दो सदिशों के सदिश गुणनफल की व्याख्या

सदिश गुणनफल क्या देता है

अदिश गुणनफल दो सदिशों को एक संख्या में बदलता है। सदिश गुणनफल, जिसे क्रॉस गुणनफल भी कहते हैं, दो सदिशों को एक तीसरे सदिश में बदलता है। यह केवल तीन विमाओं में परिभाषित है, और परिणाम की दो पहचान वाली विशेषताएँ हैं। इसकी दिशा दोनों मूल सदिशों के लंबवत होती है, और इसकी लंबाई उनसे बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है:

यहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है, जो 0 से 180 अंश तक होता है। चूँकि 0 और 180 अंश की ज्या शून्य है, समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल हमेशा शून्य होता है, और लंबवत सदिश अपने परिमाणों के लिए सबसे बड़ी संभव लंबाई देते हैं।

घटक वाला सूत्र

$\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ और $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ के लिए घटक ये हैं:

यह सूत्र याद रखना कठिन है, इसलिए अधिकांश लोग इसके बजाय एक सांकेतिक सारणिक का उपयोग करते हैं। पहली पंक्ति में मात्रक सदिश $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ और $\mathbf{k}$ रखें, फिर $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के घटक, और पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें:

अंत में हमेशा दोनों अदिश गुणनफल वाली जाँचें करें। इनमें कुछ सेकंड लगते हैं और ये लगभग हर चिह्न की गलती पकड़ लेती हैं, खासकर बीच वाले घटक में।

दाएँ हाथ का नियम और क्रम

दो विपरीत दिशाएँ दोनों सदिशों के लंबवत होती हैं, और दाएँ हाथ का नियम उनमें से एक चुनता है। अपने दाएँ हाथ की उँगलियों को $\mathbf{a}$ के अनुदिश रखें, उन्हें $\mathbf{b}$ की ओर मोड़ें, तो आपका अँगूठा $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ की दिशा में होगा। मानक मात्रक सदिशों के लिए इससे $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ और $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ मिलते हैं।

क्रम उलटने पर अँगूठा दूसरी ओर हो जाता है, इसलिए सदिश गुणनफल प्रतिक्रमविनिमेय है:

यह साहचर्य भी नहीं है: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, जबकि $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$ है। लेकिन यह योग पर वितरित होता है, और अदिशों को बाहर निकाला जा सकता है, इसलिए $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$ है।

समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल

चूँकि इसकी लंबाई समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, सदिश गुणनफल निर्देशांकों से सीधे क्षेत्रफल दे देता है। उदाहरण 1 के सदिश $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$ क्षेत्रफल वाला समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, और इन्हीं दो भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल उसका आधा, लगभग 3.67, है।

अभिलंब सदिश और तलों के समीकरण

कोई तल उस पर स्थित एक बिंदु और उसके लंबवत एक अभिलंब सदिश से निर्धारित होता है। चूँकि किसी तल में स्थित दो सदिशों का सदिश गुणनफल दोनों के लंबवत होता है, यह ठीक ऐसा ही अभिलंब है। उदाहरण 2 में सदिश $(6, 3, 2)$ बिंदुओं $P$, $Q$ और $R$ से होकर जाने वाले तल का अभिलंब है, इसलिए तल का समीकरण $6x + 3y + 2z = d$ है। $P(1, 0, 0)$ रखने पर $d = 6$ मिलता है।

तल $6x + 3y + 2z = 6$ है, और $Q$ तथा $R$ भी इसे संतुष्ट करते हैं: $3 \cdot 2 = 6$ और $2 \cdot 3 = 6$। यही विचार 3D ग्राफ़िक्स में लगातार इस्तेमाल होता है, जहाँ किसी मॉडल के हर त्रिभुज को एक अभिलंब सदिश चाहिए, ताकि तय हो सके कि उस पर प्रकाश कैसे पड़ेगा और कौन-सी सतह कैमरे की ओर है।

बल आघूर्ण और अन्य भौतिकी

बल आघूर्ण, यानी बल का घुमाने वाला प्रभाव, एक सदिश गुणनफल है: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, जहाँ $\mathbf{r}$ धुरी से उस बिंदु तक जाता है जहाँ बल लगता है। इसका परिमाण $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$ है।

