प्रायिकता कैलकुलेटर

प्रायिकता कैलकुलेटर के बारे में

प्रायिकता बताती है कि कोई घटना कितनी संभावित है, 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) तक के पैमाने पर। पाठ्यपुस्तकों के अधिकांश प्रश्न कुछ ही प्रतिरूपों में आते हैं: अनुकूल परिणाम गिनना, स्वतंत्र घटनाओं को मिलाना, पहले से ज्ञात जानकारी पर प्रतिबंध लगाना, और बार-बार किए गए परीक्षणों में सफलताएँ गिनना। यह कैलकुलेटर ये चारों संभालता है।

इनपुट पूर्ण-संख्या गिनतियाँ, 0.25 जैसे दशमलव, 1/4 जैसे भिन्न या 25% जैसे प्रतिशत हो सकते हैं। जहाँ संभव हो, उत्तर सटीक भिन्न के रूप में उसके दशमलव और प्रतिशत के साथ दिया जाता है, ताकि आप वही रूप चुन सकें जो आपके शिक्षक या पाठ्यपुस्तक को चाहिए। हर मोड वे पूरक या संबंधित प्रायिकताएँ भी दिखाता है जो प्रश्नों में आम तौर पर आगे पूछी जाती हैं।

प्रायिकता क्या है?

जब किसी प्रयोग के सभी परिणाम समसंभावी हों, तो घटना $A$ की प्रायिकता $A$ के परिणामों की संख्या बटा कुल परिणामों की संख्या होती है। दो पासे फेंकने के 36 समसंभावी परिणाम हैं, और उनमें से छह का योग 7 है, इसलिए $P(\text{योग} = 7) = \frac{6}{36} = \frac16$ ।

प्रायिकताएँ कुछ नियमों का पालन करती हैं: वे 0 और 1 के बीच होती हैं, $A$ के न होने की प्रायिकता $1 - P(A)$ है, और $A$ या $B$ के होने की प्रायिकता $P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है। सप्रतिबंध प्रायिकता और द्विपद बंटन सीधे इन्हीं नियमों पर आधारित हैं।

प्रायिकता कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

प्रश्न का प्रकार चुनें: एक घटना, दो स्वतंत्र घटनाएँ, सप्रतिबंध प्रायिकता या द्विपद।
एक घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या और समसंभावी परिणामों की कुल संख्या लिखें।
स्वतंत्र घटनाओं के लिए P(A) और P(B) लिखें; सप्रतिबंध प्रायिकता के लिए P(A ∩ B) और P(B) लिखें।
द्विपद प्रश्न के लिए परीक्षणों की संख्या n, सफलता की प्रायिकता p, सफलताओं की संख्या k लिखें, और चुनें कि आपको ठीक k, अधिकतम k, k से कम, कम से कम k या k से अधिक चाहिए।
“प्रायिकता निकालें” दबाएँ और सटीक उत्तर, प्रतिशत और सहायक चरण पढ़ें।

सूत्र

शास्त्रीय प्रायिकता

P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}

स्वतंत्र घटनाएँ

P(A \cap B) = P(A)\,P(B)

सप्रतिबंध प्रायिकता

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

द्विपद प्रायिकता

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

हल सहित उदाहरण: दो पासे: P(योग 7) = 6/36

उदाहरण पूछता है कि दो निष्पक्ष पासों का योग 7 होने की प्रायिकता क्या है। 36 में से 6 अनुकूल परिणाम हैं, (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) और (6,1), इसलिए $P = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0.1667$ , यानी लगभग 16.67%।

कैलकुलेटर पूरक $1 - \frac16 = \frac56$ भी देता है, यानी किसी अन्य योग की प्रायिकता, और पक्ष में संयोगानुपात $6 : 30$ , जो अनुकूल परिणामों की तुलना कुल से नहीं, बल्कि प्रतिकूल परिणामों से करता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

P(A) = \frac{1}{6} \approx 0.16666667

हमने आपका सवाल कैसे समझा

एकल घटना (अनुकूल ÷ कुल)

स्टेप-बाय-स्टेप हल

अनुकूल परिणामों को कुल समसंभाव्य परिणामों से भाग दें
$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.16666667$
पूरक: घटना घटित नहीं होती
$P(A') = 1 - P(A) = \frac{5}{6} \approx 0.83333333$
पक्ष में संयोगानुपात
$6 : 30$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

शास्त्रीय प्रायिकता
$P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}}$
पूरक
$P(A') = 1 - P(A)$

घटना 36 समसंभाव्य परिणामों में से 6 में घटित होती है, इसलिए उसकी प्रायिकता 16.666667% है; उसके न घटने की प्रायिकता 83.333333% है।

पूरी व्याख्या

स्वतंत्र घटनाएँ और योग नियम

घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं जब एक के घटित होने की जानकारी दूसरी की प्रायिकता नहीं बदलती, जैसे सिक्के की अलग-अलग उछालें। तब दोनों की प्रायिकता गुणनफल होती है। $P(A) = \frac12$ और $P(B) = 0.3$ के साथ दोनों $0.15$ प्रायिकता से घटित होती हैं, कम से कम एक $0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65$ से, ठीक एक $0.65 - 0.15 = 0.5$ से और कोई भी नहीं $0.5 \times 0.7 = 0.35$ से।

कैलकुलेटर जाँचता है कि $P(A \cup B) + P(\text{कोई नहीं}) = 1$ , जो एक उपयोगी जाँच है, क्योंकि ये दोनों स्थितियाँ मिलकर हर परिणाम को समेटती हैं।

सप्रतिबंध प्रायिकता

सप्रतिबंध प्रायिकता प्रतिदर्श समष्टि को उन परिणामों तक सीमित कर देती है जिनमें $B$ घटित हुआ, फिर पूछती है कि उस छोटी समष्टि के भीतर $A$ भी कितनी बार घटित होता है। अगर 12% ग्राहक फ़ोन और कवर दोनों खरीदते हैं और 40% फ़ोन खरीदते हैं, तो $P(\text{कवर} \mid \text{फ़ोन}) = \frac{0.12}{0.4} = 0.3$ , यानी फ़ोन खरीदने वालों में से 30% कवर भी लेते हैं।

संयुक्त प्रायिकता कभी $P(B)$ से अधिक नहीं हो सकती, और $P(B)$ धनात्मक होनी चाहिए; इनमें से किसी भी स्थिति में कैलकुलेटर त्रुटि बताता है। याद रखें कि $P(A \mid B)$ और $P(B \mid A)$ आम तौर पर अलग होते हैं, और बेज़ प्रमेय वह साधन है जो एक को दूसरे में बदलता है।

द्विपद प्रायिकता

द्विपद प्रयोग $n$ स्वतंत्र परीक्षण दोहराता है, जिनमें से हर एक की सफलता की प्रायिकता $p$ समान है। ठीक $k$ सफलताओं की प्रायिकता उन्हें रखने के तरीकों की संख्या $\binom{n}{k}$ को किसी एक ऐसी व्यवस्था की प्रायिकता से गुणा करती है। अधिकतम, कम से कम, कम या अधिक $k$ के लिए कैलकुलेटर संबंधित पद जोड़ता है और बताता है कि किन पदों का योग किया।

उदाहरण के लिए, निष्पक्ष सिक्के की 10 उछालों में कम से कम 8 चित की प्रायिकता $\frac{45 + 10 + 1}{1024} \approx 0.0547$ है। कैलकुलेटर बंटन का माध्य $np$ और मानक विचलन $\sqrt{np(1-p)}$ भी बताता है।

आम गलतियाँ

उन घटनाओं की प्रायिकताओं का गुणा करना जो स्वतंत्र नहीं हैं।
अतिव्यापन घटाए बिना $P(A)$ और $P(B)$ जोड़ना, जिससे कुल 1 से अधिक आ सकता है।
$P(A \mid B)$ को $P(B \mid A)$ समझ लेना।
ऐसे परिणाम गिनना जो समसंभावी नहीं हैं, जैसे दो पासों के योग 2 से 12 तक को समान रूप से संभावित मानना।
संयोगानुपात और प्रायिकता को मिला देना; 1 : 5 का संयोगानुपात $\frac16$ की प्रायिकता के बराबर है।

सुझाव

“कम से कम एक” वाले प्रश्नों के लिए पूरक का उपयोग करें: $1 - P(\text{कोई नहीं})$ आम तौर पर जल्दी निकलता है।
छोटे प्रश्नों में गणना से पहले प्रतिदर्श समष्टि की सूची बनाएँ या उसे चित्रित करें।
उत्तर सटीक रखने के लिए प्रायिकताएँ भिन्नों के रूप में लिखें।
जाँचें कि हर उत्तर 0 और 1 के बीच है।
भाग देने से पहले परिणाम गिनने के लिए क्रमचय और संचय कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी घटना की प्रायिकता कैसे निकालें?

अनुकूल परिणामों की संख्या को समसंभावी परिणामों की कुल संख्या से भाग दें। दो पासों से योग 7 के लिए यह 6 ÷ 36 = 1/6 है।

दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता कैसे निकालें?

उनकी प्रायिकताओं का गुणा करें। P(A) = 0.5 और P(B) = 0.3 के साथ दोनों 0.15 प्रायिकता से घटित होती हैं।

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

B के घटित हो चुकने पर A की प्रायिकता, P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)। यह ध्यान केवल उन परिणामों तक सीमित करती है जिनमें B घटित होता है।

द्विपद मोड का उपयोग कब करूँ?

जब किसी प्रयोग में स्वतंत्र परीक्षणों की संख्या निश्चित हो, हर परीक्षण के दो परिणाम हों और सफलता की प्रायिकता समान हो, और आपको निश्चित संख्या में सफलताओं की प्रायिकता चाहिए।

क्या मैं प्रतिशत या भिन्न लिख सकता हूँ?

हाँ। प्रायिकताएँ दशमलव (0.25), भिन्न (1/4) या प्रतिशत (25%) के रूप में लिखी जा सकती हैं। एक-घटना मोड में परिणामों की गिनतियाँ पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए।

संयोगानुपात और प्रायिकता में क्या अंतर है?

प्रायिकता अनुकूल परिणामों की तुलना सभी परिणामों से करती है; संयोगानुपात अनुकूल परिणामों की तुलना प्रतिकूल परिणामों से करता है। 1/6 की प्रायिकता 1 : 5 के संयोगानुपात के बराबर है।

द्विपद प्रश्न में “कम से कम” कैसे निकालें?

“P(X ≥ k) कम से कम k” चुनें। कैलकुलेटर k से n तक की प्रायिकताएँ जोड़ता है और दिखाता है कि किन पदों का योग किया।

अपनी प्रायिकता चरण-दर-चरण निकालें

ऊपर प्रश्न का प्रकार चुनें और अपने मान लिखें; सटीक भिन्न, प्रतिशत और हर सहायक चरण पाएँ।

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प्रायिकता कैलकुलेटर के बारे में

प्रायिकता क्या है?

प्रायिकता कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

सूत्र

शास्त्रीय प्रायिकता

स्वतंत्र घटनाएँ

सप्रतिबंध प्रायिकता

द्विपद प्रायिकता

हल सहित उदाहरण: दो पासे: P(योग 7) = 6/36

अंतिम उत्तर

हमने आपका सवाल कैसे समझा

स्टेप-बाय-स्टेप हल

इस्तेमाल किए गए सूत्र

पूरी व्याख्या

स्वतंत्र घटनाएँ और योग नियम

सप्रतिबंध प्रायिकता

द्विपद प्रायिकता

आम गलतियाँ

सुझाव

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

किसी घटना की प्रायिकता कैसे निकालें?

दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता कैसे निकालें?

सप्रतिबंध प्रायिकता क्या है?

द्विपद मोड का उपयोग कब करूँ?

क्या मैं प्रतिशत या भिन्न लिख सकता हूँ?

संयोगानुपात और प्रायिकता में क्या अंतर है?

द्विपद प्रश्न में “कम से कम” कैसे निकालें?

अपनी प्रायिकता चरण-दर-चरण निकालें

और गणित कैलकुलेटर