المتتاليات والمتسلسلاتالجبرالجامعة≈ 1:59

أوجد قيمة مجموع 1/√(n) من n=1 إلى ∞

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: المتسلسلة تباعدية (المقارنة مع Σ 1/n).

السرعةاللغة

الفصول

النص

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (0.7 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

1. المسألة
مثال محلول
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
2. خطوة بخطوة
1. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
  اكتب المتسلسلة
2. $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$
  اختبار الحد النوني
3. $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n} = \infty$
  المقارنة النهائية مع متسلسلة p
3. الإجابة
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ \text{تتباعد}$
comparison with Σ 1/n ⇒ diverges
4. التحقق
- المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = 5.0209979، S₁₀₀ = 18.589604، S₁₀₀₀ = 61.801009، S₁₀₀₀₀ = 198.54465

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد قيمة مجموع 1/sqrt(n) من n يساوي 1 إلى ما لا نهاية. حدّد هل المتسلسلة Σ 1 / sqrt(n) (n من 1 إلى ∞) تتقارب أم تتباعد.

خطوة بخطوة. اكتب المتسلسلة. Σ a(n) حيث n يساوي 1, 2, 3، … مع a(n) يساوي 1 / sqrt(n). الحدود الأولى: 1, 0.707107, 0.57735, 0.5، …. اختبار الحد النوني. lim a(n) يساوي 0، لذا فاختبار التباعد غير حاسم؛ فالحدود تتناقص فعلًا، ولذلك يلزم اختبار أدق. المقارنة النهائية مع متسلسلة p. حدود موجبة: قارن بدلًا من ذلك مع Σ 1/n: lim a(n) ضرب n يساوي ∞. النهاية هي ∞، لذا في النهاية تكون الحدود أكبر من 1/n؛ متسلسلة p تلك تباعدية (p أصغر من أو يساوي 1)، لذا فهذه أيضًا تباعدية.

الإجابة. إذن الإجابة هي المتسلسلة تباعدية (المقارنة مع Σ 1/n). تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق. المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ يساوي 5.0209979، S₁₀₀ يساوي 18.589604، S₁₀₀₀ يساوي 61.801009، S₁₀₀₀₀ يساوي 198.54465.

الخطوات على الشاشة

النص الكامل

دروس مشابهة