मानक विचलन कैसे निकालें (प्रतिदर्श और समष्टि)

मानक विचलन क्या मापता है

माध्य बताता है कि आँकड़ों का केंद्र कहाँ है, लेकिन यह नहीं कि मान उसके आसपास कितने सघन रूप से जमा हैं। मानक विचलन यही कमी पूरी करता है। छोटे मानक विचलन का अर्थ है कि मान माध्य के पास हैं; बड़े का अर्थ है कि वे दूर-दूर तक बिखरे हैं। इसे आँकड़ों की ही इकाइयों में मापा जाता है, इसलिए ऊँचाइयों का 5 सेंटीमीटर मानक विचलन बताता है कि एक सामान्य ऊँचाई औसत से लगभग 5 सेंटीमीटर दूर होती है।

गणना का तर्क सरल है। मापें कि हर मान माध्य से कितनी दूर है, इन दूरियों का वर्ग करें ताकि माध्य से ऊपर और नीचे के मान एक-दूसरे को निरस्त न करें, वर्गों का औसत लें, और अंत में मूल इकाइयों में लौटने के लिए वर्गमूल लें। अगर आपको स्वयं माध्य दोहराना है, तो माध्य, माध्यिका, बहुलक और मानक विचलन से शुरू करें।

दो सूत्र

इसके दो रूप हैं, जो इस पर निर्भर करते हैं कि आपके आँकड़े पूरी समष्टि हैं या किसी बड़ी समष्टि से लिया गया प्रतिदर्श:

समष्टि मानक विचलन $\sigma$ मानों की संख्या $N$ से भाग देता है। प्रतिदर्श मानक विचलन $s$ संख्या $n - 1$ से भाग देता है। वर्गमूल के अंदर की राशि प्रसरण है, जिसे $\sigma^2$ या $s^2$ लिखते हैं। प्रसरण सिद्धांत में उपयोगी है, लेकिन इसकी इकाइयाँ वर्गित होती हैं, जैसे वर्ग सेंटीमीटर, इसीलिए आमतौर पर मानक विचलन ही बताया जाता है।

हाथ से पाँच चरण

$x$, $x - \bar{x}$ और $(x - \bar{x})^2$ के स्तंभों वाली एक सारणी काम को व्यवस्थित रखती है। एक उपयोगी जाँच यह है कि दूसरे स्तंभ के विचलनों का योग हमेशा शून्य होता है। अगर ऐसा नहीं है, तो माध्य गलत है, और उसके बाद का सब कुछ भी गलत होगा।

प्रतिदर्श के लिए n घटा 1 से भाग क्यों?

प्रतिदर्श के साथ काम करते समय आप समष्टि का वास्तविक माध्य नहीं जानते, इसलिए विचलन प्रतिदर्श माध्य से मापते हैं। प्रतिदर्श माध्य अपनी रचना के कारण ही वह बिंदु है जो उस विशेष प्रतिदर्श के लिए वर्गित विचलनों के योग को न्यूनतम बनाता है। इसलिए उससे मापे गए विचलन औसतन वास्तविक माध्य से मापे गए विचलनों से थोड़े छोटे होते हैं।

$n$ के बजाय $n - 1$ से भाग देना इस कमी को सुधारता है, जिससे प्रतिदर्श प्रसरण समष्टि प्रसरण का अनभिनत आकलन बन जाता है। इस समायोजन को बेसेल संशोधन कहते हैं। इसे स्वातंत्र्य कोटि के रूप में भी देखा जा सकता है: माध्य और $n - 1$ विचलन ज्ञात होने पर अंतिम विचलन तय हो जाता है, क्योंकि सबका योग शून्य होना चाहिए। केवल $n - 1$ विचलन ही स्वतंत्र जानकारी देते हैं।

व्यवहार में प्रतिदर्श वाला सूत्र ही इस्तेमाल करें, जब तक आपके आँकड़ों में सचमुच उस समूह का हर सदस्य शामिल न हो जिसमें आपकी रुचि है, जैसे किसी एक कक्षा के हर विद्यार्थी के अंक, जब आपकी रुचि केवल उसी कक्षा में हो।

एक संक्षिप्त सूत्र और बारंबारता सारणियाँ

बीजगणितीय रूप से तुल्य एक सूत्र हर विचलन को अलग-अलग निकालने से बचाता है:

उदाहरण 1 के आँकड़ों के लिए $\sum x^2 = 36 + 64 + 100 + 144 + 196 = 540$ है, इसलिए पहले की तरह $\sigma^2 = \frac{540}{5} - 10^2 = 8$ मिलता है। हाथ से यह संक्षिप्त सूत्र तेज़ है, लेकिन बड़ी या बहुत सटीक संख्याओं के साथ कंप्यूटर इससे बचते हैं, क्योंकि लगभग बराबर दो बड़ी संख्याओं को घटाने से परिशुद्धता खो जाती है।

परिणाम की व्याख्या

लगभग घंटी के आकार वाले प्रसामान्य बंटन का पालन करने वाले आँकड़ों के लिए आनुभविक नियम मानक विचलन का ठोस अर्थ बताता है: लगभग 68 प्रतिशत मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, लगभग 95 प्रतिशत दो के भीतर और लगभग 99.7 प्रतिशत तीन के भीतर होते हैं। अगर किसी समूह में वयस्कों की ऊँचाई का माध्य 170 सेंटीमीटर और मानक विचलन 8 है, तो समूह के लगभग 95 प्रतिशत लोग 154 और 186 सेंटीमीटर के बीच लंबे हैं।

किसी भी आकार के आँकड़ों के लिए चेबीशेव असमिका फिर भी सुनिश्चित करती है कि कम से कम 75 प्रतिशत मान माध्य से दो मानक विचलनों के भीतर, और कम से कम लगभग 89 प्रतिशत तीन के भीतर होते हैं। किसी एक मान की माध्य से दूरी को मानक विचलनों में व्यक्त करने पर उसका z-स्कोर मिलता है, जिससे अलग-अलग पैमानों पर मापे गए मानों की तुलना की जा सकती है।

आँकड़ों में बदलाव होने पर मानक विचलन पूर्वानुमेय ढंग से बदलता है। हर मान में एक ही अचर जोड़ने से माध्य खिसक जाता है, लेकिन मानक विचलन नहीं बदलता, क्योंकि फैलाव वही रहता है। हर मान को किसी अचर से गुणा करने पर मानक विचलन उस अचर के निरपेक्ष मान से गुणा हो जाता है, इसलिए मीटर को सेंटीमीटर में बदलने पर यह 100 से गुणा हो जाता है।

कैलकुलेटर या स्प्रेडशीट का उपयोग

वैज्ञानिक कैलकुलेटरों में आमतौर पर दो कुंजियाँ होती हैं, जिन पर अक्सर समष्टि वाले रूप के लिए $\sigma_x$ या $\sigma_n$ और प्रतिदर्श वाले रूप के लिए $s_x$ या $\sigma_{n-1}$ लिखा होता है। एक्सेल और Google शीट्स जैसी स्प्रेडशीटों में फ़ंक्शनों के नाम अंग्रेज़ी में ही रहते हैं: STDEV.P समष्टि मानक विचलन निकालता है और STDEV.S प्रतिदर्श वाला; पुराना STDEV फ़ंक्शन भी प्रतिदर्श मान देता है। गलत फ़ंक्शन चुनना उत्तरों के मेल न खाने का सबसे आम कारण है।

मानक विचलन कैलकुलेटर दोनों रूप पूरी विचलन सारणी के साथ दिखाता है, जो हाथ से किए गए गृहकार्य की जाँच के लिए आदर्श है। माध्य, माध्यिका और बहुलक कैलकुलेटर अन्य सारांश प्रतिदर्शज जोड़ता है, और z-स्कोर कैलकुलेटर परिणाम का उपयोग करके अलग-अलग मानों का मानकीकरण करता है।

अलग-अलग पैमानों पर फैलाव की तुलना

जब माध्य बहुत अलग हों, तो मानक विचलनों की तुलना कठिन होती है। 2 किलोग्राम का मानक विचलन नवजात शिशुओं के लिए बड़ा है, लेकिन वयस्क हाथियों के लिए बहुत छोटा। विचरण गुणांक मानक विचलन को माध्य से भाग देकर यह समस्या हल करता है, और इसे अक्सर प्रतिशत में व्यक्त किया जाता है। 6 और 9 प्रतिशत के औसत वार्षिक प्रतिफल और 3 तथा 9 प्रतिशत अंकों के मानक विचलन वाले दो निवेशों के विचरण गुणांक 50 और 100 प्रतिशत हैं, इसलिए दूसरा निवेश अपने सामान्य प्रतिफल की तुलना में दोगुना अस्थिर है।

आम गलतियाँ

• विचलनों का वर्ग करना भूल जाना, जिससे धनात्मक और ऋणात्मक मान निरस्त होकर शून्य हो जाते हैं।
• अंतिम वर्गमूल लेना भूल जाना और उसकी जगह प्रसरण बता देना।
• प्रतिदर्श और समष्टि के सूत्रों को मिला देना, या कैलकुलेटर की गलत कुंजी दबाना।
• विचलन निकालने से पहले माध्य को बहुत अधिक पूर्णांकित कर देना, जिससे पूर्णांकन त्रुटि बढ़ती जाती है।
• बारंबारता सारणी को ऐसे मानना जैसे हर मान केवल एक बार आया हो।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल