x)\,dx$; निश्चित $\int_a^b f(x)\,dx$, जिसमें निम्न सीमा $a$ और उच्च सीमा $b$ है।
• परिणाम: अनिश्चित समाकल एक फलन और एक अचर देता है; निश्चित समाकल एक संख्या देता है।
• अर्थ: अनिश्चित समाकल बताता है कि किन फलनों का यह अवकलज है; निश्चित समाकल बताता है कि $a$ और $b$ के बीच कितना संचित होता है।
• अचर: अनिश्चित समाकल में $+ C$ ज़रूरी है; निश्चित समाकल में अचर कट जाता है।
• जाँच: अनिश्चित उत्तर का अवकलन करके समाकल्य वापस पाएँ; निश्चित उत्तर का अनुमान आलेख से या आयतों की मदद से लगाएँ।

यदि समाकल आपके लिए नए हैं, तो समाकल क्या है से शुरू करें, जो दोनों विचारों को शुरुआत से समझाता है।

अनिश्चित समाकल: प्रतिअवकलजों के कुल

$f$ का अनिश्चित समाकल उन सभी फलनों का समुच्चय है जिनका अवकलज $f$ है। चूँकि अचर जोड़ने से अवकलज नहीं बदलता, उत्तर हमेशा वक्रों का एक कुल होता है, जिसमें हर वक्र दूसरों का ऊर्ध्वाधर रूप से खिसका हुआ रूप है:

कुल में से किसी एक सदस्य को चुनने के लिए अतिरिक्त जानकारी चाहिए, आमतौर पर कोई ज्ञात मान। इसे प्रारंभिक मान समस्या कहते हैं।

भौतिकी में इसका उपयोग लगातार होता है। यदि त्वरण $-9.8$ मी/से² पर अचर है, तो एक बार समाकलन करने से वेग $v(t) = -9.8t + v_0$ मिलता है, और फिर से समाकलन करने पर ऊँचाई $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$ मिलती है। दोनों अचर प्रारंभिक वेग और प्रारंभिक ऊँचाई हैं।

निश्चित समाकल: योगों की सीमा से मिली संख्याएँ

निश्चित समाकल को रीमान योगों की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, और यह $a$ से $b$ तक आलेख और x-अक्ष के बीच के चिह्नित क्षेत्रफल को दर्शाता है। कलन की आधारभूत प्रमेय इसका मान निकालने का छोटा रास्ता देती है:

$F$ के बजाय $F + C$ लेने से कुछ नहीं बदलता, क्योंकि $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$। इसी कारण अचर छोड़ दिया जाता है।

निश्चित समाकलों के गुणधर्म

अवकलजों की तरह ही, योग और अचर गुणज समाकल चिह्न से बाहर निकल आते हैं। सममिति से काफ़ी मेहनत बच सकती है: यदि $f$ विषम है, यानी $f(-x) = -f(x)$, तो $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$। उदाहरण के लिए, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, क्योंकि ऋणात्मक और धनात्मक आधे भाग एक-दूसरे को काट देते हैं। यदि $f$ सम है, तो $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, इसलिए $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।

$[a, b]$ पर $f$ का औसत मान $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$ है। $[0, 3]$ पर $x^2$ के लिए यह $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$ है: 3 ऊँचाई और 3 चौड़ाई वाले आयत का क्षेत्रफल परवलय के नीचे के क्षेत्र के बराबर है।

दोनों में प्रतिस्थापन अलग ढंग से काम करता है

अनिश्चित समाकल में आप प्रतिस्थापन करते हैं, समाकलन करते हैं, और फिर मूल चर में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। निश्चित समाकल में आप इसके बजाय सीमाओं को नए चर के अनुसार बदल सकते हैं और फिर कभी वापस जाने की ज़रूरत नहीं पड़ती।

एक आम गलती है $u$ प्रतिस्थापित करना पर पुरानी $x$ वाली सीमाएँ रखे रहना। या तो सीमाएँ बदलें या मान निकालने से पहले $x$ में वापस बदलें, दोनों का आधा-आधा कभी नहीं।

जहाँ दोनों मिलते हैं: संचय फलन

चर उच्च सीमा वाला निश्चित समाकल एक फलन होता है: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$। यह $f$ का एक विशेष प्रतिअवकलज है, वह जो $x = a$ पर 0 के बराबर है। उदाहरण के लिए, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$।

आधारभूत प्रमेय का पहला भाग कहता है कि $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$। इसलिए $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, भले ही उस समाकल का कोई प्रारंभिक सूत्र न हो। यदि उच्च सीमा स्वयं एक फलन हो, तो शृंखला नियम एक गुणक जोड़ देता है: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$। अवकलन के नियमों का सार अवकलज के नियम समझिए में है।

अनुचित समाकल

अनंत अंतराल पर लिया गया निश्चित समाकल, या ऐसे फलन का समाकल जो अंतराल के भीतर अनंत की ओर बढ़ जाता है, अनुचित समाकल कहलाता है और इसे एक सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

यानी अनंत रूप से लंबे क्षेत्र का क्षेत्रफल भी परिमित हो सकता है। इसके विपरीत, $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ बिना किसी सीमा के बढ़ता जाता है, इसलिए यह अपसारी है। यही तुलना श्रेणी अभिसरण परीक्षण में समाकल परीक्षण का आधार है।

प्रश्न किसकी माँग कर रहा है?

