त्रिकोणमिति

किसी भी त्रिभुज को कैसे हल करें, स्थिति-दर-स्थिति

Q: त्रिभुज हल करने के लिए कितने भाग चाहिए?

तीन, जिनमें कम से कम एक भुजा हो। अकेले तीन कोण केवल आकृति निर्धारित करते हैं। भुजा-भुजा-कोण वाली व्यवस्था शून्य, एक या दो त्रिभुज दे सकती है, इसलिए उसमें अतिरिक्त जाँच चाहिए।

Q: तिर्यक त्रिभुज के लिए किस नियम से शुरू करूँ?

अगर आपके पास कोई भुजा और उसका सम्मुख कोण है, तो साइन नियम से शुरू करें। अगर भुजा-कोण-भुजा या भुजा-भुजा-भुजा स्थिति है, तो ऐसा कोई युग्म नहीं, इसलिए कोसाइन नियम से शुरू करें।

Q: भुजा-भुजा-भुजा प्रश्नों में सबसे बड़ा कोण पहले क्यों निकालें?

केवल सबसे बड़ा कोण ही अधिक कोण हो सकता है। प्रतिलोम कोसाइन से निकालने पर वह सही पहचाना जाता है, और फिर बाकी दो कोणों का न्यून होना निश्चित है, इसलिए कोई अस्पष्टता नहीं बचती।

Q: क्या तीन कोणों से त्रिभुज हल हो सकता है?

अद्वितीय रूप से नहीं। त्रिभुज के हर आवर्धन के कोण वही रहते हैं, इसलिए आप भुजाओं के अनुपात निकाल सकते हैं, पर उनकी लंबाइयाँ नहीं। माप तय करने के लिए एक भुजा की लंबाई चाहिए।

Q: समकोण त्रिभुज के अनुपात याद रखने का आसान तरीका क्या है?

लोकप्रिय स्मृति-सूत्र है “पंडित बद्री प्रसाद, हर हर बोले”: पहले अक्षर बताते हैं कि साइन लंब बटा कर्ण है, कोसाइन आधार बटा कर्ण है, और टैन लंब बटा आधार है।

लेखक MathSolver Pro Editorial Team · प्रकाशित 25 अक्टूबर 2026

त्रिभुज हल करने का अर्थ है दिए गए भागों से तीनों भुजाएँ और तीनों कोण निकालना। कौन-सा साधन लगेगा, यह इस पर निर्भर है कि आपको कौन-से तीन भाग ज्ञात हैं, इसलिए पहला चरण हमेशा स्थिति पहचानना है।

त्रिभुज हल करने का अर्थ

हर त्रिभुज के छह भाग होते हैं: तीन भुजाएँ और तीन कोण। सामान्यतः इनमें से तीन का ज्ञान, जिनमें कम से कम एक भुजा हो, त्रिभुज को निर्धारित कर देता है, और शेष तीन की गणना की जा सकती है। केवल तीनों कोण जानना पर्याप्त नहीं, क्योंकि हर आकार के समरूप त्रिभुजों के कोण समान होते हैं; इस स्थिति को कभी-कभी कोण-कोण-कोण कहा जाता है और इसका कोई अद्वितीय हल नहीं होता।

ज्ञात भागों का वर्णन उस क्रम से किया जाता है जिसमें वे त्रिभुज के चारों ओर आते हैं। कोण-भुजा-कोण का अर्थ है दो कोण और उनके बीच की भुजा; भुजा-कोण-भुजा का अर्थ है दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण। छह संभावित प्रतिरूप, और हर एक का साधन, ये हैं:

कोई भी दो अन्य भाग ज्ञात वाला समकोण त्रिभुज: मूल अनुपात और पाइथागोरस प्रमेय।
कोण-कोण-भुजा या कोण-भुजा-कोण: कोणों का योग, फिर साइन नियम।
भुजा-कोण-भुजा: तीसरी भुजा के लिए कोसाइन नियम, फिर शेष कोण।
भुजा-भुजा-भुजा: कोणों के लिए कोसाइन नियम।
भुजा-भुजा-कोण: शून्य, एक या दो त्रिभुजों की जाँच के साथ साइन नियम।
कोण-कोण-कोण: केवल आकृति, कोई अद्वितीय माप नहीं।

विधि चुनने से पहले हमेशा त्रिभुज का रेखाचित्र बनाएँ और दिए गए भागों पर नाम लिखें। अधिकतर गलतियाँ किसी भुजा को गलत कोण के साथ जोड़ने से होती हैं।

समकोण त्रिभुज: त्रिकोणमितीय अनुपात

समकोण त्रिभुज में किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए तीन मूल अनुपात कोण को भुजाओं से जोड़ते हैं: सम्मुख भुजा (लंब), आसन्न भुजा (आधार) और कर्ण।

\sin\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{कर्ण}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{आसन्न}}{\text{कर्ण}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{सम्मुख}}{\text{आसन्न}}

उदाहरण 1: कर्ण 10, एक कोण $35^\circ$

सम्मुख भुजा: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
आसन्न भुजा: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
दूसरा न्यून कोण: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
जाँच: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

उदाहरण 2: छाया से पेड़ की ऊँचाई

जब सूर्य क्षितिज से $40^\circ$ ऊपर है, तो एक पेड़ की छाया 18 मीटर लंबी है।
ऊँचाई कोण के सम्मुख है और छाया आसन्न, इसलिए स्पर्शज्या (टैन) का उपयोग करें: $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ मीटर।

कोण निकालने के लिए प्रतिलोम अनुपात का उपयोग करें। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज का छोटा न्यून कोण $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ है।

दो कोण और एक भुजा (कोण-कोण-भुजा, कोण-भुजा-कोण)

$180^\circ$ में से घटाकर तीसरा कोण निकालें। अब आपके पास हर कोण और एक भुजा है, जो साइन नियम के लिए पूरा युग्म है:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

उदाहरण 3 (कोण-भुजा-कोण): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ , इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है और बिना आगे की गणना के $b = c = 12$ .

इन स्थितियों का हमेशा ठीक एक हल होता है, बशर्ते दिए गए दोनों कोणों का योग $180^\circ$ से कम हो।

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (भुजा-कोण-भुजा)

ज्ञात कोण के सम्मुख भुजा निकालने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करें। फिर दूसरा कोण निकालें। सबसे सुरक्षित चुनाव मूल दो भुजाओं में से छोटी भुजा के सम्मुख कोण है, क्योंकि वह अवश्य न्यून होगा, इसलिए प्रतिलोम साइन उसे बिना अस्पष्टता के देता है।

उदाहरण 4: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , इसलिए $a \approx 19.79$ .
चूँकि $A$ अधिक कोण है, $B$ और $C$ दोनों न्यून हैं। $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ से $B \approx 28.34^\circ$ मिलता है।
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
जाँच: सबसे लंबी भुजा, 19.79, सबसे बड़े कोण $110^\circ$ के सम्मुख है।

तीन भुजाएँ (भुजा-भुजा-भुजा)

पहले पुष्टि करें कि भुजाएँ त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं: हर भुजा बाकी दो के योग से छोटी होनी चाहिए। फिर कोसाइन नियम का कोसाइन वाला रूप इस्तेमाल करें, सबसे लंबी भुजा के सम्मुख कोण से शुरू करके:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

उदाहरण 5: भुजाएँ 6, 8 और 9

9 के सम्मुख कोण: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , इसलिए $C \approx 78.58^\circ$ .
6 के सम्मुख कोण: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , इसलिए $A \approx 40.80^\circ$ .
8 के सम्मुख कोण: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
तीनों कोण न्यून हैं, जैसा $81 < 36 + 64$ से अपेक्षित था।

दो भुजाएँ और बीच में न आने वाला कोण (भुजा-भुजा-कोण)

यह अस्पष्ट स्थिति है। अज्ञात कोण साइन नियम $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ से निकालें, और फिर परिणाम की जाँच करें:

अगर $\sin B > 1$ , तो कोई त्रिभुज नहीं बनता।
अगर $\sin B = 1$ , तो एक समकोण त्रिभुज बनता है।
अगर $\sin B < 1$ , तो $B$ और $180^\circ - B$ दोनों परखें। जो भी धनात्मक तीसरा कोण छोड़े, वह एक मान्य त्रिभुज देता है।

उदाहरण के लिए $A = 30^\circ$ , $a = 6$ और $b = 10$ से $\sin B = \frac{5}{6}$ मिलता है, इसलिए $B \approx 56.44^\circ$ या $123.56^\circ$ . दोनों तीसरे कोण के लिए जगह छोड़ते हैं, इसलिए दो त्रिभुज बनते हैं। साइन नियम वाला लेख दोनों को पूरा हल करता है, साथ में कोई त्रिभुज नहीं और एक त्रिभुज वाली स्थितियाँ भी।

उन्नयन कोण और अवनमन कोण

कई व्यावहारिक प्रश्न क्षैतिज से मापे गए कोणों का वर्णन करते हैं। उन्नयन कोण किसी वस्तु की ओर ऊपर मापा जाता है; अवनमन कोण नीचे की ओर। क्योंकि प्रेक्षक और वस्तु पर क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं, बिंदु A से B का अवनमन कोण B से A के उन्नयन कोण के बराबर होता है।

उदाहरण 6: सड़क की चढ़ाई

एक सीधी सड़क क्षैतिज रूप से मापे गए 200 मीटर तक $3^\circ$ पर चढ़ती है। वह कितनी ऊँचाई प्राप्त करती है?
चढ़ाई $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ मीटर।
ढलान के रूप में यह लगभग 5.2 प्रतिशत है, क्योंकि $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ .

दो प्रेक्षणों वाले प्रश्न, जैसे ज़मीन के दो बिंदुओं से किसी इमारत का शिखर देखना, एक समकोण त्रिभुज को एक तिर्यक त्रिभुज के साथ जोड़कर हल होते हैं, अक्सर तिर्यक भाग में साइन नियम का उपयोग करके।

हर उत्तर के लिए जाँच-सूची

तीनों कोणों का योग $180^\circ$ है।
सबसे लंबी भुजा सबसे बड़े कोण के सम्मुख है, और सबसे छोटी भुजा सबसे छोटे कोण के सम्मुख।
हर भुजा बाकी दो के योग से छोटी है।
दूसरे नियम से एक भुजा दोबारा निकालने पर, पूर्णांकन तक, वही मान मिलता है।
उत्तरों का पूर्णांकन केवल अंत में, प्रश्न में माँगी गई परिशुद्धता तक किया गया है।

त्रिभुज हल हो जाने के बाद उसका क्षेत्रफल किन्हीं दो भुजाओं और उनके बीच के कोण से $\frac{1}{2}ab\sin C$ द्वारा मिल जाता है। कोसाइन नियम कैलकुलेटर सभी तिर्यक स्थितियाँ चरणों सहित हल करता है, और दूरी सूत्र कैलकुलेटर निर्देशांकों से दिए त्रिभुज सँभालता है।

पूर्णांकन और परिशुद्धता

त्रिभुज के प्रश्न कई गणनाओं को एक शृंखला में जोड़ते हैं, इसलिए शुरुआत की छोटी पूर्णांकन त्रुटियाँ अंत तक दिखने लायक अंतर बन सकती हैं। हर मध्यवर्ती मान के लिए कैलकुलेटर की पूरी परिशुद्धता रखें, परिणामों को मेमोरी में सहेजकर या कम से कम चार सार्थक अंक लिखकर। केवल अंतिम उत्तरों का पूर्णांकन करें, और प्रश्न में माँगी गई परिशुद्धता तक: डिग्री में कोणों के लिए आमतौर पर एक या दो दशमलव स्थान, और लंबाइयों के लिए उचित संख्या में सार्थक अंक।

पूर्णांकन के कारण आपके बताए तीनों कोणों का योग $179.9^\circ$ या $180.1^\circ$ हो सकता है। यह विधि की गलती नहीं है। लेकिन अगर योग एक पूरी डिग्री या अधिक से हटा हो, तो कुछ गड़बड़ है, अक्सर कोई भुजा गलत कोण के साथ जोड़ी गई है या कोई अधिक कोण वाला हल छूट गया है। दूसरी स्वतंत्र गणना, जैसे अंतिम भुजा दोनों नियमों से निकालना, उत्तर सही होने की पुष्टि का सबसे भरोसेमंद तरीका है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

त्रिभुज हल करने के लिए कितने भाग चाहिए?

तीन, जिनमें कम से कम एक भुजा हो। अकेले तीन कोण केवल आकृति निर्धारित करते हैं। भुजा-भुजा-कोण वाली व्यवस्था शून्य, एक या दो त्रिभुज दे सकती है, इसलिए उसमें अतिरिक्त जाँच चाहिए।

तिर्यक त्रिभुज के लिए किस नियम से शुरू करूँ?

अगर आपके पास कोई भुजा और उसका सम्मुख कोण है, तो साइन नियम से शुरू करें। अगर भुजा-कोण-भुजा या भुजा-भुजा-भुजा स्थिति है, तो ऐसा कोई युग्म नहीं, इसलिए कोसाइन नियम से शुरू करें।

भुजा-भुजा-भुजा प्रश्नों में सबसे बड़ा कोण पहले क्यों निकालें?

केवल सबसे बड़ा कोण ही अधिक कोण हो सकता है। प्रतिलोम कोसाइन से निकालने पर वह सही पहचाना जाता है, और फिर बाकी दो कोणों का न्यून होना निश्चित है, इसलिए कोई अस्पष्टता नहीं बचती।

क्या तीन कोणों से त्रिभुज हल हो सकता है?

अद्वितीय रूप से नहीं। त्रिभुज के हर आवर्धन के कोण वही रहते हैं, इसलिए आप भुजाओं के अनुपात निकाल सकते हैं, पर उनकी लंबाइयाँ नहीं। माप तय करने के लिए एक भुजा की लंबाई चाहिए।

समकोण त्रिभुज के अनुपात याद रखने का आसान तरीका क्या है?

लोकप्रिय स्मृति-सूत्र है “पंडित बद्री प्रसाद, हर हर बोले”: पहले अक्षर बताते हैं कि साइन लंब बटा कर्ण है, कोसाइन आधार बटा कर्ण है, और टैन लंब बटा आधार है।

MathSolver Pro Editorial Team

गणित सामग्री और समीक्षा

हमारी संपादकीय टीम हर मार्गदर्शिका इस तरह लिखती है कि केवल उत्तर ही नहीं, बल्कि हर विधि के पीछे का तर्क भी समझ आए। प्रकाशन से पहले हर हल किए गए उदाहरण को साइट के अपने सॉल्वर इंजनों और स्वचालित परीक्षणों से जाँचा जाता है, और जब भी कोई विधि या परीक्षा का प्रारूप बदलता है, लेखों को संशोधित किया जाता है।