रैखिक बीजगणित सदिशों और आव्यूहों का गणित है। ये मार्गदर्शिकाएँ संक्रियाओं को, उनके ज्यामितीय अर्थ को, और बिना चूक के हाथ से उनकी गणना करने के तरीके को समझाती हैं।
आव्यूह संख्याओं की तालिकाओं जैसे दिखते हैं, पर हर आव्यूह एक रूपांतरण का वर्णन करता है: घूर्णन, खिंचाव या प्रक्षेप। यह चित्र मन में रखने से समझ आता है कि आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय क्यों नहीं है, शून्य सारणिक का अर्थ व्युत्क्रम न होना क्यों है, और आइगेन सदिश वास्तव में क्या है।
यहाँ की हर मार्गदर्शिका गणना को उसके अर्थ के साथ जोड़ती है। आप नियमों को सूत्रों के रूप में, हर गुणनफल लिखे हुए 2×2 और 3×3 के हल किए गए उदाहरण, और ऐसी जाँचें देखेंगे जैसे किसी आव्यूह को उसके व्युत्क्रम से गुणा करके तत्समक आव्यूह वापस पाना। आव्यूह, सारणिक, व्युत्क्रम, आइगेन मान, अदिश गुणनफल और सदिश गुणनफल कैलकुलेटर वही चरण दोहराते हैं।
भले ही सॉफ़्टवेयर आव्यूहों को तुरंत गुणा कर देता है, हाथ से गणना अब भी मायने रखती है: परीक्षाएँ इसकी जाँच करती हैं, और 2×2 या 3×3 स्थिति को हाथ से समझना ही आपको 100×100 आव्यूह के लिए कंप्यूटर के आउटपुट की व्याख्या करने देता है। यहाँ का हर उदाहरण इतना छोटा है कि कागज़ पर पूरा हो सके।
आव्यूह की मूल बातों से शुरू करें, फिर सारणिक और व्युत्क्रम पढ़ें; सदिश और आइगेन मान इन दोनों पर आधारित हैं।
रैखिक बीजगणित
आव्यूह संख्याओं का एक आयताकार जाल है जो पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होता है। आव्यूह आँकड़ों को संक्षिप्त रूप में रखते हैं और, इससे भी अहम, रैखिक रूपांतरणों और समीकरण निकायों को दर्शाते हैं। यह मार्गदर्शिका संकेतन और मुख्य संक्रियाओं को समझाती है, जिसमें आव्यूह गुणन पर विशेष ध्यान है।
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सारणिक एक वर्ग आव्यूह से निकाली गई एक अकेली संख्या है। यह बताता है कि आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं, आव्यूह क्षेत्रफलों और आयतनों को कितने गुना बदलता है, और क्या वह अभिविन्यास को उलट देता है। यह मार्गदर्शिका इसे निकालने की हर मानक विधि को हल किए गए उदाहरणों के साथ दिखाती है।
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किसी वर्ग आव्यूह का व्युत्क्रम आव्यूह के प्रभाव को पलट देता है, ठीक वैसे ही जैसे भाग गुणा को पलट देता है। किसी आव्यूह का व्युत्क्रम ठीक तब होता है जब उसका सारणिक शून्येतर हो। यह मार्गदर्शिका 2 बाय 2 का त्वरित सूत्र, व्यापक गॉस-जॉर्डन विधि और व्युत्क्रम से समीकरण निकाय हल करने का तरीका समझाती है।
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किसी आव्यूह का आइगेनसदिश वह दिशा है जिसे आव्यूह केवल खींचता या पलटता है, कभी घुमाता नहीं, और आइगेनमान उस खिंचाव का गुणक है। ये आव्यूह के मूल व्यवहार को उजागर करते हैं और विकर्णीकरण, स्थायित्व विश्लेषण, मार्कोव श्रृंखलाओं और आँकड़ा संपीड़न का आधार हैं।
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अदिश गुणनफल दो सदिशों को मिलाकर एक अकेली संख्या देता है, जो मापती है कि वे कितना एक ही दिशा में इंगित करते हैं। यह सदिशों के बीच कोण ज्ञात करने, लंबवतता जाँचने, एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप लेने और भौतिकी में कार्य की गणना करने का साधन है।
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सदिश गुणनफल तीन विमाओं में दो सदिशों को गुणा करके एक नया सदिश देता है जो दोनों के लंबवत होता है। इसकी लंबाई उन दो सदिशों से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होती है, इसलिए यह अभिलंब सदिशों, क्षेत्रफलों, बल आघूर्ण और आयतनों का मानक साधन है।