समाकल चिह्न पर सीमाएँ देखें, या "से", "के बीच", "कुल", "क्षेत्रफल" या "कितना" जैसे शब्द। ये निश्चित समाकल और संख्यात्मक उत्तर का संकेत हैं। "फलन ज्ञात करें", "व्यापक हल" या "प्रतिअवकलज" जैसे शब्द $+ C$ वाले अनिश्चित समाकल का संकेत हैं। जो प्रश्न कोई प्रारंभिक मान देता है, जैसे $f(0) = 2$, वह अनिश्चित समाकल और उसके बाद $C$ का मान निकालना चाहता है।

चरणों सहित अनिश्चित समाकलों के लिए समाकल कैलकुलेटर का उपयोग करें, और किसी अंतराल पर मान निकालने के लिए, अनुचित समाकलों सहित, निश्चित समाकल कैलकुलेटर का।

एक ही फलन से हल की गई तुलना

एक ही फलन पर दोनों प्रकार के समाकल लगाकर देखने से अंतर ठोस रूप में समझ आता है। वह फलन लें जो बताता है कि किसी टंकी में पानी किस दर से, लीटर प्रति मिनट में, भर रहा है, और मान लें कि $t$ मिनट बाद यह $4t + 2$ है।

अनिश्चित समाकल $2t^2 + 2t + C$ किसी भी समय टंकी में पानी की मात्रा बताता है, पर केवल एक अज्ञात प्रारंभिक मात्रा तक। यदि शुरुआत में टंकी में 10 लीटर पानी था, तो $C = 10$ और $t$ मिनट बाद आयतन $2t^2 + 2t + 10$ लीटर है। यह ऐसा फलन है जिसका मान आप किसी भी क्षण निकाल सकते हैं।

$t = 0$ से $t = 5$ तक का निश्चित समाकल एक अलग प्रश्न का उत्तर देता है: उन पाँच मिनटों में कितना पानी भरा? यह $(50 + 10) - 0 = 60$ लीटर है, चाहे शुरुआत में टंकी में कितना भी पानी रहा हो। पहला उत्तर एक अवस्था का सूत्र है; दूसरा किसी परिवर्तन के लिए एक संख्या। जैसे ही आप पूछते हैं कि प्रश्न किसी समय की मात्रा चाहता है या किसी अंतराल पर कुल, अधिकांश व्यावहारिक समस्याएँ साफ़ तौर पर इन दो में से किसी एक प्रकार में आ जाती हैं।

हर प्रकार की आम गलतियाँ

अनिश्चित समाकलों में सबसे आम गलती अचर छोड़ देना है। यह हानिरहित लग सकता है, पर प्रारंभिक मान समस्या में यह वही चीज़ हटा देता है जिसे ढूँढने को कहा गया है, और अवकल समीकरणों में यह हलों का पूरा कुल छिपा देता है। दूसरी गलती है प्रतिस्थापन के बाद उत्तर को मूल चर में दोबारा लिखना भूल जाना।

निश्चित समाकलों में आम गलतियाँ हैं गलत क्रम में घटाना, प्रतिस्थापन के बाद पुरानी और नई सीमाओं को मिला देना, और चिह्नित क्षेत्रफल को कुल क्षेत्रफल समझ लेना। एक और जाल है ऐसे बिंदु के पार सीधे समाकलन करना जहाँ फलन परिभाषित नहीं है, जैसे $-1$ से 1 तक $\frac{1}{x^2}$। वहाँ बिना सोचे सूत्र लगाने से $-2$ मिलता है, जो किसी धनात्मक फलन के लिए असंभव है; वास्तव में समाकल अपसारी है, क्योंकि फलन 0 पर अनंत की ओर बढ़ जाता है। आधारभूत प्रमेय का उपयोग करने से पहले हमेशा जाँचें कि समाकल्य पूरे अंतराल पर संतत है।

दोनों विचार एक साथ कैसे बैठते हैं

अनिश्चित समाकल को औज़ार और निश्चित समाकल को काम मानना उपयोगी है। प्रतिअवकलज निकालना कठिन, रचनात्मक कदम है; एक बार वह मिल जाए, तो उस फलन का हर अंतराल पर हर निश्चित समाकल केवल घटाव से निकल आता है। इसी कारण पाठ्यपुस्तकें अनिश्चित समाकलन की तकनीकों पर इतना समय लगाती हैं, और इसी कारण एक अच्छा प्रतिअवकलज क्षेत्रफल, दूरी और संचय के कई प्रश्नों का उत्तर एक साथ दे सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल