मानक विचलन कैलकुलेटर

मानक विचलन कैलकुलेटर के बारे में

मानक विचलन बताता है कि आँकड़ों के मान अपने माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं। छोटे मानक विचलन का अर्थ है कि मान औसत के पास हैं; बड़े का अर्थ है कि वे दूर-दूर तक बिखरे हैं।

समष्टि सूत्र का उपयोग तब करें जब आपके आँकड़ों में उस समूह का हर सदस्य शामिल हो जिसमें आपकी रुचि है, और प्रतिदर्श सूत्र का, जो $n-1$ से भाग देता है, तब जब आँकड़े किसी बड़ी समष्टि का अनुमान लगाने के लिए लिया गया प्रतिदर्श हों।

मानक विचलन क्या मापता है?

मानक विचलन मापता है कि संख्याओं का कोई समुच्चय अपने माध्य के आसपास कितना फैला हुआ है। छोटे मानक विचलन का अर्थ है कि मान औसत के पास हैं; बड़े का अर्थ है कि वे दूर-दूर तक बिखरे हैं। दो कक्षाओं का किसी परीक्षा में औसत 70 हो सकता है, लेकिन अगर एक कक्षा का मानक विचलन 3 है और दूसरी का 15, तो पहले समूह ने एकसमान प्रदर्शन किया, जबकि दूसरे में कमज़ोर से लेकर उत्कृष्ट तक सभी थे।

इसकी गणना विचलनों से होती है, यानी हर मान की माध्य से दूरी। ये विचलन जोड़ने पर हमेशा शून्य देते हैं, इसलिए औसत लेने से पहले इनका वर्ग किया जाता है, जिससे प्रसरण मिलता है। प्रसरण का वर्गमूल लेने से परिणाम मूल इकाइयों में लौट आता है, इसलिए सेंटीमीटर में मापी गई ऊँचाइयों का मानक विचलन भी सेंटीमीटर में होता है।

मानक विचलन कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

संख्याएँ अल्पविराम, स्पेस या नई पंक्तियों से अलग करके लिखें या चिपकाएँ।
प्रतिदर्श या समष्टि चुनें।
माध्य, वर्गित विचलन, प्रसरण और मानक विचलन देखने के लिए “गणना करें” दबाएँ।

सूत्र

समष्टि मानक विचलन

\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}}

प्रतिदर्श मानक विचलन

s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}

प्रसरण

\sigma^2,\ s^2 = (\text{मानक विचलन})^2

हल सहित उदाहरण: 4, 8, 6, 5, 3, 7 (प्रतिदर्श)

हल किया गया उदाहरण 4, 8, 6, 5, 3, 7 को प्रतिदर्श मानता है। माध्य $\frac{33}{6} = 5.5$ है। विचलन $-1.5, 2.5, 0.5, -0.5, -2.5, 1.5$ हैं, और उनके वर्गों का योग 17.5 है। $n - 1 = 5$ से भाग देने पर प्रतिदर्श प्रसरण 3.5 मिलता है, और उसका वर्गमूल प्रतिदर्श मानक विचलन $s \approx 1.870828693$ है। तुलना के लिए, इन्हीं छह संख्याओं को पूरी समष्टि मानने पर भाग 6 से दिया जाता है और $\sigma \approx 1.707825128$ मिलता है।

नीचे दिया गया हल उसी गणना इंजन से बना है जो ऊपर के कैलकुलेटर को चलाता है।

अंतिम उत्तर

s = 1.870828693

हमने आपका सवाल कैसे समझा

आँकड़ों को किसी बड़ी समष्टि का प्रतिदर्श मानें (बेसेल संशोधन, n − 1) से भाग दें।

स्टेप-बाय-स्टेप हल

माध्य निकालें
$\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5$
माध्य से हर विचलन का वर्ग करें
$(4 - 5.5)^2 = 2.25 \\ (8 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (6 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (5 - 5.5)^2 = 0.25 \\ (3 - 5.5)^2 = 6.25 \\ (7 - 5.5)^2 = 2.25$
वर्गित विचलनों को जोड़ें
$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 17.5$
प्रतिदर्श प्रसरण पाने के लिए n − 1 से भाग दें
$s^2 = \frac{17.5}{5} = 3.5$
वर्गमूल लें
$s = \sqrt{3.5} = 1.870828693$

इस्तेमाल किए गए सूत्र

प्रतिदर्श मानक विचलन
$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$
समष्टि मानक विचलन
$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}}$

मानक विचलन मापता है कि मान माध्य के आसपास कितने फैले हुए हैं। छोटा मान बताता है कि आँकड़े माध्य के पास सघन हैं।

जाँच

प्रसरण = 3.5, और 1.870828693² = 3.5
तुलना के लिए समष्टि मानक विचलन: 1.707825128

पूरी व्याख्या

व्यवहार में प्रतिदर्श बनाम समष्टि

दोनों सूत्र केवल भाजक में भिन्न हैं, लेकिन छोटे आँकड़ा समुच्चयों के लिए यह चुनाव मायने रखता है। अगर संख्याएँ उस समूह का हर सदस्य हैं जिसमें आपकी रुचि है, जैसे एक कक्षा के सभी 25 विद्यार्थियों के अंक, तो $N$ वाला समष्टि सूत्र उपयोग करें। अगर वे किसी बड़े समूह के फैलाव का अनुमान लगाने के लिए लिया गया प्रतिदर्श हैं, जैसे पूरे विद्यालय से चुने गए 25 विद्यार्थी, तो $n - 1$ वाला प्रतिदर्श सूत्र उपयोग करें। कैलकुलेटर का दूसरा उदाहरण, समष्टि के रूप में 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9, का माध्य 5 है और वर्गित विचलनों का योग 32 है, इसलिए $\sigma = \sqrt{\frac{32}{8}} = 2$ ।

संख्या की व्याख्या

लगभग घंटी के आकार वाले आँकड़ों के लिए आनुभविक नियम कहता है कि लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं, लगभग 95% दो के भीतर और लगभग 99.7% तीन के भीतर। इसलिए माध्य से दो मानक विचलन से अधिक दूर का मान असामान्य है। किसी मान की माध्य से दूरी को मानक विचलन से भाग देने पर उसका z-स्कोर मिलता है, जिससे अलग-अलग पैमानों पर मापे गए परिणामों की तुलना की जा सकती है, जैसे किसी परीक्षा के अंक और दौड़ का समय।

मानक विचलन बाह्य मानों के प्रति संवेदनशील है, क्योंकि विचलनों का वर्ग किया जाता है, इसलिए एक चरम मान इसे काफ़ी बढ़ा सकता है। अत्यधिक विषम आँकड़ों के लिए अंतरचतुर्थक परिसर अक्सर फैलाव का बेहतर सारांश होता है।

आम गलतियाँ

प्रतिदर्श के लिए $n - 1$ के बजाय $n$ का उपयोग करना, जिससे फैलाव कम आँका जाता है।
विचलनों का वर्ग करना भूल जाना, जिससे धनात्मक और ऋणात्मक विचलन कटकर शून्य हो जाते हैं।
प्रश्न में मानक विचलन माँगा गया हो, फिर भी प्रसरण बताना।
विचलन निकालने से पहले माध्य को पूर्णांकित करना, जिससे हर वर्गित पद खिसक जाता है।
अंतिम वर्गमूल भूल जाना और प्रसरण को ही मानक विचलन बता देना।

सुझाव

लगभग घंटी के आकार वाले आँकड़ों में लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं।
मानक विचलन की इकाइयाँ वही हैं जो आँकड़ों की; प्रसरण की इकाइयाँ वर्गित होती हैं।
हर मान में एक अचर जोड़ने से मानक विचलन नहीं बदलता।
हर मान में अचर जोड़ें, तो मानक विचलन नहीं बदलता; हर मान को $k$ से गुणा करें, तो वह $|k|$ से गुणा हो जाता है।
कोई एक मान माध्य से कितने मानक विचलन दूर है, यह देखने के लिए z-स्कोर कैलकुलेटर का उपयोग करें।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

मानक विचलन क्या है?

यह माध्य से वर्गित दूरी के औसत का वर्गमूल है। यह बताता है कि कोई सामान्य मान औसत से कितनी दूर होता है।

प्रतिदर्श उपयोग करूँ या समष्टि?

जब आपके पास पूरे समूह के आँकड़े हों, तो समष्टि उपयोग करें। जब आपके आँकड़े किसी बड़े समूह का वर्णन करने के लिए लिया गया उपसमुच्चय हों, तो प्रतिदर्श उपयोग करें; यही अधिक सामान्य स्थिति है।

प्रतिदर्श सूत्र n − 1 से भाग क्यों देता है?

प्रतिदर्श माध्य वास्तविक माध्य की तुलना में प्रतिदर्श मानों के अधिक पास होता है, जिससे विचलन छोटे हो जाते हैं। $n-1$ से भाग देना (बेसेल संशोधन) इसकी भरपाई करता है और प्रसरण का अनभिनत अनुमान देता है।

क्या मानक विचलन शून्य हो सकता है?

हाँ, ठीक तब जब हर मान एक जैसा हो। यह कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।

मुझे कितने मान चाहिए?

समष्टि मानक विचलन के लिए एक मान काफ़ी है (वह 0 होता है)। प्रतिदर्श सूत्र को कम से कम दो मान चाहिए।

प्रसरण और मानक विचलन में क्या अंतर है?

प्रसरण वर्गित विचलनों का माध्य है; मानक विचलन उसका वर्गमूल है, जो माप को आँकड़ों की इकाइयों में वापस ले आता है।

अच्छा या अधिक मानक विचलन कितना होता है?

कोई सार्वभौमिक सीमा नहीं है; यह आँकड़ों के पैमाने पर निर्भर करता है। इसकी तुलना माध्य से करें, या विचरण गुणांक $\frac{s}{\bar x}$ का उपयोग करें, ताकि आँक सकें कि फैलाव सामान्य मानों की तुलना में बड़ा है या नहीं।

बाह्य मान मानक विचलन को कैसे प्रभावित करता है?

काफ़ी अधिक, क्योंकि हर विचलन का वर्ग किया जाता है। उदाहरण में 7 की जगह 70 रखने पर प्रतिदर्श मानक विचलन लगभग 1.87 से बढ़कर 26 से अधिक हो जाता है।

अपने आँकड़ों का मानक विचलन निकालें

ऊपर अपनी संख्याएँ चिपकाएँ, प्रतिदर्श या समष्टि चुनें, और विचलनों की पूरी तालिका के साथ प्रसरण और मानक विचलन पाएँ।

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