क्रमचय और संचय कैलकुलेटर

क्रमचय और संचय कैलकुलेटर के बारे में

गिनती के कई प्रश्न एक ही निर्णय पर टिके होते हैं: क्या चुनी गई वस्तुओं का क्रम मायने रखता है? विजय-मंच पर धावकों को खड़ा करना क्रमचय है, क्योंकि स्वर्ण-रजत-कांस्य और कांस्य-रजत-स्वर्ण अलग हैं। समिति के लिए तीन लोगों को चुनना संचय है, क्योंकि वही तीन लोग किसी भी क्रम में वही समिति बनाते हैं।

यह कैलकुलेटर चारों मानक स्थितियाँ समेटता है: बिना पुनरावृत्ति के क्रमचय और संचय, पुनरावृत्ति सहित क्रमचय (जैसे पिन कोड) और पुनरावृत्ति सहित संचय (जैसे कई स्वादों में से आइसक्रीम के स्कूप चुनना)। यह सटीक पूर्ण संख्याओं के साथ काम करता है, इसलिए पोकर के हाथों की संख्या जैसी बहुत बड़ी गिनतियाँ भी पूर्णांकित करने के बजाय पूरी दिखाई जाती हैं।

क्रमचय और संचय क्या हैं?

क्रमचय $n$ भिन्न वस्तुओं में से चुनी गई $r$ वस्तुओं की क्रमित व्यवस्था है। इनकी संख्या $P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ है, यानी $n!$ के पहले $r$ गुणनखंडों का गुणनफल। संचय क्रम-रहित चयन है, जिसकी गिनती $C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$ है।

दोनों आपस में जुड़े हैं: $r$ वस्तुओं के हर संचय को $r!$ तरीकों से क्रम में लगाया जा सकता है, इसलिए $P(n, r) = C(n, r) \times r!$ । कैलकुलेटर हर ⁿPᵣ और ⁿCᵣ उत्तर की जाँच के लिए इसी सर्वसमिका का उपयोग करता है।

क्रमचय और संचय कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चुनें कि क्या गिनना है: संचय, क्रमचय, पुनरावृत्ति सहित क्रमचय या पुनरावृत्ति सहित संचय।
वस्तुओं की कुल संख्या n लिखें।
चुनी गई वस्तुओं की संख्या r लिखें।
“गणना करें” दबाएँ।
गिनती, उपयोग किया गया सूत्र और निरसन के चरण पढ़ें।

सूत्र

क्रमचय

P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}

संचय

C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

पुनरावृत्ति सहित क्रमचय

n^r

पुनरावृत्ति सहित संचय

\binom{n + r - 1}{r}

हल सहित उदाहरण: C(10, 3)

उदाहरण $C(10, 3)$ निकालता है, यानी क्रम मायने न रखने पर 10 वस्तुओं में से 3 चुनने के तरीकों की संख्या। पहले क्रमित चयन गिनें: $P(10, 3) = 10 \times 9 \times 8 = 720$ ।

तीन का हर समूह उस सूची में $3! = 6$ बार आता है, हर क्रम के लिए एक बार, इसलिए $C(10, 3) = \frac{720}{6} = 120$ । जाँच $120 \times 6 = 720$ की पुष्टि करती है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

120

हमने आपका सवाल कैसे समझा

संचय ⁿCᵣ (क्रम का महत्व नहीं)

स्टेप-बाय-स्टेप हल

संचय सूत्र का उपयोग करें
$C(10, 3) = \frac{10!}{3!\,7!}$
क्रमचयों को r! से भाग दें, क्योंकि क्रम का महत्व नहीं है
$\frac{P(10, 3)}{3!} = \frac{720}{6} = 120$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

संचय ⁿCᵣ (क्रम का महत्व नहीं)
$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

जब क्रम का महत्व न हो, तो 10 वस्तुओं में से 3 वस्तुएँ चुनने के 120 तरीके हैं।

जाँच

जाँच: P(10, 3) = C(10, 3) × 3! = 120 × 6 = 720।

पूरी व्याख्या

क्रमगुणित क्यों कट जाते हैं

$\frac{n!}{(n-r)!}$ लिखना ऐसा लगता है मानो बहुत बड़ी संख्याएँ चाहिए, लेकिन अधिकांश गुणनखंड कट जाते हैं। $P(8, 3)$ के लिए केवल $8 \times 7 \times 6 = 336$ बचता है: पहले स्थान के लिए आठ विकल्प, दूसरे के लिए सात और तीसरे के लिए छह। कैलकुलेटर पूरे क्रमगुणित निकालने के बजाय यही छोटा रास्ता दिखाता है।

संचय हर चयन के $r!$ क्रमों से भाग देकर उन्हें हटा देते हैं। इसीलिए $C(n, r)$ हमेशा $P(n, r)$ से छोटा या उसके बराबर होता है, और इसीलिए $C(n, r) = C(n, n - r)$ : कौन-सी $r$ वस्तुएँ लेनी हैं, यह चुनना वही है जो यह चुनना कि कौन-सी $n - r$ छोड़नी हैं।

पुनरावृत्ति सहित गिनती

जब वस्तुएँ दोबारा उपयोग की जा सकें और क्रम मायने रखे, तो $r$ स्थानों में से हर एक के लिए $n$ विकल्प होते हैं, जिससे $n^r$ मिलता है। चार अंकों वाले पिन की $10^4 = 10{,}000$ संभावनाएँ हैं।

जब वस्तुएँ दोबारा उपयोग की जा सकें पर क्रम मायने न रखे, तो तारे-और-डंडे विधि $\binom{n + r - 1}{r}$ देती है। 3 स्वादों में से 4 स्कूप, दोहराव की अनुमति के साथ, $\binom{6}{4} = 15$ तरीकों से चुने जा सकते हैं। इस मोड में $r$ , $n$ से बड़ा हो सकता है।

बड़ी संख्याएँ और विशेष स्थितियाँ

पाँच पत्तों वाले पोकर हाथों की संख्या $C(52, 5) = 2{,}598{,}960$ है, और कैलकुलेटर पूर्ण-संख्या अंकगणित से ऐसे उत्तर सटीक रखता है। परिपाटी के अनुसार $C(n, 0) = 1$ , क्योंकि कुछ भी न चुनने का ठीक एक तरीका है।

बिना पुनरावृत्ति के आप मौजूद वस्तुओं से अधिक नहीं चुन सकते। $C(3, 5)$ माँगने पर अर्थहीन शून्य के बजाय एक स्पष्ट संदेश आता है, जो पुनरावृत्ति वाला मोड या छोटा $r$ सुझाता है।

संचय और पास्कल त्रिभुज

मान $C(n, r)$ पास्कल त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें हर प्रविष्टि अपने ऊपर की दो प्रविष्टियों का योग है: $C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)$ । इस सर्वसमिका की गिनती वाली व्याख्या है। कोई एक विशेष वस्तु तय करें; हर चयन या तो उसे शामिल करता है, और तब बाकी $n - 1$ में से $r - 1$ और चुननी रहती हैं, या उसे छोड़ता है, और तब सभी $r$ बाकी $n - 1$ में से चुननी होती हैं।

यही संख्याएँ द्विपद प्रसार $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ के गुणांक हैं, इसीलिए इन्हें द्विपद गुणांक कहते हैं। पूरी पंक्ति जोड़ने पर $2^n$ मिलता है, यानी $n$ वस्तुओं वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या, क्योंकि हर वस्तु या तो अंदर है या बाहर।

आम गलतियाँ

क्रम मायने न रखने पर क्रमचय का उपयोग करना, जिससे गिनती $r!$ गुना अधिक हो जाती है।
पासवर्ड, रैंकिंग या बैठने की व्यवस्था जैसी व्यवस्थाओं के लिए संचय का उपयोग करना।
यह भूल जाना कि पुनरावृत्ति सूत्र को पूरी तरह बदल देती है।
निरसन के बजाय हाथ से पूरे क्रमगुणित निकालना, जिससे अंकगणित की गलतियाँ होती हैं।
जहाँ वस्तुएँ दोहराई नहीं जा सकतीं, ऐसे प्रश्न में r को n से बड़ा चुनना।

सुझाव

पूछें: “क्या चुनी गई दो वस्तुओं की अदला-बदली से अलग परिणाम मिलेगा?” अगर हाँ, तो क्रमचय का उपयोग करें।
हाथ से गणना सरल करने के लिए $C(n, r) = C(n, n - r)$ का उपयोग करें।
जटिल प्रश्नों को चरणों में बाँटें और हर चरण की गिनतियों का गुणा करें।
किसी गिनती को प्रायिकता में बदलने के लिए उसे कुल परिणामों की संख्या से भाग दें।
जब कच्ची गिनतियों के बजाय k सफलताओं की प्रायिकताएँ चाहिए, तो प्रायिकता कैलकुलेटर का द्विपद मोड उपयोग करें।
पहले अनुमान लगाएँ: अगर चयनों की गिनती संगत व्यवस्थाओं की गिनती से बड़ी आए, तो कुछ गलत हुआ है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्रमचय और संचय में क्या अंतर है?

क्रमचय क्रमित व्यवस्थाएँ गिनता है; संचय क्रम-रहित चयन गिनता है। 10 वस्तुओं में से 3 चुनने पर 720 क्रमचय मिलते हैं, लेकिन केवल 120 संचय।

ⁿCᵣ कैसे निकालें?

n! ÷ (r!(n − r)!) का उपयोग करें। व्यवहार में n! के पहले r गुणनखंडों का गुणा करें और r! से भाग दें। C(10, 3) के लिए यह 720 ÷ 6 = 120 है।

ⁿPᵣ कैसे निकालें?

n! के पहले r गुणनखंडों का गुणा करें: P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336।

पाँच पत्तों वाले पोकर के कितने हाथ होते हैं?

C(52, 5) = 2,598,960, क्योंकि पत्ते किस क्रम में मिलते हैं, यह मायने नहीं रखता।

“पुनरावृत्ति सहित” का क्या अर्थ है?

हर वस्तु एक से अधिक बार चुनी जा सकती है, जैसे पिन के अंक। पुनरावृत्ति सहित क्रमित चयनों की संख्या nʳ है; क्रम-रहित चयनों की संख्या C(n + r − 1, r) है।

C(n, 0) का मान 1 क्यों है?

कोई भी वस्तु न चुनने का ठीक एक तरीका है: रिक्त चयन। यही तर्क 0! = 1 देता है।

क्या r, n से बड़ा हो सकता है?

केवल तब जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो। बिना पुनरावृत्ति के कैलकुलेटर समझाता है कि आप मौजूद वस्तुओं से अधिक नहीं चुन सकते।

अपने क्रमचय और संचय गिनें

ऊपर n और r लिखें, गिनती का प्रकार चुनें, और सूत्र और निरसन के चरणों के साथ सटीक उत्तर पाएँ।

कैलकुलेटर इस्तेमाल करें AI सॉल्वर से पूछें