समाकल क्या है? शुरुआती विद्यार्थियों के लिए सरल व्याख्या

जोड़ने की प्रक्रिया के रूप में समाकलन

यदि कोई कार 2 घंटे तक 60 किमी प्रति घंटा की अचर चाल से चलती है, तो वह $60 \times 2 = 120$ किमी चलती है। चाल और समय के आलेख पर यह दूरी 60 ऊँचाई और 2 चौड़ाई वाले आयत का क्षेत्रफल है। जब चाल बदलती है, तो आलेख के नीचे का क्षेत्र आयत नहीं रहता, पर दूरी अब भी चाल-वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ही होती है। यही क्षेत्रफल निकालना समाकल का काम है।

अधिक व्यापक रूप में, जब भी कोई राशि किसी दर और किसी मात्रा का गुणनफल हो, जैसे चाल गुणा समय, घनत्व गुणा आयतन या बल गुणा दूरी, और दर बदलती रहे, तो कुल मान एक समाकल होता है। अवकलज कुल को दरों में तोड़ता है; समाकल दरों से कुल को फिर से बनाता है।

रीमान योग: आयतों से सन्निकटन

$x = 0$ से $x = 2$ तक $f(x) = x^2$ के नीचे का क्षेत्रफल निकालने के लिए अंतराल को $0.5$ चौड़ाई की 4 पट्टियों में बाँटें। हर पट्टी की ऊँचाई के लिए उसके दाएँ किनारे का उपयोग करने पर $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ और $f(2)$ ऊँचाई वाले आयत मिलते हैं:

इसके बजाय बाएँ किनारों का उपयोग करने पर $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$ मिलता है। वास्तविक क्षेत्रफल इन दोनों के बीच है। जैसे-जैसे पट्टियों की संख्या $n$ बढ़ती है, दोनों योग एक ही मान की ओर बढ़ते हैं, और वही सीमा निश्चित समाकल है:

समाकल चिह्न योग के लिए एक खिंचा हुआ S है, $f(x)$ ऊँचाई है, और $dx$ अनंत रूप से पतली चौड़ाई को दर्शाता है। $[0, 2]$ पर $x^2$ के लिए सीमा ठीक $\frac{8}{3} \approx 2.667$ है। सीमा का विचार, जो हमारी सीमा की मार्गदर्शिका में समझाया गया है, ही सन्निकटन को सटीक मान में बदलता है।

चिह्नित क्षेत्रफल

जहाँ आलेख x-अक्ष के नीचे होता है, वहाँ $f(x)$ ऋणात्मक होता है, इसलिए आयत ऋणात्मक योगदान देते हैं। अतः निश्चित समाकल चिह्नित क्षेत्रफल मापता है: अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल घटा उसके नीचे का क्षेत्रफल।

उदाहरण के लिए, $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, क्योंकि 0 और $\pi$ के बीच अक्ष के ऊपर का उभार, $\pi$ और $2\pi$ के बीच नीचे वाले उभार को ठीक काट देता है। हर उभार का क्षेत्रफल 2 है, इसलिए कुल ज्यामितीय क्षेत्रफल 4 है। कुल क्षेत्रफल निकालने के लिए अंतराल को वहाँ बाँटें जहाँ फलन का चिह्न बदलता है, और टुकड़ों के निरपेक्ष मान जोड़ें।

प्रतिअवकलज और अनिश्चित समाकल

$f$ का प्रतिअवकलज ऐसा फलन $F$ है जिसका अवकलज $f$ हो। चूँकि $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$, फलन $x^3$, $3x^2$ का एक प्रतिअवकलज है। $x^3 + 7$ भी है, या $x^3$ में कोई भी अचर जोड़कर बना फलन, क्योंकि अचरों का अवकलज शून्य होता है। अनिश्चित समाकल इन सबको एक साथ समेटता है:

अवकलज का हर मूल नियम उलटा पढ़ने पर समाकलन का एक नियम देता है:

कलन की आधारभूत प्रमेय

समाकल के दो अर्थ, यानी योगों की सीमा से निकला क्षेत्रफल और प्रतिअवकलजों का एक कुल, कलन की आधारभूत प्रमेय से जुड़े हैं। इसका व्यावहारिक रूप कहता है कि यदि $F$ किसी संतत फलन $f$ का कोई भी प्रतिअवकलज है, तो:

यह उल्लेखनीय है: आयतों का एक अनंत योग फलन के केवल दो मानों में सिमट जाता है। प्रमेय का दूसरा भाग कहता है कि संचित क्षेत्रफल फलन $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ का अवकलज $f(x)$ है, इसलिए समाकलन और अवकलन एक-दूसरे को उलट देते हैं।

दोनों प्रकार के समाकलों का अंतर निश्चित और अनिश्चित समाकल में और विस्तार से समझाया गया है।

मूल नियमों से आगे की दो तकनीकें

समाकलन में ऐसा कोई गुणनफल या शृंखला नियम नहीं है जो हर बार यांत्रिक रूप से काम करे, इसलिए कुछ तकनीकें अवकलज के उन्हीं नियमों को उलटती हैं।

अनुप्रयोग

• वेग से दूरी: यदि $v(t) = 3t^2$ मी/से है, तो पहले 2 सेकंड में विस्थापन $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ मी है।
• वक्रों के बीच का क्षेत्रफल: $[0, 1]$ पर $y = x$ और $y = x^2$ के बीच का क्षेत्रफल $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ है।
• औसत मान: $[a, b]$ पर $f$ का औसत $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$ है।
• प्रायिकता: प्रायिकता घनत्व वक्र के नीचे के क्षेत्रफल प्रायिकताएँ देते हैं, जैसे z-स्कोर के पीछे के प्रसामान्य वक्र में।
• आयतन, परिवर्ती बल द्वारा किया गया कार्य, सीमांत लागत से कुल लागत और द्रव्यमान केंद्र, ये सभी समाकल हैं।

आम गलतियाँ

• अनिश्चित समाकल में $+ C$ भूल जाना।
• $\frac{1}{x}$ पर घात नियम लगाना, जिससे शून्य से भाग देना पड़ेगा; इसका समाकल $\ln|x|$ है।
• यह मान लेना कि $\int f g\,dx$, $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$ के बराबर है।
• जब आलेख का कुछ भाग अक्ष के नीचे हो, तब निश्चित समाकल को कुल क्षेत्रफल समझ लेना।
• $F(b) - F(a)$ के बजाय $F(a) - F(b)$ की गणना करना।

समाकल कैलकुलेटर हर चरण दिखाते हुए प्रतिअवकलज निकालता है, और निश्चित समाकल कैलकुलेटर किसी अंतराल पर समाकल का मान निकालकर संख्यात्मक परिणाम बताता है।

आधारभूत प्रमेय तर्कसंगत क्यों है

कार के उदाहरण पर लौटें। मान लीजिए $s(t)$ उसकी स्थिति है और $v(t) = s'(t)$ उसका वेग। पूरी यात्रा में वेग को नन्हे समय-अंतरालों से गुणा करके जोड़ने पर स्थिति में कुल परिवर्तन मिलता है, जो अंतिम स्थिति घटा आरंभिक स्थिति है। प्रतीकों में, $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$, जो ठीक यही प्रमेय है, जिसमें $s$ प्रतिअवकलज की भूमिका निभाता है।

इस दृष्टि से देखें तो प्रमेय लगभग सामान्य समझ की बात है: किसी राशि के सभी छोटे परिवर्तनों को जोड़ने से उसका कुल परिवर्तन मिलता है। इसकी शक्ति इस बात में है कि यह कठिन सीमा-गणनाओं को आसान घटाव में बदल देती है, बशर्ते कोई प्रतिअवकलज मिल सके।

संख्यात्मक समाकलन

जब कोई प्रतिअवकलज लिखा न जा सके, या फलन केवल मापों से ज्ञात हो, तब समाकलों का संख्यात्मक अनुमान लगाया जाता है। आयतों से बेहतर आकृतियाँ बेहतर अनुमान देती हैं। समलंब नियम बाएँ और दाएँ योगों का औसत लेता है; 4 पट्टियों के साथ $[0, 2]$ पर $x^2$ के लिए यह $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$ देता है। मध्यबिंदु नियम हर पट्टी के केंद्र पर ऊँचाई का उपयोग करता है और $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$ देता है। दोनों ही किसी भी एकपक्षीय योग की तुलना में सटीक मान $2.667$ के कहीं अधिक निकट हैं।

सिम्पसन नियम, जो तीन-तीन बिंदुओं के समूहों से होकर परवलय बिठाता है, इस फलन के लिए और किसी भी त्रिघात फलन के लिए सटीक है। सॉफ़्टवेयर इन्हीं विचारों के परिष्कृत रूपों से एक सेकंड के अंश में कई दशमलव स्थानों तक समाकलों की गणना करता है।

संक्षिप्त इतिहास

पतली फाँकें जोड़कर क्षेत्रफल निकालना एक प्राचीन विचार है। आर्किमिडीज़ ने दो हज़ार से अधिक वर्ष पहले सीमा से मिलती-जुलती विधि से परवलयिक खंड का क्षेत्रफल निकाला था। सत्रहवीं शताब्दी की बड़ी सफलता, जिसका श्रेय न्यूटन और लाइबनिट्ज़ को जाता है, आधारभूत प्रमेय थी, जिसने दिखाया कि अवकलन को उलटकर क्षेत्रफल निकाले जा सकते हैं। बर्नहार्ड रीमान ने उन्नीसवीं शताब्दी में इन योगों को उनकी आधुनिक सटीक परिभाषा दी, इसी कारण वे उनके नाम से जाने जाते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल