z-स्कोर कैलकुलेटर

z-स्कोर कैलकुलेटर के बारे में

z-स्कोर बताता है कि कोई मान माध्य से कितनी दूर है, मानक विचलनों में मापकर। यह अलग-अलग परीक्षाओं के अंकों, अलग-अलग समष्टियों की ऊँचाइयों या अलग-अलग इकाइयों के मापों को एक साझा पैमाने पर ले आता है, ताकि आप उनकी सीधी तुलना कर सकें और देख सकें कि वे कितने असामान्य हैं।

यह कैलकुलेटर सांख्यिकी पाठ्यक्रमों में आने वाले छह z-स्कोर कार्य करता है: मूल मान से $z$ निकालना, $z$ से मूल मान वापस पाना, $z$ के बाईं या दाईं ओर का क्षेत्रफल निकालना, दो z-स्कोरों के बीच का क्षेत्रफल निकालना और दिए गए शततमक के लिए z-स्कोर निकालना। क्षेत्रफल सीधे मानक प्रसामान्य बंटन से निकाले जाते हैं, इसलिए कोई तालिका पढ़ने की ज़रूरत नहीं।

z-स्कोर क्या है?

माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ वाली समष्टि के मान $x$ के लिए z-स्कोर $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ है। 0 का z-स्कोर बताता है कि मान माध्य के बराबर है, धनात्मक z-स्कोर बताता है कि वह माध्य से ऊपर है और ऋणात्मक बताता है कि नीचे।

अगर आँकड़े प्रसामान्य बंटन का पालन करते हैं, तो z-स्कोर शततमक भी बताता है। मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे $z$ के बाईं ओर का क्षेत्रफल, जिसे $\Phi(z)$ लिखते हैं, $x$ से नीचे वाले मानों का अनुपात है।

z-स्कोर कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

गणना चुनें: x से z-स्कोर, z से मूल मान, बायाँ क्षेत्रफल, दायाँ क्षेत्रफल, बीच का क्षेत्रफल या किसी शततमक के लिए z-स्कोर।
मोड जो इनपुट माँगे वे लिखें: x, माध्य और मानक विचलन, या एक या दो z-स्कोर, या कोई शततमक।
शततमक 0.95 जैसे दशमलव या 95% जैसे प्रतिशत के रूप में लिखे जा सकते हैं।
“गणना करें” दबाएँ।
z-स्कोर या क्षेत्रफल, और शततमक के रूप में उसकी व्याख्या पढ़ें।

सूत्र

z-स्कोर

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

z से मूल मान

x = \mu + z\sigma

दाईं ओर का क्षेत्रफल

P(Z > z) = 1 - \Phi(z)

बीच का क्षेत्रफल

P(z_1 < Z < z_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)

हल सहित उदाहरण: x = 85, μ = 70, σ = 10

उदाहरण ऐसी कक्षा में परीक्षा के अंक $x = 85$ लेता है जिसका माध्य $\mu = 70$ और मानक विचलन $\sigma = 10$ है। माध्य घटाने पर 15 मिलता है और मानक विचलन से भाग देने पर $z = 1.5$ : अंक औसत से डेढ़ मानक विचलन ऊपर हैं।

$z = 1.5$ के बाईं ओर का क्षेत्रफल लगभग 0.9332 है, इसलिए अगर अंक प्रसामान्य रूप से बंटित हैं, तो विद्यार्थी ने कक्षा के लगभग 93.32% से अधिक अंक पाए।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

z = 1.5

हमने आपका सवाल कैसे समझा

x, माध्य और मानक विचलन से z-स्कोर

स्टेप-बाय-स्टेप हल

मान में से माध्य घटाएँ
$x - \mu = 85 - 70 = 15$
मानक विचलन से भाग दें
$z = \frac{15}{10} = 1.5$
बाईं ओर का क्षेत्रफल देखें (शततमक)
$\Phi(1.5) \approx 0.933193$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

z-स्कोर
$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$
मानक प्रसामान्य संचयी बंटन फलन
$\Phi(z) = \tfrac12\left[1 + \operatorname{erf}\!\left(\tfrac{z}{\sqrt2}\right)\right]$

85 माध्य से 1.5 मानक विचलन ऊपर है; प्रसामान्य समष्टि का लगभग 93.32% भाग इससे नीचे है।

जाँच

उलटी दिशा: μ + zσ = 70 + (1.5)(10) = 85।

पूरी व्याख्या

प्रसामान्य वक्र के नीचे क्षेत्रफल पढ़ना

मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे कुल क्षेत्रफल 1 है, और वक्र 0 के परितः सममित है। $z = 1.25$ के बाईं ओर का क्षेत्रफल लगभग 0.8944 है; $z = 1.96$ के दाईं ओर का क्षेत्रफल लगभग 0.025 है, इसीलिए 1.96 का मान 95% विश्वास्यता अंतरालों में आता है। $-1$ और $1$ के बीच का क्षेत्रफल लगभग 0.6827 है।

इन्हीं क्षेत्रफलों से आनुभविक नियम मिलता है: प्रसामान्य रूप से बंटित लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं, लगभग 95% दो के भीतर और लगभग 99.7% तीन के भीतर।

उलटी दिशा में: शततमक से z

प्रतिलोम मोड $\Phi(z) = p$ हल करता है। 95वें शततमक के लिए यह $z \approx 1.645$ देता है। सीमा-मान निकालने के लिए इसे $x = \mu + z\sigma$ के साथ जोड़ें: 70 के माध्य और 10 के मानक विचलन के साथ 95वाँ शततमक लगभग $70 + 1.645 \times 10 \approx 86.45$ है।

मूल-मान मोड यह दूसरा चरण सीधे करता है। उसी माध्य और मानक विचलन के साथ $z = 1.5$ लिखने पर $x = 85$ मिलता है, जो मूल उदाहरण को उलट देता है।

अलग-अलग पैमानों पर मानों की तुलना

मान लीजिए एक विद्यार्थी माध्य 70 और मानक विचलन 10 वाली परीक्षा में 85 अंक पाता है, और दूसरा माध्य 500 और मानक विचलन 100 वाली परीक्षा में 620 अंक। उनके z-स्कोर 1.5 और 1.2 हैं, इसलिए पहला प्रदर्शन सापेक्ष रूप से बेहतर है, भले ही 620 बड़ी संख्या दिखती है।

z-स्कोर बाह्य मानों की पहचान भी करते हैं: $|z| > 3$ वाले मान प्रसामान्य प्रतिरूप में दुर्लभ हैं और दोबारा देखे जाने चाहिए। ध्यान रखें कि शततमक वाली व्याख्या आँकड़ों के लगभग प्रसामान्य होने पर निर्भर करती है; अत्यधिक विषम आँकड़ों के लिए z-स्कोर अब भी माध्य से दूरी मापता है, लेकिन क्षेत्रफल वाला निष्कर्ष भ्रामक हो सकता है।

आम गलतियाँ

गलत क्रम में घटाना; यह मान घटा माध्य है, माध्य घटा मान नहीं।
मानक विचलन के बजाय प्रसरण से भाग देना।
प्रश्न में किसी मान से ऊपर की प्रायिकता पूछी गई हो, फिर भी बायाँ क्षेत्रफल बताना।
शततमक को 95% या 0.95 के बजाय 95 लिखना।
जो आँकड़े स्पष्ट रूप से प्रसामान्य नहीं हैं, उन पर प्रसामान्य वक्र के शततमक लागू करना।

सुझाव

गणना से पहले घंटी वक्र बनाएँ और आवश्यक क्षेत्र को छायांकित करें।
सममिति का उपयोग करें: $P(Z < -z) = P(Z > z)$ ।
90%, 95% और 99% के द्विपक्षीय अंतरालों के लिए प्रमुख मान 1.645, 1.96 और 2.576 याद रखें।
अगर आपके पास केवल मूल आँकड़े हैं, तो पहले मानक विचलन कैलकुलेटर का उपयोग करें।
z-स्कोर को दो दशमलव स्थानों तक केवल अंत में पूर्णांकित करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

z-स्कोर कैसे निकालें?

मान में से माध्य घटाएँ और मानक विचलन से भाग दें: z = (x − μ) ÷ σ। x = 85, μ = 70 और σ = 10 के लिए z = 1.5।

ऋणात्मक z-स्कोर का क्या अर्थ है?

मान माध्य से नीचे है। −2 का z-स्कोर बताता है कि मान औसत से दो मानक विचलन नीचे है।

z-स्कोर को शततमक में कैसे बदलें?

मानक प्रसामान्य वक्र के नीचे z के बाईं ओर का क्षेत्रफल निकालें। z = 1.5 के लिए क्षेत्रफल लगभग 0.9332 है, यानी 93वाँ शततमक।

किसी शततमक के लिए z-स्कोर कैसे निकालें?

प्रतिलोम मोड चुनें और शततमक लिखें, जैसे 95%। कैलकुलेटर z ≈ 1.645 देता है।

अच्छा z-स्कोर कितना होता है?

यह संदर्भ पर निर्भर करता है। −1 और 1 के बीच के मान सामान्य हैं; ±2 से आगे के मान असामान्य और ±3 से आगे के मान प्रसामान्य प्रतिरूप में दुर्लभ हैं।

क्या मुझे z-तालिका चाहिए?

नहीं। कैलकुलेटर प्रसामान्य क्षेत्रफल सीधे निकालता है, इसलिए आपको छपी तालिका से अधिक सटीक मान मिलते हैं।

कैलकुलेटर 0 का मानक विचलन क्यों अस्वीकार करता है?

शून्य से भाग अपरिभाषित है, और 0 के मानक विचलन का अर्थ है कि हर मान माध्य के बराबर है, इसलिए मानकीकरण अर्थहीन है।

अपना z-स्कोर और शततमक निकालें

ऊपर गणना का प्रकार चुनें और अपने मान लिखें; प्रसामान्य वक्र की गणना के हर चरण के साथ z-स्कोर, क्षेत्रफल या शततमक पाएँ।

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