प्रायिकता की मूल बातें: एक व्यावहारिक परिचय

परिणाम, घटनाएँ और प्रायिकता का पैमाना

प्रायिकता किसी प्रयोग से शुरू होती है, जैसे पासा फेंकना, और उसकी प्रतिदर्श समष्टि से, यानी सभी संभव परिणामों के समुच्चय से। एक सामान्य पासे की एक फेंक के लिए प्रतिदर्श समष्टि $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। घटना परिणामों का कोई भी संग्रह है, जैसे सम संख्या आना, जो समुच्चय $\{2, 4, 6\}$ है।

हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है। 0 प्रायिकता का अर्थ है कि घटना हो ही नहीं सकती, 1 का अर्थ है कि वह निश्चित है, और 0.5 का अर्थ है कि उसके होने और न होने की संभावना बराबर है। प्रायिकताएँ भिन्न, दशमलव या प्रतिशत के रूप में लिखी जा सकती हैं, इसलिए $\frac{1}{4}$, 0.25 और 25 प्रतिशत का अर्थ एक ही है। जब सभी परिणाम समसंभावी हों, तो किसी घटना की प्रायिकता एक सरल अनुपात है:

इसलिए सम संख्या आने की प्रायिकता $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है। दो पासों के साथ $6 \times 6 = 36$ समसंभावी क्रमित परिणाम होते हैं, और उनमें से छह का योग 7 होता है, यानी (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) और (6,1), इसलिए $P(\text{योग} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. बड़े प्रश्नों में परिणाम गिनने के लिए क्रमचय और संचय की तकनीकें काम आती हैं।

पूरक नियम

घटना $A$ का पूरक वह सब कुछ है जो $A$ में नहीं है। क्योंकि दोनों में से एक का होना निश्चित है, उनकी प्रायिकताओं का योग 1 होता है:

जब भी प्रश्न में कम से कम एक लिखा हो, पहले पूरक आज़माएँ। यह लगभग हमेशा लंबी गणना को छोटी बना देता है।

योग नियम: A या B

$A$ या $B$, या दोनों, के होने की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं को जोड़कर और अतिव्याप्ति को घटाकर मिलती है, जो अन्यथा दो बार गिनी जाती:

52 पत्तों की सामान्य गड्डी से एक पत्ता निकालने पर पान या बादशाह आने की प्रायिकता $\frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$ है, क्योंकि पान का बादशाह दोनों समूहों में आता है। जो घटनाएँ एक साथ नहीं हो सकतीं, जैसे एक ही फेंक में 2 आना और 5 आना, परस्पर अपवर्जी होती हैं। उनकी अतिव्याप्ति शून्य है, इसलिए उनकी प्रायिकताएँ सीधे जुड़ जाती हैं।

गुणन नियम: A और B

दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं जब एक का परिणाम दूसरी की प्रायिकता नहीं बदलता, जैसे सिक्के की अलग-अलग उछालें। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणा करें:

इसलिए दो उछालों में दो चित की प्रायिकता $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है। जब घटनाएँ आश्रित हों, तो दूसरी प्रायिकता में वह ध्यान में रखना होता है जो पहले हो चुका है। बिना वापस रखे दो पत्ते निकालने पर दोनों के इक्के होने की प्रायिकता $\frac{4}{52} \times \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$ है, क्योंकि एक इक्का निकल जाने के बाद 51 पत्तों में केवल 3 इक्के बचते हैं।

सप्रतिबंध प्रायिकता और बेज़ प्रमेय

सप्रतिबंध प्रायिकता यह है कि $B$ के घटित होने की स्थिति में $A$ की प्रायिकता क्या है, जिसे $P(A \mid B)$ लिखते हैं। $B$ का पता होने से प्रतिदर्श समष्टि सिकुड़कर केवल $B$ रह जाती है:

