क्रमचय और संचय की व्याख्या

गणना का मूल सिद्धांत

गणना के प्रश्न पूछते हैं कि कोई चीज़ कितने तरीकों से हो सकती है। इसकी नींव गणना का मूल सिद्धांत है: अगर एक चुनाव $m$ तरीकों से और दूसरा, स्वतंत्र चुनाव $n$ तरीकों से किया जा सकता है, तो दोनों मिलकर $m \times n$ तरीकों से किए जा सकते हैं। यह विचार कितने भी चरणों तक बढ़ाया जा सकता है।

अगर आपके पास 3 कमीज़ें, 4 पतलूनें और 2 जोड़ी जूते हैं, तो आप $3 \times 4 \times 2 = 24$ अलग-अलग पहनावे बना सकते हैं। अंकों 0 से 9 का उपयोग करने वाले चार अंकों के पिन में, जहाँ अंक दोहराए जा सकते हैं, $10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000$ संभावनाएँ हैं। इस लेख का हर सूत्र इसी गुणा का शॉर्टकट है, इसलिए जब कोई प्रश्न अपरिचित लगे, तो चरण-दर-चरण गिनती पर लौटना हमेशा सुरक्षित विकल्प है।

क्रमगुणित

सभी $n$ भिन्न वस्तुओं को एक पंक्ति में लगाने पर पहले स्थान के लिए $n$ विकल्प, दूसरे के लिए $n - 1$, और इसी तरह 1 तक विकल्प मिलते हैं। इस गुणनफल को $n$ क्रमगुणित कहते हैं:

इसलिए $5! = 120$: पाँच किताबें शेल्फ़ पर 120 क्रमों में लगाई जा सकती हैं। परिभाषा से $0! = 1$, जिससे नीचे के सूत्र सुसंगत रहते हैं, क्योंकि कुछ भी न होने को व्यवस्थित करने का ठीक एक तरीका है। क्रमगुणित आश्चर्यजनक तेज़ी से बढ़ते हैं: $10! = 3{,}628{,}800$, और फेंटी हुई ताश की गड्डी के $52!$ संभव क्रम हैं, जो 68 अंकों वाली संख्या है।

क्रमचय: क्रम मायने रखता है

क्रमचय $n$ भिन्न वस्तुओं में से चुनी गई $r$ वस्तुओं की क्रमित व्यवस्था है। क्योंकि क्रम मायने रखता है, पहला-दूसरा-तीसरा, तीसरे-दूसरे-पहले से अलग है। क्रमचयों की संख्या है

गोल मेज़ के चारों ओर लोगों को बैठाना एक विशेष स्थिति है। सबको एक-एक कुर्सी खिसकाने से वही व्यवस्था मिलती है, इसलिए $n$ लोग $(n-1)!$ भिन्न तरीकों से बैठाए जा सकते हैं। गोल मेज़ के चारों ओर छह लोगों की $5! = 120$ व्यवस्थाएँ हैं, 720 नहीं।

संचय: क्रम मायने नहीं रखता

संचय ऐसा चयन है जिसमें केवल सदस्यता गिनी जाती है। समिति के लिए अना, बेन और कारा को चुनना किसी भी क्रम में वही समिति है। $r$ वस्तुओं का हर समूह $r!$ क्रमचयों के संगत है, इसलिए हम उनसे भाग दे देते हैं:

संचय सममित होते हैं: $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$, क्योंकि शामिल करने के लिए 3 लोगों को चुनना वही है जो बाहर छोड़ने के लिए 5 को चुनना। ये पास्कल त्रिभुज की प्रविष्टियाँ और $(a + b)^n$ के द्विपद प्रसार के गुणांक भी हैं।

कैसे पहचानें कि कौन-सा इस्तेमाल करें

एक ही प्रश्न पूछें: अगर मैं चुनी गई दो वस्तुओं की अदला-बदली करूँ, तो क्या परिणाम बदल जाता है? अगर हाँ, तो क्रम मायने रखता है और आपको क्रमचय चाहिए। अगर नहीं, तो संचय इस्तेमाल करें।

• स्थान, रैंकिंग, पासवर्ड, बैठने की व्यवस्था और समय-सारणियाँ: क्रमचय।
• टीमें, समितियाँ, ताश के हाथ, लॉटरी टिकट और पिज़्ज़ा टॉपिंग: संचय।
• समूह के भीतर भूमिकाएँ, जैसे अध्यक्ष और कोषाध्यक्ष, क्रम को मायने वाला बना देती हैं, भले ही लोग एक ही समूह से आते हों।

एक त्वरित जाँच: क्रमचयों की संख्या हमेशा संचयों की संख्या की $r!$ गुना होती है। अगर आपके दोनों उत्तर इस संबंध को संतुष्ट नहीं करते, तो उनमें से एक गलत है।

पुनरावृत्ति और दोहराए गए अक्षरों के साथ गिनती

जब वस्तुएँ दोबारा इस्तेमाल की जा सकती हैं, तो सूत्र बदल जाते हैं। पुनरावृत्ति के साथ क्रमित चयनों की संख्या $n^r$ है, जैसा पिन वाले उदाहरण में। पुनरावृत्ति के साथ अक्रमित चयन, जैसे 5 स्वादों में से आइसक्रीम के 3 स्कूप चुनना जहाँ कोई स्वाद दोहराया जा सकता है, इतने होते हैं

दोहराए गए अक्षरों वाली व्यवस्थाओं में एक और समायोजन चाहिए: हर दोहराव की संख्या के क्रमगुणित से भाग दें, क्योंकि एक जैसे अक्षरों की अदला-बदली से कुछ नहीं बदलता। मिसिसिपी नदी के नाम की अंग्रेज़ी वर्तनी में 11 अक्षर हैं, जिनमें 4 बार I, 4 बार S और 2 बार P आता है, इसलिए इसकी $\frac{11!}{4!\,4!\,2!} = 34{,}650$ भिन्न व्यवस्थाएँ हैं।

प्रायिकताएँ निकालने के लिए गिनती का उपयोग

जब परिणाम समसंभावी हों, तो प्रायिकता अनुकूल परिणामों की गिनती को सभी परिणामों की गिनती से भाग देने पर मिलती है, इसलिए ज़्यादातर काम क्रमचय और संचय करते हैं। इस अनुपात की मूल बातें प्रायिकता की मूल बातें में समझाई गई हैं।

ताश के खेल और अभ्यास देते हैं। पाँच पत्तों के $\binom{52}{5} = 2{,}598{,}960$ संभव हाथ हैं। चारों इक्कों वाले हाथ को केवल एक और पत्ता चाहिए, जो बाकी 48 में से चुना जाता है, इसलिए प्रायिकता $\frac{48}{2{,}598{,}960} = \frac{1}{54{,}145}$ है।

आम गलतियाँ

• टीम या समिति के लिए क्रमचय इस्तेमाल करना, जिससे गिनती $r!$ गुना अधिक हो जाती है।
• यह भूल जाना कि $0! = 1$, जिससे $\binom{n}{n}$ जैसे सूत्र बिगड़ जाते हैं।
• एक जैसी वस्तुओं को नज़रअंदाज़ करना, जैसे दोहराए गए अक्षरों वाली व्यवस्थाओं में।
• जो चरण स्वतंत्र नहीं हैं, उन्हें बाद की गिनतियाँ समायोजित किए बिना गुणा कर देना।

क्रमचय और संचय कैलकुलेटर क्रमगुणित के चरण दिखाते हुए ${}_nP_r$ और ${}_nC_r$ का मान निकालता है, और प्रायिकता कैलकुलेटर उन गिनतियों को प्रायिकताओं में बदलता है।

पास्कल त्रिभुज और उपसमुच्चय

पास्कल त्रिभुज की हर प्रविष्टि उसके ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है, और पंक्ति $n$ मान $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \ldots, \binom{n}{n}$ बताती है। पंक्ति 4 है 1, 4, 6, 4, 1, जो ठीक $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$ के गुणांक हैं। त्रिभुज बनाने वाला नियम स्वयं गिनती का एक तथ्य है:

कारण देखने के लिए किसी एक विशेष वस्तु को तय कर लें। $r$ वस्तुओं का हर चयन या तो उसे शामिल करता है, जिससे बाकी $n - 1$ में से $r - 1$ चुनने बचते हैं, या उसे छोड़ देता है, जिससे बाकी $n - 1$ में से पूरी $r$ चुननी होती हैं। पूरी पंक्ति जोड़ने पर $2^n$ मिलता है, जो $n$ वस्तुओं वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या है, क्योंकि हर वस्तु या तो अंदर है या बाहर। इसलिए 8 टॉपिंग वाली पिज़्ज़ा दुकान सादे पिज़्ज़ा को मिलाकर $2^8 = 256$ अलग-अलग पिज़्ज़ा बना सकती है।

अभ्यास प्रश्न

1. 7 अलग-अलग किताबों में से 4 को शेल्फ़ पर कितने तरीकों से लगाया जा सकता है? उत्तर: ${}_7P_4 = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$.
2. 10 में से 4 टॉपिंग कितने तरीकों से चुनी जा सकती हैं? उत्तर: $\binom{10}{4} = 210$.
3. अक्षरों A, A, A, N, N और B की कितनी भिन्न व्यवस्थाएँ हैं? उत्तर: $\frac{6!}{3!\,2!} = 60$.
4. अगर अक्षर दोहराए जा सकें, तो 26 अक्षरों से पाँच अक्षरों वाले कितने कोड बन सकते हैं? उत्तर: $26^5 = 11{,}881{,}376$.

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल