المتتاليات والمتسلسلاتالجبرالجامعة≈ 1:37

أوجد قيمة مجموع 1/3ⁿ من n=1 إلى ∞

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: المتسلسلة تقاربية (متسلسلة هندسية (|r| < 1)); المجموع = 1/2.

السرعةاللغة

الفصول

النص

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (0.6 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

1. المسألة
مثال محلول
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
2. خطوة بخطوة
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}}$
  اكتب المتسلسلة
2. $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{2}$
  تعرّف على المتسلسلة الهندسية
3. الإجابة
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{3}^{n}} \ \text{تتقارب} = \frac{1}{2}$
geometric series (|r| < 1) ⇒ converges, S = 1/2
4. التحقق
- المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = 0.49999153، S₁₀₀ = 0.5، S₁₀₀₀ = 0.5، S₁₀₀₀₀ = 0.5

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد قيمة مجموع 1 على 3 أس n من n يساوي 1 إلى ما لا نهاية. حدّد هل المتسلسلة Σ 1 على 3 أس n (n من 1 إلى ∞) تتقارب أم تتباعد.

خطوة بخطوة. اكتب المتسلسلة. Σ a(n) حيث n يساوي 1, 2, 3، … مع a(n) يساوي 1 على 3 أس n. الحدود الأولى: 0.333333, 0.111111, 0.037037, 0.0123457، …. تعرّف على المتسلسلة الهندسية. كل حد يساوي الحد السابق مضروبًا في r يساوي 1 على 3 (تم التحقق في أول 40 حدًّا)، والحد الأول a يساوي 1 على 3. وبما أن |r| أصغر من 1 فالمتسلسلة تتقارب، ومجموعها a/(1 ناقص r) يساوي 1 على 2 تقريبًا 0.5.

الإجابة. إذن الإجابة هي المتسلسلة تقاربية (متسلسلة هندسية (|r| أصغر من 1)); المجموع يساوي 1 على 2. تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق. المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ يساوي 0.49999153، S₁₀₀ يساوي 0.5، S₁₀₀₀ يساوي 0.5، S₁₀₀₀₀ يساوي 0.5.

الخطوات على الشاشة

النص الكامل

دروس مشابهة