बेज़ प्रमेय सप्रतिबंध प्रायिकता को उलट देता है, यानी $P(B \mid A)$ को $P(A \mid B)$ में बदल देता है। इसका सबसे प्रसिद्ध अनुप्रयोग दिखाता है कि कोई धनात्मक चिकित्सा परीक्षण जितना डरावना लगता है, उससे कम चिंताजनक क्यों हो सकता है।

प्रत्याशित मान

किसी खेल या यादृच्छिक राशि का प्रत्याशित मान दीर्घकालिक औसत परिणाम है, जो हर परिणाम को उसकी प्रायिकता से गुणा करके और जोड़कर मिलता है:

मान लीजिए एक खेल में पासे पर छक्का आने पर 10 डॉलर मिलते हैं और अन्यथा आपके 2 डॉलर कटते हैं। प्रत्याशित मान $10 \cdot \frac{1}{6} - 2 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10 - 10}{6} = 0$ है, इसलिए खेल निष्पक्ष है: बहुत बार खेलने पर आप न लाभ, न हानि की अपेक्षा करेंगे। कसीनो के खेल इस तरह बनाए जाते हैं कि खिलाड़ी के लिए प्रत्याशित मान थोड़ा ऋणात्मक हो, और इसी से कसीनो लाखों दाँवों पर मुनाफ़ा कमाते हैं, भले ही कुछ खिलाड़ी कभी-कभी जीत जाएँ। बीमा दूसरी ओर से इसी सिद्धांत पर चलता है: बीमाकर्ता प्रीमियम के रूप में उससे थोड़ा अधिक इकट्ठा करता है जितना वह दावों में चुकाने की अपेक्षा करता है।

आम जाल

• जुआरी का भ्रम: निष्पक्ष रूलेट पहिये पर पाँच बार लाल आने के बाद काले का आना तय नहीं हो जाता। हर घुमाव स्वतंत्र है, इसलिए प्रायिकता नहीं बदलती।
• अतिव्यापी घटनाओं की प्रायिकताएँ अतिव्याप्ति घटाए बिना जोड़ देना, जिससे 1 से बड़ी प्रायिकताएँ आ सकती हैं।
• जो घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं, उनकी प्रायिकताओं का गुणा कर देना।
• $P(A \mid B)$ को $P(B \mid A)$ समझ लेना, जैसा चिकित्सा परीक्षण वाले उदाहरण में।
• संयोगों को कम आँकना: केवल 23 लोगों के समूह में दो लोगों का जन्मदिन एक ही होने की संभावना लगभग 50.7 प्रतिशत है।

बड़ी संख्याओं का नियम बताता है कि प्रायिकता वास्तव में क्या वादा करती है: जब कोई प्रयोग बहुत बार दोहराया जाता है, तो किसी घटना के होने का अनुपात उसकी प्रायिकता के पास स्थिर हो जाता है। यह परिणामों की किसी छोटी शृंखला के बारे में कोई वादा नहीं करता। प्रायिकता कैलकुलेटर एकल, संयुक्त और सप्रतिबंध घटनाओं को चरणों के साथ हल करता है, और क्रमचय और संचय कैलकुलेटर वे परिणाम गिनता है जिनकी कई प्रायिकता प्रश्नों में ज़रूरत होती है।

बहु-चरणीय प्रश्नों के लिए वृक्ष आरेख

जब कोई प्रयोग चरणों में होता है, तो वृक्ष आरेख हर पथ का हिसाब रखता है। हर शाखा पर उसकी प्रायिकता लिखी जाती है, पूरे क्रम की प्रायिकता पाने के लिए पथ के साथ-साथ गुणा करते हैं, और वांछित घटना बनाने वाले पथों को जोड़ते हैं।

वृक्ष आरेख गुणन नियम को दृश्य बना देते हैं और साफ़ दिखाते हैं कि चरणों के बीच प्रायिकताएँ कहाँ बदलती हैं। बेज़ प्रमेय वाले प्रश्न को व्यवस्थित करने का भी यही सबसे भरोसेमंद तरीका है, क्योंकि दूसरे चरण की हर शाखा एक सप्रतिबंध प्रायिकता होती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल