सारणिक कैलकुलेटर

सारणिक कैलकुलेटर के बारे में

सारणिक एक वर्ग आव्यूह को एक अकेली संख्या में समेट देता है जो एक साथ कई महत्वपूर्ण प्रश्नों का उत्तर देती है। क्या आव्यूह व्युत्क्रमणीय है? क्या वह जिस रैखिक निकाय को निरूपित करता है, उसका अद्वितीय हल है? रूपांतरण क्षेत्रफल या आयतन को किस गुणक से बढ़ाता है, और क्या वह अभिविन्यास उलट देता है? ये सब सारणिक से पढ़े जाते हैं।

यह कैलकुलेटर किसी भी व्यावहारिक आकार के वर्ग आव्यूहों के सारणिक निकालता है। वह वही विधि चुनता है जो पाठ्यपुस्तक अपनाती: $2 \times 2$ आव्यूहों के लिए वज्र-गुणन नियम, $3 \times 3$ आव्यूहों के लिए पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार, और $4 \times 4$ तथा बड़े आव्यूहों के लिए उपरि त्रिभुजाकार रूप तक विलोपन। भिन्न और दशमलव सटीक भिन्नों में बदले जाते हैं, इसलिए उत्तर सटीक होता है।

सारणिक क्या है?

सारणिक एक संख्या $\det(A)$ है, जिसे $|A|$ भी लिखते हैं, और यह हर वर्ग आव्यूह के लिए परिभाषित है। $2 \times 2$ आव्यूह के लिए यह $ad - bc$ है। बड़े आव्यूहों के लिए इसे सहखंड प्रसार द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जाता है, या समतुल्य रूप से स्तंभों के सभी क्रमचयों पर चिह्नित योग के रूप में।

ज्यामितीय रूप से, $|\det(A)|$ वह गुणक है जिससे रैखिक प्रतिचित्रण $A$ दो विमाओं में क्षेत्रफल या तीन विमाओं में आयतन को मापता है। ऋणात्मक सारणिक का अर्थ है कि प्रतिचित्रण परावर्तन की तरह अभिविन्यास उलट देता है, और शून्य सारणिक का अर्थ है कि प्रतिचित्रण समष्टि को किसी निम्न विमा में दबा देता है।

सारणिक कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

वर्ग आव्यूह लिखें, प्रविष्टियों के बीच स्पेस और पंक्तियों के बीच अर्धविराम रखकर, उदाहरण के लिए 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5।
“सारणिक निकालें” दबाएँ।
अपने आव्यूह के आकार के लिए प्रयुक्त विधि और हर मध्यवर्ती मान पढ़ें।
आव्यूह व्युत्क्रमणीय है या नहीं, यह तय करने के लिए जाँचें कि सारणिक शून्य है या नहीं।

सूत्र

2×2 सारणिक

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

सहखंड प्रसार (पहली पंक्ति)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

गुणनफल नियम

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

त्रिभुजाकार आव्यूह

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

हल सहित उदाहरण: 3×3 आव्यूह

उदाहरण पंक्तियों $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ और $(1, 4, 5)$ वाले $3 \times 3$ आव्यूह का सारणिक पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करके निकालता है। पहली पंक्ति की हर प्रविष्टि को उस $2 \times 2$ उपसारणिक से गुणा किया जाता है जो उसकी पंक्ति और स्तंभ हटाने पर बचता है, चिह्नों $+$ , $-$ , $+$ के साथ।

उपसारणिकों के मान 4, 11 और 8 हैं, इसलिए सारणिक $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ है। शून्येतर मान का अर्थ है कि यह आव्यूह व्युत्क्रमणीय है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

\det A = 49

हमने आपका सवाल कैसे समझा

3×3 आव्यूह का सारणिक निकालें।

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

स्टेप-बाय-स्टेप हल

3×3 आव्यूह पढ़ें
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें (सहखंड प्रसार)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
हर 2×2 उपसारणिक का मान निकालें
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
एकांतर चिह्नों + − + के साथ जोड़ें
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

2×2 सारणिक
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
सहखंड प्रसार
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

सारणिक 49 है, जो शून्येतर है, इसलिए आव्यूह व्युत्क्रमणीय है और उसकी पंक्तियाँ रैखिकतः स्वतंत्र हैं।

जाँच

भिन्नों के साथ सटीक गणना; पंक्ति समानयन से भी यही मान 49 मिलता है।

पूरी व्याख्या

सहखंड प्रसार

उपसारणिक $M_{ij}$ उस आव्यूह का सारणिक है जो पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ हटाने पर बचता है। सहखंड इसके साथ चिह्न $(-1)^{i+j}$ जोड़ता है, जो शतरंज की बिसात जैसे प्रतिरूप में चलता है और ऊपर बाएँ कोने में $+$ से शुरू होता है। किसी भी पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार करने पर एक ही परिणाम मिलता है, इसलिए हाथ से गणना में शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ चुनना फ़ायदेमंद है।

सहखंड प्रसार $3 \times 3$ आव्यूहों के लिए आदर्श है, लेकिन बहुत तेज़ी से बढ़ता है: $4 \times 4$ प्रसार के लिए चार $3 \times 3$ सारणिक चाहिए, और $10 \times 10$ प्रसार के लिए लाखों पद लगेंगे। इसीलिए कैलकुलेटर बड़े आव्यूहों के लिए विधि बदल देता है।

त्रिभुजाकार रूप तक पंक्ति समानयन

एक पंक्ति के गुणज को दूसरी में जोड़ने से सारणिक नहीं बदलता, दो पंक्तियों की अदला-बदली से उसका चिह्न बदल जाता है, और किसी पंक्ति को मापने से सारणिक उसी गुणक से मपता है। इन नियमों से कैलकुलेटर हर धुरी अवयव के नीचे की प्रविष्टियाँ शून्य करता जाता है, जब तक आव्यूह उपरि त्रिभुजाकार न हो जाए, फिर विकर्ण प्रविष्टियों को गुणा करता है। पंक्तियों $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ और $(0, 1, 0, 2)$ वाले $4 \times 4$ आव्यूह के लिए इससे $-15$ मिलता है।

शून्य सारणिक का अर्थ

शून्य सारणिक का अर्थ है कि पंक्तियाँ रैखिकतः आश्रित हैं: कम से कम एक पंक्ति बाकी पंक्तियों का संयोजन है। आव्यूह का कोई व्युत्क्रम नहीं होता, और निकाय $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ का या तो कोई हल नहीं होता या अनंत हल होते हैं। पंक्तियों $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ और $(7, 8, 9)$ वाला आव्यूह इसका क्लासिक उदाहरण है; उसका सारणिक 0 है क्योंकि बीच की पंक्ति बाकी दो का औसत है।

सारणिक छोटे निकाय हल करने के क्रेमर नियम में, अभिलाक्षणिक बहुपद $\det(A - \lambda I) = 0$ में, जिसके मूल आइगेन मान हैं, और बहु-समाकलों के चर-परिवर्तन सूत्र में भी आते हैं।

आम गलतियाँ

$ad - bc$ के बजाय $ad + bc$ या $ab - cd$ निकालना।
सहखंड प्रसार में एकांतर चिह्न भूल जाना।
गलत पंक्ति या स्तंभ हटाकर गलत उपसारणिक लेना।
पंक्ति समानयन में दो पंक्तियों की अदला-बदली के बाद चिह्न परिवर्तन को अनदेखा करना।
किसी अवर्ग आव्यूह का सारणिक निकालने की कोशिश करना।

सुझाव

सबसे अधिक शून्य वाली पंक्ति या स्तंभ के अनुदिश प्रसार करें।
पहले किसी पंक्ति से उभयनिष्ठ संख्या बाहर निकालें; सारणिक उसी संख्या से मपता है।
अगर दो पंक्तियाँ बराबर या समानुपाती हों, तो बिना और गणना के सारणिक 0 है।
जब स्तंभ के अनुदिश प्रसार आसान हो, तो $\det(A^{T}) = \det(A)$ का उपयोग करें।
जब सारणिक शून्येतर हो और आपको $A^{-1}$ चाहिए, तो व्युत्क्रम आव्यूह कैलकुलेटर का उपयोग करें।
आइगेन मान कैलकुलेटर का उपयोग करें, जो $\det(A - \lambda I)$ पर आधारित है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

2×2 आव्यूह का सारणिक कैसे निकालते हैं?

मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों का गुणनफल निकालें और उसमें से दूसरे विकर्ण का गुणनफल घटाएँ: पंक्तियों (a, b) और (c, d) के लिए सारणिक ad − bc है।

3×3 आव्यूह का सारणिक कैसे निकालते हैं?

किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसार करें: हर प्रविष्टि को उसके 2×2 उपसारणिक से गुणा करें, चिह्न +, −, + लगाएँ और जोड़ें। कैलकुलेटर हर उपसारणिक और अंतिम योग दिखाता है।

4×4 और बड़े आव्यूहों के लिए कौन-सी विधि प्रयुक्त होती है?

उपरि त्रिभुजाकार रूप तक पंक्ति समानयन, फिर विकर्ण प्रविष्टियों का गुणनफल। बड़े आव्यूहों के लिए यह सहखंड प्रसार से बहुत तेज़ है।

शून्य सारणिक का क्या अर्थ है?

आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (विचित्र) है: उसकी पंक्तियाँ रैखिकतः आश्रित हैं, उसका कोई व्युत्क्रम नहीं है और संगत रैखिक निकाय का अद्वितीय हल नहीं है।

क्या सारणिक ऋणात्मक हो सकता है?

हाँ। ऋणात्मक सारणिक का अर्थ है कि रूपांतरण अभिविन्यास उलट देता है। उसका निरपेक्ष मान तब भी क्षेत्रफल या आयतन का मापन गुणक होता है।

क्या अवर्ग आव्यूह का सारणिक निकाल सकता हूँ?

नहीं। सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए परिभाषित हैं, और कैलकुलेटर अवर्ग इनपुट का आकार बताता है।

क्या भिन्न समर्थित हैं?

हाँ। भिन्न और दशमलव सटीक भिन्नों में बदले जाते हैं, इसलिए सारणिक सटीक होता है।

अपने आव्यूह का सारणिक निकालें

ऊपर वर्ग आव्यूह लिखें, और प्रयुक्त विधि, हर मध्यवर्ती मान और सटीक सारणिक पाएँ।

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