कोणीय संवेग और गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल भी सदिश गुणनफल हैं, और हर स्थिति में दाएँ हाथ का नियम परिणाम की दिशा बताता है।

अदिश त्रिक गुणनफल और आयतन

दोनों गुणनफलों को मिलाने पर अदिश त्रिक गुणनफल $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ मिलता है, जो पंक्तियों $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ वाले $3 \times 3$ सारणिक के बराबर है। इसका निरपेक्ष मान उन तीन सदिशों से बने तिरछे डिब्बे का आयतन है। $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ और $(0, 0, 3)$ के लिए यह डिब्बा एक सामान्य आयताकार डिब्बा है और त्रिक गुणनफल $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ है। शून्य त्रिक गुणनफल का अर्थ है कि तीनों सदिश एक ही तल में हैं।

सदिश गुणनफल कैलकुलेटर सारणिक के हर चरण के साथ सदिश गुणनफल निकालता है, और क्षेत्रफल तथा सदिशों के बीच का कोण भी बताता है। लंबवतता जाँचने के लिए इसे अदिश गुणनफल कैलकुलेटर के साथ इस्तेमाल करें।

किसी बिंदु से रेखा की दूरी

क्षेत्रफल वाली व्याख्या दूरी का एक प्रसिद्ध प्रश्न भी हल करती है। दिशा सदिश $\mathbf{u}$ वाली, बिंदु $A$ से होकर जाने वाली एक रेखा और रेखा से बाहर एक बिंदु $P$ लें। $\overrightarrow{AP}$ और $\mathbf{u}$ से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$ है, और चूँकि उसका आधार $|\mathbf{u}|$ है, उसकी ऊँचाई, जो $P$ से रेखा की दूरी है, क्षेत्रफल को आधार से भाग देने पर मिलती है।

उदाहरण के लिए, मूलबिंदु से होकर दिशा $(1, 2, 2)$ में जाने वाली रेखा और बिंदु $P(2, 1, 3)$ लें। सदिश गुणनफल $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ की लंबाई $\sqrt{26}$ है, और दिशा सदिश की लंबाई 3 है, इसलिए दूरी $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$ है। प्रक्षेप से इसकी पुष्टि की जा सकती है: बिंदु मूलबिंदु से $\sqrt{14}$ दूर है और रेखा के अनुदिश उसके प्रक्षेप की लंबाई $\frac{10}{3}$ है, और पाइथागोरस प्रमेय वही दूरी देता है।

आम गलतियाँ और अभ्यास

• सारणिक का प्रसार करते समय बीच वाले घटक का ऋण चिह्न भूल जाना।
• सदिशों का क्रम उलट देना, जिससे उत्तर की दिशा पलट जाती है।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल के रूप में सदिश गुणनफल की लंबाई के आधे के बजाय पूरी लंबाई लेना।
• शून्य तीसरा घटक जोड़े बिना दो विमाओं वाले सदिशों का सदिश गुणनफल लेने की कोशिश करना।

अभ्यास के लिए जाँचें कि $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$ है, जो नियम $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ ही है। फिर पुष्टि करें कि $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ शून्य सदिश है, क्योंकि दूसरा सदिश पहले का दोगुना है। अंत में $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$ निकालें; आपको $(1, -1, 1)$ मिलना चाहिए, और दोनों अदिश गुणनफल वाली जाँचें शून्य आनी चाहिए।

सूत्र लंबवत सदिश क्यों देता है

घटक वाले सूत्र पर केवल भरोसा करने के बजाय यह देखना उपयोगी है कि यह क्यों काम करता है। परिणाम का स्वयं $\mathbf{a}$ से अदिश गुणनफल लें: आपको $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$ मिलता है। कोष्ठक खोलने पर हर पद विपरीत चिह्नों के साथ दो बार आता है, इसलिए योग ठीक शून्य होता है। $\mathbf{b}$ से अदिश गुणनफल लेने पर भी यही निरसन होता है। सारणिक की भाषा में, $\mathbf{a}$ से अदिश गुणनफल लेना मात्रक सदिशों वाली पंक्ति की जगह $\mathbf{a}$ रखने जैसा है, जिससे दो समान पंक्तियों वाला सारणिक बनता है, और ऐसा सारणिक हमेशा शून्य होता है। दोनों ही तरह से लंबवतता सूत्र में ही निहित है, किसी विशेष उदाहरण का संयोग नहीं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल