हल किए गए उदाहरणों के साथ z-स्कोर की व्याख्या

z-स्कोर क्या मापता है

अकेला कच्चा अंक बहुत कम बताता है। परीक्षा में 85 अंक अच्छे लगते हैं, लेकिन अगर बाकी सबके 95 आए हों तो यह वास्तव में कमज़ोर है। z-स्कोर, जिसे मानक अंक भी कहते हैं, किसी मान को उसके समूह के सापेक्ष मापकर यह समस्या सुलझाता है। यह एक प्रश्न का उत्तर देता है: यह मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है?

यहाँ $x$ मान है, $\mu$ माध्य है और $\sigma$ मानक विचलन है। धनात्मक z-स्कोर का अर्थ है कि मान माध्य से ऊपर है, ऋणात्मक का अर्थ नीचे, और शून्य का अर्थ ठीक औसत। 2 का z-स्कोर माध्य से दो मानक विचलन ऊपर है, जो ज़्यादातर आँकड़ों में असामान्य रूप से ऊँचा है। अगर मानक विचलन निकालना दोहराना हो, तो मानक विचलन कैसे निकालें देखें।

z-स्कोर चरण-दर-चरण निकालना

इकाइयाँ हमेशा कट जाती हैं, क्योंकि अंश और हर दोनों मूल इकाइयों में मापे जाते हैं। इसी कारण z-स्कोर इकाई-रहित होते हैं और बिल्कुल अलग मापनों के बीच तुलनीय होते हैं।

अलग-अलग पैमानों के परिणामों की तुलना

z-स्कोर का सबसे व्यावहारिक उपयोग निष्पक्ष तुलना है। मान लीजिए एक विद्यार्थी रसायन की परीक्षा में 82 अंक लाता है, जहाँ माध्य 75 और मानक विचलन 5 है, और इतिहास की परीक्षा में 88, जहाँ माध्य 80 और मानक विचलन 8 है। इतिहास के अंक अधिक हैं, लेकिन कौन-सा परिणाम अधिक प्रभावशाली है?

सहपाठियों के सापेक्ष रसायन का परिणाम बेहतर है: औसत से 1.4 मानक विचलन ऊपर, जबकि इतिहास में 1.0। यही विचार वैज्ञानिकों को अलग-अलग उपकरणों के मापनों की तुलना करने देता है, और विश्लेषकों को किसी कंपनी के प्रदर्शन की तुलना बहुत अलग सामान्य मानों वाले उद्योगों से करने देता है।

z-स्कोर से उल्टा चलना

सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर किसी दिए गए z-स्कोर के संगत कच्चा मान मिलता है:

माध्य 70 और मानक विचलन 10 वाली परीक्षा में $-1.2$ का z-स्कोर $70 + (-1.2)(10) = 58$ के संगत है। यह रूप कट-ऑफ़ तय करने में उपयोगी है, उदाहरण के लिए यह तय करना कि शीर्ष 10 प्रतिशत में आने के लिए विद्यार्थी को कितने कच्चे अंक चाहिए, जैसा नीचे उदाहरण 4 दिखाता है।

z-स्कोर से शतमक तक

जब आँकड़े सामान्य बंटन, यानी घंटी वक्र, का पालन करते हैं, तो z-स्कोर को शतमक में बदला जा सकता है, यानी उससे नीचे आने वाले मानों के अनुपात में। मानक सामान्य बंटन का माध्य 0 और मानक विचलन 1 होता है, और इसका संचयी फलन, जिसे $\Phi(z)$ लिखते हैं, वही अनुपात देता है। कुछ प्रमुख मान याद रखने योग्य हैं:

• $\Phi(0) = 0.5$: माध्य 50वें शतमक पर होता है।
• $\Phi(1) \approx 0.8413$ और $\Phi(-1) \approx 0.1587$.
• $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, इसलिए उदाहरण 1 के विद्यार्थी ने कक्षा के लगभग 93 प्रतिशत से अधिक अंक पाए।
• $\Phi(-0.8) \approx 0.2119$, इसलिए उदाहरण 2 का विद्यार्थी लगभग 21वें शतमक पर है।
• $\Phi(1.96) \approx 0.975$, इसीलिए 95 प्रतिशत विश्वास्यता अंतरालों में 1.96 आता है।

आनुभविक नियम घंटी वक्र का सारांश देता है: लगभग 68 प्रतिशत मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, लगभग 95 प्रतिशत दो के भीतर और लगभग 99.7 प्रतिशत तीन के भीतर होते हैं। इसलिए $|z| > 3$ वाले मान दुर्लभ होते हैं और अक्सर संभावित बाह्य मानों के रूप में जाँचे जाते हैं।

प्रतिदर्श माध्यों के लिए z-स्कोर

औसत अलग-अलग मानों की तुलना में कम बदलते हैं। अगर माध्य $\mu$ और मानक विचलन $\sigma$ वाली समष्टि से $n$ आकार के प्रतिदर्श लिए जाएँ, तो प्रतिदर्श माध्य का मानक विचलन $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ होता है, जिसे मानक त्रुटि कहते हैं। प्रतिदर्श माध्य का z-स्कोर है

उदाहरण के लिए, अगर ऊपर वाली परीक्षा के 25 विद्यार्थियों का औसत 73 हो, तो मानक त्रुटि $\frac{10}{\sqrt{25}} = 2$ है और $z = \frac{73 - 70}{2} = 1.5$. तीन अंकों की बढ़त एक विद्यार्थी के लिए साधारण है, लेकिन 25 विद्यार्थियों के औसत के लिए स्पष्ट रूप से असामान्य। प्रारंभिक सांख्यिकी में z-परीक्षणों और विश्वास्यता अंतरालों का आरंभ-बिंदु यही सूत्र है।

z-स्कोर इस्तेमाल करते समय सावधानियाँ

• $\Phi$ की मदद से z-स्कोर को शतमक में बदलना तभी मान्य है जब आँकड़े लगभग सामान्य हों। आय जैसे प्रबल रूप से विषम आँकड़ों में शतमक स्वयं आँकड़ों से ही निकालने चाहिए।
• समष्टि मानक विचलन ज्ञात हो तो उसे इस्तेमाल करें, अन्यथा अनुमान के रूप में प्रतिदर्श मानक विचलन; छोटे प्रतिदर्शों के लिए इसके बजाय t-बंटन चाहिए।
• z-स्कोर एक समूह के भीतर स्थिति बताता है। बहुत अलग क्षमता-स्तर वाले समूहों के z-स्कोर की तुलना फिर भी भ्रामक हो सकती है।
• चिह्न बनाए रखें। $-2$ और $2$ के z-स्कोर समान रूप से असामान्य हैं, लेकिन उनके अर्थ विपरीत हैं।

z-स्कोर कैलकुलेटर z-स्कोर, शतमक और दो मानों के बीच का क्षेत्रफल निकालता है, और मानक विचलन कैलकुलेटर वह माध्य और मानक विचलन देता है जिसकी आपको पहले ज़रूरत होती है।

व्यवहार में z-स्कोर कहाँ दिखते हैं

मानकीकृत परीक्षाओं की रिपोर्ट अक्सर कच्चे अंकों को मापित अंकों या शतमकों में बदलती हैं, जो z-स्कोर वाले विचार पर ही आधारित होते हैं। बाल-रोग विशेषज्ञ बच्चे की ऊँचाई और वज़न को वृद्धि चार्टों से मिलाते हैं, और कुछ नैदानिक उपकरण इन मापों को सीधे बच्चे की आयु के अनुसार z-स्कोर के रूप में बताते हैं। अस्थि घनत्व स्कैन T-स्कोर बताते हैं, जो स्वस्थ युवा वयस्कों के सापेक्ष मापा गया z-स्कोर है। गुणवत्ता इंजीनियर उन पुर्ज़ों को चिह्नित करते हैं जिनके माप लक्ष्य से तीन मानक विचलन से अधिक हट जाते हैं, और वित्त विश्लेषक प्रतिफलों का मानकीकरण करते हैं ताकि अलग-अलग जोखिम-स्तर वाले फ़ंडों की तुलना एक ही पैमाने पर हो सके।

अभ्यास प्रश्न

1. आँकड़ों का माध्य 50 और मानक विचलन 4 है। 56 का z-स्कोर निकालें। उत्तर: $z = \frac{56 - 50}{4} = 1.5$.
2. अंकों का माध्य 100 और मानक विचलन 15 है। किस अंक का $z = -2$ है? उत्तर: $100 + (-2)(15) = 70$.
3. मान सामान्य रूप से बंटित हैं, माध्य 500 और मानक विचलन 100। कितना अनुपात 650 से नीचे है? उत्तर: $z = 1.5$, इसलिए लगभग $\Phi(1.5) \approx 0.9332$, यानी 93 प्रतिशत।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल