अदिश (बिंदु) गुणनफल कैलकुलेटर

बिंदु गुणनफल कैलकुलेटर के बारे में

बिंदु गुणनफल दो सदिशों की तुलना करने का सबसे सरल तरीका है। यह संगत घटकों को गुणा करके परिणामों को जोड़ता है, जिससे एक अकेली संख्या मिलती है जो मापती है कि सदिश कितना एक ही दिशा में इंगित करते हैं। उस संख्या से आप उनके बीच का कोण निकाल सकते हैं, जाँच सकते हैं कि वे परस्पर लंब हैं या नहीं, और एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप ले सकते हैं।

यह कैलकुलेटर किसी भी संख्या में घटकों वाले सदिश स्वीकार करता है, बशर्ते दोनों की लंबाई बराबर हो। वह घटकों के गुणनफल, उनका योग, दोनों परिमाण, अंशों में कोण और पहले सदिश का दूसरे पर अदिश और सदिश प्रक्षेप दिखाता है। अगर कोई सदिश शून्य सदिश हो, तो वह समझाता है कि कोण परिभाषित क्यों नहीं हो सकता।

बिंदु गुणनफल क्या है?

$\mathbf{u} = \langle u_1, \dots, u_n \rangle$ और $\mathbf{v} = \langle v_1, \dots, v_n \rangle$ का बिंदु गुणनफल, या अदिश गुणनफल, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$ है। सदिश गुणनफल के विपरीत, इसका परिणाम एक संख्या है, सदिश नहीं।

ज्यामितीय रूप से, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\cos\theta$, जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है। कोण न्यून हो तो बिंदु गुणनफल धनात्मक, सदिश परस्पर लंब हों तो शून्य, और कोण अधिक कोण हो तो ऋणात्मक होता है।

बिंदु गुणनफल कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

1. पहले सदिश के घटक अल्पविराम से अलग करके लिखें, उदाहरण के लिए 1, 2, 3।
2. दूसरा सदिश उतने ही घटकों के साथ लिखें।
3. “गणना करें” दबाएँ।
4. बिंदु गुणनफल, परिमाण और सदिशों के बीच का कोण पढ़ें।
5. अगर आपको एक सदिश का दूसरे की दिशा में घटक चाहिए, तो प्रक्षेप वाला चरण देखें।

सूत्र

हल सहित उदाहरण: ⟨1,2,3⟩ · ⟨4,−5,6⟩

उदाहरण $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ और $\mathbf{v} = \langle 4, -5, 6 \rangle$ लेता है। घटकों के गुणनफल 4, $-10$ और 18 हैं, जिनका योग 12 है।

परिमाण $\sqrt{14}$ और $\sqrt{77}$ हैं, इसलिए $\cos\theta = \frac{12}{\sqrt{14}\sqrt{77}}$ और कोण लगभग $68.56°$ है। धनात्मक बिंदु गुणनफल पुष्टि करता है कि कोण न्यून है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

पूरी व्याख्या

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल